2022-2023学年江苏省南通市包场高级中学高二年级上册学期期中考试数学试题 解析版

2021-2022学年江苏省包场高二第一学期期中数学试题一、单选题1.已知直线与直线互相垂直，垂足为，则等于（）A.0 B.4 C.20 D.242.直线经过原点，且它的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则的方程是（）A. B. C. D.3.已知圆，点及点，从点观察点，要使视线不被圆挡住，则的取值范围是（）A. B.C. D.4.已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（）A.1 B.3 C.6 D.95.点为圆上的动点，是圆的切线，，则点的轨迹方程是（）A. B. C. D.6.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（）A.0个 B.至多有一个 C.1个 D.2个7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于（）A. B. C. D.8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，为的内心，点满足：，若且，记的外接圆半径为，则的值为（）A. B.2 C.3 D.1二、多选题9.已知，，，则下列选项正确的是（）A.直线与线段有公共点B.直线的倾斜角大于C.的边上的中线所在直线的方程为D.的边上的高所在直线的方程为10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，动点满足，直线，则（）A.动点的轨迹方程为B.直线与动点的轨迹一定相交C.动点到直线距离的最大值为D.若直线与动点的轨迹交于，两点，且，则11.黄金分割比例具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值.这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例.我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（）A.椭圆是“黄金椭圆”B.若椭圆的右焦点为，且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”C.设椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若，则该椭圆为“黄金椭圆”D.设椭圆的左、右顶点分别是，，左、右焦点分别是，，若，则该椭圆为“黄金椭圆”12.在数列中，若（，，为常数），则称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A.若是等差数列，则是等方差数列B.是等方差数列C.若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列D.若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列三、填空题13.在轴上的截距是，倾斜角的正弦值是的直线方程是_______________.14.已知抛物线的焦点为，过点斜率为的直线与交于，两点，若为坐标原点，的重心为点，则___________.15.若数列为等比数列，其中，是方程的两根，且，则实数_____________.16.已知椭圆的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方），且，则椭圆的离心率为____________.四、解答题17.（1）若直线过点且与直线垂直，求直线的方程；（2）若点与点关于直线对称，求点的坐标.18.已知、为圆上的动点，，为定点（1）求线段中点的轨迹方程；（2）若，求线段中点的轨迹方程.19.已知抛物线和椭圆，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的中垂线交椭圆于，两点.（I）若恰是椭圆的焦点，求的值；（II）若恰好被平分，求面积的最大值.20.已知圆经过坐标原点，且与直线相切、切点为.（1）求圆的方程；（2）已知斜率为的直线与圆相交于不同的两点、，若直线被圆截得的弦的长为14，求直线的方程.21.已知数列的前项和为，点在直线上.（1）求数列的前项和，以及数列通项公式；（2）若数列满足：，设数列的前项和为，求的最小值.22.已知椭圆的离心率是，，分别为椭圆的左右顶点，为上顶点，的面积为2，直线过点且与椭圆交于，两点（，异于，）.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积最大值；（3）设直线与直线的斜率分别为，求证：为常数，并求出这个常数.