弹性力学--04习题

习题4- 试导出位移分阶段量的坐标变换uru

u

u

vrrxAyvS

v

u 设有内径为a而外径为b的圆筒受内压力q，试求内半径解：轴对称问题的径向位移公式（平面应变u1

2(12)Br

r1)(1

2(12)Cr对于圆筒轴对称问题，有ur不随变化，IK又由位移单值条件

Bu1

2(12)Cr 常数A、B由应力边界条件确定应力分量

rr

A

A

a2b2q q边界条件

rr

a2b2A2Cb2

2C

bb2ab2rrbA

a2b2 b2

u1

2(12)Cr2C

a2 urE(burE(b2a2)r(11b2

a2 urra

q(b2

a2

1

urrb

a2urr

r

E

b qb q 1刚 设有刚体，具有半径为b的圆柱形孔道，孔道内放置一外半径为b而内半径为a的圆筒，受内压力q，试求圆筒壁刚解：边界条件

rrurr

rarr

r

ru1

2(12)Cr

Aa2

代入边界条件

b

2(12)Cba2b2(12A(12)b2a2

将常数A、C代入，2C

a22)b2

a2刚a2b2(12刚A(12)b2a2将常数A、C代入

2C

a22)b2

a2rr

r

rr

a2b22)b2

q(b2

12r

a2b22)b2

q(b2

12rr

r

a2b22)b2

q(b2

12a2

a2b22)b2

q(b2

12a2习题44 矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所示。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。解 qrxq由图（a）qrxqq边应力结果qq

r得

qqqqqqqq

max

思考题

有一薄壁圆筒的平R，壁t，两端受相等M作用。现在圆筒上a的小圆孔，如图所示，则孔边的最思考题

有一薄壁压力容器，其平均半径为R，壁厚为t。现在容器壁上发现一半径为a的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力pp习题4- 楔形体在两侧受有均布剪应力q，如图所示。试求其应力分量（1）由因次分析法，可

(r,

r

代入相容方程

1

22 r

r

r22得到

d24

1dfr2 d1dfr

d d4

d24

dAcos

dBsin

Cr2f(r2(Acos

r2

r2(Acos

D) r

2Acos22Bn

r

2Asin

2Bcos2 由对称性，r,

应为的偶函数；

应为的奇函数，因而BCr

2Acos2

代入，有

1

2Acos

r

2A

2A

2Ar

边界条件

2D

2

代入应力分量式2A 2D

代入应力分量式r

2Acos2 2

2Acos2 cos2cotr sinrsin

2A 习题4- 三角形悬臂梁在自由端受集中荷载P，如图所示。试用公（4-21）求任一铅直截面上的正应力和剪应力，并xy解：由密切尔（J.H.Michell）解答， r

2P

0,r 由应力分量的坐标x

2

2

cos

rsiny

2

2

r

(sin

sin

P(sin

——密切尔（J.H.Michell）解 r——密切尔（J.H.Michell）解

（4-22y22

rrcos

P(sin

P(sin

rsin

P(sin

sin由坐标变换式：r

x2y2

xrcos,

2P

x2

2P

x2

(x2

y2)2

x

(x2

y2)2 2P

y3

cos

)rxy2

2 2P

(xy

rsin

材料力学结截面弯

x x2截面惯性

I

23

tan3

h

截面正应

x

2x2

tan32 2P

x2x两者结果相差较大

(x2

y2)2POPabxry习题47 曲梁在两端受相反的两个力P作用，如图所POPabxry（1）应分析：任取一截截面MPyPrsin

f1(r)

1(r)

将其代入相容方程2110 110r r r22df (r)df

d3

(r)

d2

(r)

df(r)

f(r)sin

r

r3 r d4

(r)

d3

(r)

d2

(r)

df(r)

r

r3

f(r) rd4f(r)

d3f(r)

d2f(r)

df(r)

f(r)

r

r3 r上 方程的解f(r)代入应力函

Ar3

Br

CrDrln

（2）应r

1r r

(2Ar2Br3

r

(6Ar

2Br3

Ar Ar CrDrlnrsin31r

rrr

(2Ar2Br3

D)r边界条件

r

ra

x

rb D D2B代入应力分2B2Aa a3 32Ab2BD3b端部条件（左端 b

ybaba

0dr

0dr

rdrabaaba

自然代入量得Ar2

r2B

rD

2

)

A2

) 3 Dln

ra2b2rr 联立求

)

(2

3

)r

rr rrAP2N

B

Pa2b22N

,D

N

(a2

b2其中

N

b2)

b2)lnaPOPabxry代入应POPabxryrr(ra22rar322 P(3ra2b2a2b2)sinNrr3P(ra2b2a2b2)Nrr3习题48 设有无限大的薄板，在板内的小孔中受有集中力P，如图所示。试用如下应力函数求其应力分量。提示：须要考虑位移单值条件 （1）r

1r

r

(Ar

A r

rrr

r取一半径为r的圆板 体，其上受力如图。由圆板的平衡，Fx

2r0r

P代入应力分量代入应力分量2A

cos2

P

sin22Bcos2

P

2BP

BP Fy

20

rcosrdr22Ar0

cosd

(A2B)MO

恒等

Asinr Asind由位移单值条件确定常数应力分量

r

(A2B) r

r

其中

由物理方程与几何rrur1(Er积分

1(A2BA)ur

(A2B

f

E

E 代入

ur

1

)

AA2B) r

r

r

ur

(AA2B)

r

2

E

(AA2B)

r(A

f

g(r)1r1r 21rE

21E

r

E

(2A

rdg(r)

g(r)要使上式对r、成立r

g(r)

其中：L

E

(2A

求解式（a），将式（b）

g(r)

d2

(2A

BB)cos

ddEd2

(2A

BB)cos

d 求解式（b）f()I

2ABBE