《简明线性代数》3-1 向量组的线性关系

第三章向量空间初步§3.1向量组的线性关系§3.2向量组的秩§3.3向量空间

§3.4欧氏空间

一、n维向量及其线性运算二、向量组的线性组合三、向量组的线性相关性

§3.1向量组的线性关系一、n维向量及其线性运算n维向量空间Rn

Rn

中任一元素称为一个n维向量.

称ai

为向量a=(a1,,an)的第i个坐标[分量].以ai

(i=1,,n)为第i个坐标的向量可写成列形式

坐标全为零的向量称为零向量,记为0.

坐标完全一样的两向量a,b

称为相等向量,记为a=b.

向量的加法运算

设向量a=(a1,,an),b=(b1,,bn),定义称a+

b

为

a与b的和.

向量的数乘运算规定称ka为数k

与向量a

的乘积.

称(-1)a

为向量a

的负向量,记为-a.

设向量a=(a1,,an),k为实数,定义

向量的加法与数乘两种运算统称为向量的线性运算.例2

设x1,,xn-r

为方程组Ax=0的一个基础解系,二、向量组的线性组合

Ax=0的任一解向量x,

若干同维向量的集合,称向量组.

向量组的一部分称部分组.例1

设称

e1,e2,,en

为

n

维单位坐标向量组.

任一向量a(a1,a2,,an)可唯一地表示为

则对存在一组数k1,,kn-r

,使>>>

线性组合

给定向量组a1,,am,对任一数组k1,,km,称向量为向量组a1,,am

的一个线性组合,称k1,,km为这个线性组合的[表示]系数.并称b可由a1,,am线性表示.例3

设矩阵A

=(a1,,am),则方程组Ax=

b有一组解

xi

=

ki(i=1,,m),也即

线性方程组Ax=

b有解的充分必要条件是:

向量b

可由矩阵

A的列向量组线性表示.

约定:非特别交待时,向量都采用列形式.例4

判断向量与是否为向量组的线性组合.若是,写出表示式.解同时解方程组和的解为因此无解,因此

b2

不可由a1,a2

线性表示.三、向量组的线性相关性

线性方程组Ax=

b有解的充分必要条件是:

向量b

可由矩阵

A的列向量组线性表示.

若线性方程组Ax=

b有无穷多解,则向量b

可用矩阵

A的列向量组的无穷多个线性组合来线性表示.

设向量b有两个线性表示式和则b

的两个表示式不同,也即存在一组不全为零的数使成立此时,称向量组a1,,am

线性相关.那么称a1,,am

线性相关.k1,,km

,使

线性相关性

设有向量组a1,,am

,如果存在一组不全为零的数

基本性质

(1)若向量

b

可由向量组a1,,am

线性表示,

当a1,,am

线性相关时,表示式不唯一;

当a1,,am

线性无关时,表示式唯一.(2)若部分组线性相关,则整个向量组也线性相关.(3)若向量组线性无关,则任一部分组也线性无关.则向量组b,a1,,am

线性相关.否则,称a1,,am

线性无关.

a1,,am

线性无关,也即向量方程只有零解.

定理1

m元方程组Ax=0只有零解的充要条件是R(A)=

m.

线性相关性

那么称a1,,am

线性相关.k1,,km

,使

设有向量组a1,,am

,如果存在一组不全为零的数否则,称a1,,am

线性无关.

设矩阵

A

(a1,,am),的充分必要条件是R(A)=

m.

则向量组

a1,,am

线性无关

设矩阵

A

(a1,,am),

定理1的充分必要条件是R(A)=

m.

线性相关性

方阵A的列向量组线性相关的充要条件是|A|=0.

齐次线性方程组的基础解系线性无关.>>>则向量组

a1,,am

线性无关那么称a1,,am

线性相关.k1,,km

,使

设有向量组a1,,am

,如果存在一组不全为零的数否则,称a1,,am

线性无关.

a1,,am

线性无关,也即向量方程只有零解.解1

例5讨论向量组

的线性相关性.设方阵化A

为行阶梯形:当a-1,4时,R(A)=3,a1,a2,a3

线性无关;当a=-1或

a

=4时,R(A)=2,a1,a2,a3

线性相关.当a=-1或

a

=4时,|A|0,

,a1,a2,a3

线性相关.解1

例5讨论向量组

的线性相关性.设方阵则当a1,4时,|A|0,

a1,a2,a3

线性无关;证1

将b1,b2,b3的表示式代入,并整理得因a1,a2,a3

线性无关,故有

由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解x1

x2

x30,设存在一组数x1,x2,x3,使所以b1,b2,b3

线性无关.例6

设向量组a1,a2,a3

线性无关,试证向量组b1,b2,b3

也线性无关.把已知条件合写成记作B=AK.因|K|=-1,所以K

可逆,于是R(B)=R(A).因A

的列向量组线性无关,所以

R(A)=3,从而R(B)=3.因此B

的3个列向量线性无关,也即b1,b2,b3

线性无关.例6

设向量组a1,a2,a3

线性无关,试证向量组b1,b2,b3

也线性无关.证2

则向量b可由a1,,ar

线性表示.

设向量组a1,,ar

线性无关,

定理2证明故存在一组不全为0的数假设k=0,则k1,,kr

不全为0,且有这与a1,,ar

线性无关矛盾.因此

k0,于是若a1,,ar,b

线性相关,

因a1,,ar,b

线性相关,k1,,kr

,使

定理2*

设向量组a1,,ar

线性无关,若向量b不可由向量组a1,,ar

线性表示,则a1,,ar,b

线性无关.例7

设向量组a1,a2,a3

线性相关,向量组a2,a3,a4

线性无关,证明(1)a1

能由a2,a3

线性表示;(2)a4

不能由a1,a2,a3

线性表示.证明

(1)因a2,a3,a4

线性无关,故部分组a2,a3

线性无关,而

a1,a2,a3

线性相关,因此a1

能由a2,a3

线性表示.(2)用反证法.假设

a4

能由a1,a2,a3

线性表示,能由a2,a3

线性表示,从而

a4

也能由a2,a3

线性表示,a2,a3,a4

线性相关,这与a2,a3,a4

线性无关矛盾.由(1)

知a1

定理2所以则向量b可由a1,,ar

线性表示.

设向量组a1,,ar

线性无关,

若a1,,ar,b

线性相关,作业

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