答案和解析1.A【分析】本题考查两直线垂直的性质，垂足是两直线的公共点，垂足坐标同时满足两直线的方程.先由两直线垂直斜率斜率之积为，求出，第一直线的方程确定了，把垂足坐标代入，可求，垂足坐标确定了，把垂足坐标代入第二条直线的方程可得，进而求得的值.解：∵直线与互相垂直，∴，∴，直线即，垂足代入得，，∴.把代入，可得，∴，故选：A2.C【分析】本题考查直线的倾斜角与斜率、直线的点斜式方程，属于基础题.求出直线的斜率，得出其倾斜角，得出所求直线的倾斜角，求出斜率，利用直线的点斜式方程，即可求出结果.解：由于直线的斜率为，则其倾斜角为，所以所求直线的倾斜角为，也即其斜率为，所以直线方程为，即.故选C.3.A【分析】本题考查直线和圆的位置关系，直角三角形中的边角关系的应用，求出的值是解题的关键.由题意可得，，从而求得的取值范围.解：由题意可得，，所以，的取值范围是，故选：A.4.D【分析】本题主要考查等比数列的性质，考查等差数列的性质，属于基础题.设各项都是正数的等比数列的公比为，，先求出，再根据等比数列的性质即可求出结论.解：设各项都是正数的等比数列的公比为，，由题意可得，即，解得（舍去）或，∴.故选D.5.B【分析】本题考查轨迹方程，考查数形结合思想，属于基础题.结合题设条件作出图形，观察图形可知圆心到点距离为，所以在以为圆心，以为半径的圆上，由此能求出其轨迹方程.解：点为圆上的动点，是圆的切线，，作图可知圆心到点距离为，所以在以为圆心，以为半径的圆上，其轨迹方程为.故选B.6.D【分析】通过直线与圆、圆与椭圆的位置关系可得点在椭圆内，进而可得结论.本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题.解：由题意可得：，即，∴点是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，∵椭圆的长半轴3，短半轴为2，∴圆内切于椭圆，∴点是椭圆内的点，∴过点的一条直线与椭圆的公共点个数为2，故答案选：D.7.B【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查分析与运算能力，属于中档题.根据已知条件得出是直角三角形，，，结合椭圆的定义，则有，最后利用离心率公式即可求解.解：∵，，，∴是直角三角形，，，∵由椭圆的定义可得，，∴，∴.故选B.8.A【分析】本题主要考查了双曲线的定义，考查了三角形重心和内心的性质，以及余弦定理和正弦定理的应用，是中档题.设，，，根据点满足：，可得，再由得的坐标轴为，设，则，利用的面积得到，结合余弦定理可求出的值，进而得到的值，再利用正弦定理即可求出的外接圆半径.解：设，，，由题意得，，，∵点满足：，∴点为的重心，则，又∵，∴轴，则的纵坐标为∴，设不妨设在第二象限，，则，∴，∴，∴，由余弦定理得，∴，整理得，解得或（舍去），∴，由正弦定理知，∴故选：A.9.BCD【分析】本题主要考查直线的方程求法，点斜式和两点式的直线方程的求解，运算能力和数学思维能力，属于中档题.直接利用两点式，斜截式和中点坐标的应用逐一对选项分析判断即可.解：对于A，因为，所以，即所以，A错误.对于B，因为，所以直线的倾斜角大于，B正确.对于C，因为线段的中点为，，所以上的中线所在直线的方程为，C正确.对于D，因为，所以上的高所在直线的方程为，即，D正确.故选：BCD.10.ABD【分析】本题以命题的真假判断为载体考查了直线与圆的综合应用，动点轨迹方程的求解，属于中档题.设，由题意求出点的轨迹以及轨迹方程，利用直线与圆的位置关系，依次判断四个选项即可.解：设，因为动点满足，所以，整理可得，即，对于A，动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，动点的轨迹方程为，故选项A正确；对于B，因为直线过定点，而点在圆内，所以直线与动点的轨迹一定相交，故选项B正确；对于C，当直线与垂直时，动点到直线的距离最大，且最大值为，故选项C错误；对于D，记圆心到直线的距离为，则，因为，则，因为，所以，即，解得，故选项D正确.故选：ABD.11.ABC【分析】本题考查了椭圆的标准方程，椭圆的顶点和焦点的坐标，椭圆离心率的计算公式，考查了计算能力，属于中档题.根据每个选项给出的条件，求出每个选项中椭圆的离心率，看是否满足即可.44.解：对于A，，，故，是“黄金椭圆”；对于B，，即，故，则或（舍），是“黄金椭圆”；对于C，由，可得：，化简可得，则或（舍），是“黄金椭圆”；对于D，若，则，即，则，不是“黄金椭圆.故选ABC.12.BCD【分析】本题考查等方差数列的定义及其应用，考查新定义，正确理解新定义是解题的关键，属于较难题.根据等方差数列的定义对选项逐一判断即可.