CG第章电子教案

第7章三维变换及三维观察提出问题如何对三维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换如何进行投影变换如何方便地实现在显示设备上对三维图形进行观察2022/12/81华中理工大学计算机学院陆枫99-77.1三维变换的基本概念7.1.1三维齐次坐标变换矩阵2022/12/82华中理工大学计算机学院陆枫99-77.1.2几何变换图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形。点的矩阵变换线框图的变换用参数方程描述的图形的变换2022/12/83华中理工大学计算机学院陆枫99-77.1.3平面几何投影投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平面图形。平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴测图。观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变换。2022/12/84华中理工大学计算机学院陆枫99-7投影中心、投影面、投影线：

2022/12/85华中理工大学计算机学院陆枫99-7平面几何投影可分为两大类：透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的2022/12/86华中理工大学计算机学院陆枫99-72022/12/87华中理工大学计算机学院陆枫99-77.1.4观察投影7.2三维几何变换2022/12/89华中理工大学计算机学院陆枫99-77.2.1三维基本几何变换三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后为p'(x',y',z')。2022/12/810华中理工大学计算机学院陆枫99-71.平平移移变变换换2022/12/711华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-72.比比例例变变换换(1)局局部部比比例例变变换换2022/12/712华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-7例子子：对对如如图图7-6所所示示的的长长方方形形体体进进行行比比例例变变换换，，其其中中a=1/2，，e=1/3，，j=1/2，，求变变换换后后的的长长方方形形体体各各点点坐坐标标。。2022/12/713华中理理工大大学计计算机机学院院陆陆枫枫99-7(2)整体体比例例变换换2022/12/714华中理理工大大学计计算机机学院院陆陆枫枫99-73.旋旋转变变换2022/12/715华中理理工大大学计计算机机学院院陆陆枫枫99-7(1)绕z轴旋转2022/12/716华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-7(2)绕绕x轴旋旋转转2022/12/717华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-7(3)绕绕y轴旋旋转转2022/12/718华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-74.对对称称变变换换(1)关关于于坐坐标标平平面面对对称称关于于xoy平面面进进行行对对称称变变换换的的矩矩阵阵计计算算形形式式为为：：2022/12/719华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-7关于于yoz平面面的的对对称称变变换换为为：：2022/12/720华中理理工大大学计计算机机学院院陆陆枫枫99-7关于zox平面的的对称称变换换为:2022/12/721华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-7(2)关关于于坐坐标标轴轴对对称称变变换换关于于x轴进进行行对对称称变变换换的的矩矩阵阵计计算算形形式式为为：：2022/12/722华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-7关于于y轴的的对对称称变变换换为为：：2022/12/723华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-7关于于z轴的的对对称称变变换换为为：：2022/12/724华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-75.错错切切变变换换2022/12/725华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-7(1)沿沿x方向向错错切切2022/12/726华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-7(2)沿沿y方向向错错切切2022/12/727华中理工工大学计计算机学学院陆陆枫99-7(3)沿沿z方向错切切2022/12/728华中理工工大学计计算机学学院陆陆枫99-76.