《高等数学》第六章多元函数积分学

高等数学第六章多元函数积分学

第一节

二重积分的概念与性质 第二节

二重积分的计算

第三节

二重积分的应用在一元函数的积分学里，定积分是一种确定形式的和式的极限。把这种和式的极限的概念推广到定义在区域上的多元函数的情形，从而得到多元函数积分学中重积分的概念。本章主要介绍二重积分的概念、计算方法及应用。第一节二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积设有一柱体，它的底是平面上的闭区域，其侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于轴的柱面，其顶面方程为（见图6-1）。假设，且在内连续，我们称这种柱体为“曲顶柱体”。现在我们来讨论如何计算上述曲顶柱体的体积。图6-1平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式：体积=底面积高来计算。而对于曲顶柱体，当点在内变动时，高是个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算。我们考虑用类似求曲边梯形面积的方法计算曲顶柱体的体积。（1）分割用一组曲线把闭区域分成个小闭区域：，其面积分别为.。分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于轴的柱面，这些柱面就把曲顶柱体分成了个细曲顶柱体（见图6-1）。记这些细曲顶柱体的体积为（），那么（2）近似当小闭区域的直径（即该区域上任意两点间距离的最大值）很小时，由于函数连续，故在小闭区域上变化很小。这时，细曲顶柱体可以近似地看成平顶柱体。在上任取一点，则以为高而底为的平顶柱体的体积为，于是细曲顶柱体的体积可近似为（

）（3）求和将个细平顶柱体的体积相加，就可以得到曲顶柱体体积的近似值：（4）取极限

令个小闭区域的直径的最大值为，则当趋于零时，取上述和的极限。所得的极限便可以定义为曲顶柱体的体积，即2.二重积分的定义

定义设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成个小闭区域，用表示的面积，任取（），作和。如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为在闭区域上的二重积分，记作.，即其中，叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，与叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分和。若极限存在，便称在上是可积的。这里不加证明的给出结论：如果函数在闭区域上连续，则在上可积。在直角坐标系中，把面积元素记作，则二重积分可以记为其中，叫做直角坐标系中的面积元素。

一般地，如果，则就是曲顶柱体的体积；如果，则柱体位于平面的下方，二重积分的绝对值等于柱体体积；如果在闭区域上既有正值，又有负值，则二重积分表示曲顶柱体体积的代数和，这就是二重积分的几何意义。二、二重积分的性质二重积分具有与定积分类似的性质。假设下面所出现的函数均是可积的，二重积分具有如下性质。性质1（线性性质）性质2（区域可加性）

设区域可分为两个区域和，它们除边界外没有公共点，则性质3

如果在区域D上f(x,y)=1，σ为D的面积，那么这一性质的几何意义是，高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积．性质4（保号性）

当，时，推论1

若，则推论2由于，故有不等式性质5（估值定理）

设M和m分别为函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值与最小值，则其中σ是D的面积．性质6（二重积分的中值定理）设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ,η)，使得其几何意义是:对于任意的曲顶柱体，必存在一个以该曲顶柱体的底为底，以其底上某一点(ξ，η)所对应的函数值为高的平顶柱体，它的体积等于这个曲顶柱体的体积．例1