解：对于A，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；对于B，数列中，（常数），∴是等方差数列，故B正确；对于C，数列中的项列举出来是，，，…，，…，，…数列中的项列举出来是，，，，…，∵，∴，∴，∴，∴（，为常数）是等方差数列，故C正确；对于D，∵是等差数列，∴，∵是等方差数列，∴，∴，1°当时，数列是常数列，2°当时，为偶数时，，为奇数时，，数列是常数列，综上数列是常数列，故D正确.故选BCD.13.【分析】本题考查直线倾斜角与斜率的关系，考查直线的斜截式方程，属于基础题.由已知分类求解直线的斜率，再由直线方程的斜截式得答案.解：设直线的倾斜角为，直线的斜率为，则，当为锐角时，，则；当为针角时，，则.又直线在轴上的截距是，∴所求直线方程为.故答案为.14.2或【分析】本题考查重心的性质以及抛物线的焦点弦问题，属于中档题.根据题意设直线的方程为，的中点坐标为，联立直线方程与抛物线方程结合重心坐标以及根与系数的关系即可求解.解：抛物线的焦点坐标为，设直线的方程为，的中点坐标为，，，已知的重心为点，由三角形重心性质得，即，解得，联立方程得，则，解得.故答案为2或.15.【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质的应用，属于基础题.利用一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件和等比数列的性质可求得答案解：若数列为等比数列，其中，是方程的两根，则，，又，所以，所以.故答案为.16.【分析】本题考查直线与椭圆的综合，椭圆离心率的求解，属于较难题.由题意设出直线方程并代入椭圆方程得到一元二次方程，由，得到、两点纵坐标的关系，利用一元二次方程根与系数的关系求解即可.解：设，，由题意知，的斜率为，则直线方程为，设，，联立直线和椭圆的方程得，整理得，则，，且，可得，则，，所以，可得，所以.故答案为.17.解：（1）设与直线垂直的直线的方程为：，把点代入上述方程可得：，解得，∴直线的方程为：；（2）设点，∵点与点关于直线对称，∴，，解得，.∴点的坐标.本题考查了两直线垂直，考查了点与点关于直线对称，属于基础题.（1）因为垂直可设直线的方程为，将点代入方程即可求解；（2）设，由点与点关于直线对称，可列出方程组再进行后面的求解即可得.18.解：（1）设中点为，由中点坐标公式可知，点坐标为∵点在圆上，∴.故线段中点的轨迹方程为；（2）设的中点为，在中，，设为坐标原点，则，所以，所以，整理得.故线段中点的轨迹方程为.本题考查圆有关的轨迹方程的求法，属于中档题.（1）设出的中点坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，根据在圆上，将坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程；（2）利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到，利用圆心与弦中点连线垂直弦，利用勾股定理得到，利用两点间的距离公式求出动点的轨迹方程.19.解：（I）在椭圆中，，所以，由，得.（II）设直线，代入抛物线方程得.设的中点，则，，由得，解得，由点在椭圆内，得，解得，因为，所以的最大值是2，面积，所以，当时，面积的最大值是.本题考查了抛物线与椭圆的基本性质，考查了直线与圆锥曲线相交问题.（1）由题可知是椭圆的焦点，根据椭圆方程即可求解；（2）由抛物线与直线相交于，两点，则联立直线与抛物线方程，可得到中点的坐标，根据垂直关系，以及点在椭圆内部，即可进行求解.20.解：（1）圆的圆心为，依题意得直线的斜率，∴直线的方程为，即，∵直线的斜率，∴线段的垂直平分线为，即.解方程组，得圆心的坐标为.∴圆的半径为，∴圆的方程为.（2）设直线的方程为，圆心到直线的距离，，∴，解得，直线的方程为.本题考查直线和圆的位置关系，圆的标准方程，点到直线的距离问题，属于中档题.（1）求出直线的方程，再求出线段的垂直平分线方程，联立方程组求出圆心的坐标，可得圆的半径，从而写出的方程；（2）设出直线的方程，求出圆心到直线的距离，根据可求得，即可得直线的方程.21.解：（1）由题意知：，则，当时，；当时，，而，∴，；（2）由，得，当时，当时，故的最小值为.本题考查了数列的递推关系、数列的通项公式和数列的函数特征，属于中档题.（1）利用可求得数列的通项公式；（2）先得出，当时，当时，可得前三项的和最小.22.解：（1）由题知，∴，即，又，∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）当斜率不存在时，易知，，此时，当斜率存在时，设直线方程为，将代入，整理得，设，，则，，∴，，，，，令，∴，∴面积