比较二重积分与的大小，其中，由轴、轴及直线围成．解如图6-2所示，在D上任意一点都有，则，由二重积分的性质4的推论1，得图6-2例2

利用二重积分的性质估计积分的值，其中是矩形闭区域：，．解因为在上有，而的面积是2，所以由二重积分的性质5可得第二节

二重积分的计算在实际应用时，用二重积分的定义和性质去计算二重积分并不是一种切实可行的方法．本节介绍一种计算二重积分的方法，这种方法先把二重积分化为二次单积分，然后通过连续计算二次定积分求二重积分的值。下面分别对直角坐标系和极坐标系进行讨论．一、二重积分在直角坐标系中的计算(1)积分区域的情形假设平面区域由、()及直线、所围成(见图6-3)，即平面区域可表示为这种区域的特点是：穿过内部且平行于轴的直线与的边界的交点不多于2个。我们称之为X-型区域（见图6-3）。在区间[a，b]上取定一点，过该点作平行于面()的平面，该平面截曲顶柱体所得的截面面积记为，而该截面是一个以区间为底，以曲线为曲边的曲边梯形(见图6-4中阴影部分)．于是，该曲边梯形的面积为：图6-3图6-4由的任意性，运用计算平行截面面积为已知的立体体积计算方法，得曲顶柱体的体积为这个体积也就是二重积分的值，即有

(1)(1)式右端称为先对y、后对x的二次积分，也就是先把x看作常数，对y积分，再把对y积分的结果(是x的函数)对x计算在[a，b]上的定积分．(1)式便可记为(1')

(2)积分区域的情形假设平面区域D由、（）及直线、所围成(见图6-5)，即平面区域D可表示为

这种区域的特点是：穿过内部且平行于轴的直线与的边界的交点不多于2个。我们称之为Y-型区域（见图6-5）。利用类似X-型区域的推导方法，可得或(2)(2')图6-5(3)混合型区域如果区域D不属于上述两种类型，可以用平行于x轴或平行于y轴的直线把D分成若干个小区域，使每个子区域属于上述类型，区域D上的积分就化成每个子区域上积分的和(见图6-6)．由图6-6可知，所以如果区域既可以归为X-型区域，又可以归为Y-型区域，则需要根据具体问题适当选择积分次序．图6-6例1

计算，其中是由两坐标轴及直线所围成的闭区域．解画出积分区域，如图6-7所示，则可表示为不等式组所以图6-7例2

计算，其中由抛物线和围成．解画出积分区域，如图6-8所示．由方程组求得图形顶点坐标(0,0)和(1,1)．积分区域可表示为所以本题若先对y积分后对x积分，解法类似．图6-8例3

设平面薄片所占的区域是由曲线及所围成的，它的面密度为，求该薄片的质量解由方程组，求得图形顶点坐标(0,0)和(1,1)．则所求薄片质量为其中，积分区域可表示为：，(见图6-9)．于是则所求的薄片的质量为.

图6-9二、二重积分在极坐标系中的计算在计算二重积分时，如果积分区域的边界曲线用极坐标方程表示比较方便，且被积函数用极坐标变量、表示也比较简单时，通常可考虑运用极坐标来计算二重积分。直角坐标系和极坐标系的关系是积分区域的边界曲线可化为，被积函数可变换为．对于极坐标系下的积分区域，用圆心在极点、半径为常数的同心圆族及极角为常数的射线族划分积分区域．一般的小区域Δσ(如图6-10所示)可近似地看成长为、宽为的小矩形，即可取面积微元于是，二重积分在极坐标系下可表示成(3)以下按积分区域的三种情形，在极坐标系下将二重积分化为二次积分．(1)若D由射线、()，曲线和()围成(即极点在区域之外)(见图6-10)，则闭区域可表示成且有(4)图6-10

(2)若由射线、()和曲线围成(即极点在区域的边界上)(见图6-11)，则闭区域可表示成且有(5)图6-11(3)若由封闭曲线围成(即极点在区域D之内)(见图6-12)，则闭区域可表示成且有(6)图6-12(4)式～(6)式分别给出了二重积分在极坐标系下化成二次积分的计算公式．例4

计算二重积分，其中区域是由所确定的圆域．解画出区域D，如图6-13所示，D可表示为于是由公式(6)，有图6-13例5

计算，其中D为圆x2+y2=1和圆x2+y2=9之间的第一象限部分．解画出区域D，如图6-14所示，可表示为于是由公式(5)，有图6-14第三节二重积分的应用二重积分在实际中有着广泛的应用．本节将介绍它在求