逆逆变换换所谓逆变换即是与上上述变换换过程的的相反的的变换(1)平平移的逆逆变换2022/12/729华中理工工大学计计算机学学院陆陆枫99-7(2)比比例的逆逆变换局部比例例变换的的逆变换换矩阵为为：2022/12/730华中理工大学学计算机学院院陆枫99-7整体比例变换换的逆变换矩矩阵为：2022/12/731华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-7(3)旋旋转转的的逆逆变变换换2022/12/732华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-77.2.2三三维维复复合合变变换换三维维复复合合变变换换是指指图图形形作作一一次次以以上上的的变变换换，，变变换换结结果果是是每每次次变变换换矩矩阵阵相相乘乘。。2022/12/733华中理工工大学计计算机学学院陆陆枫99-71.相相对任任一参考考点的三三维变换换相对于参参考点F(xf,yf,zf)作比例、、旋转、、错切等等变换的的过程分分为以下下三步：：(1)将将参考点点F移至坐标标原点(2)针针对原点点进行二二维几何何变换(3)进行行反平平移2022/12/734华中理理工大大学计计算机机学院院陆陆枫枫99-7例：相对对于F(xf,yf,zf)点进行行比例例变换换2022/12/735华中理理工大大学计计算机机学院院陆陆枫枫99-72.绕绕任意意轴的的三维维旋转转变换换问题：如何求出出为TRAB。2022/12/736华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-7分析：2022/12/737华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-7公式推导：(1)将将坐标原点点平移到A点(2)将将O'BB'绕x'轴逆时针旋旋转α角，则O'B旋转到x'o'z'平面上(3)将将O'B绕y'轴顺时针旋旋转β角，则O'B旋转到z'轴上。(4)经经以上三步步变换后，，AB轴与z'轴重合，此此时绕AB轴的旋转转转换为绕z轴的旋转。。(5)最最后，求TtA，TRx，TRy的逆变换，，回到AB原来的位置置。2022/12/738华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-7类似地，针针对任意方方向轴的变变换可用五五个步骤来来完成：(1)使任任意方向轴轴的起点与与坐标原点点重合，此此时进行平平移变换。。(2)使方方向轴与某某一坐标轴轴重合，此此时需进行行旋转变换换，且旋转转变换可能能不止一次次。(3)针对对该坐标轴轴完成变换换。(4)用逆旋旋转变换使方方向轴回到其其原始方向。。(5)用逆平平移变换使方方向轴回到其其原始位置。。2022/12/739华中理工大学学计算机学院院陆枫99-77.3平平行投影平行投影可分分成两类：正正投影和斜投投影。2022/12/740华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-77.3.1正投投影正投影又可可分为：三三视图和正正轴测。当投影面与与某一坐标标轴垂直时时，得到的的投影为三视图；否则，得得到的投影影为正轴测图。三视图：三视图包括括主视图、、侧视图和和俯视图三三种，投影影面分别与与X轴、Y轴和Z轴垂直。2022/12/742华中理工工大学计计算机学学院陆陆枫99-7正轴测图图正轴测有有等轴测测、正二二测和正正三测三三种。当投影面面与三个个坐标轴轴之间的的夹角都都相等时时为等轴测；当投影面面与两个个坐标轴轴之间的的夹角相相等时为为正二测；当投影面面与三个个坐标轴轴之间的的夹角都都不相等等时为正三测。2022/12/743华中理工大学学计算机学院院陆枫99-72022/12/744华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-71.三三视图计算步骤：：(1)确确定三维形形体上各点点的位置坐坐标(2)引引入齐次坐坐标，求出出所作变换换相应的变变换矩阵(3)将将所作变换换用矩阵表表示，通过过运算求得得三维形体体上各点(x,y,z)经变换后的的相应点(x',y')或(y',z')(4)由变换后的的所有二维维点绘出三三维形体投投影后的三三视图。2022/12/745华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-72.主主视图将三维形体体向xoz面（又称V面）作垂直直投影（即即正平行投投影），得得到主视图图。2022/12/746华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-73.俯俯视图三维形体向向xoy面（又称H面）作垂直直投影得到到俯视图，，(1)投投影变换(2)使H面绕x轴负转90°(3)使H面沿z方向平移一一段距离-z02022/12/747华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-74.侧侧视图获得侧视图图是将三维维形体往yoz面（侧面W）作垂直投影影。(1)侧侧视图的投投影变换(2)使W面绕z轴正转90°(3)使W面沿负x方向平移一一段距离x02022/12/748华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-75.正正轴轴测测图图的的投投影影变变换换矩矩阵阵分析析：2022/12/749华中理理工大大学计计算机机学院院陆陆枫枫99-7公式推推导：(1)先先绕y轴顺时时针旋旋转α角(2)再再绕x轴逆时时针旋旋转β角(3)将将三维维形体体向xoy平面作作正投投影最后得得到正正轴测测图的的投影影变换换矩阵阵2022/12/750华中理理工大大学计计算机机学院院陆陆枫枫99-76.正正等测测图分析：2022/12/751华中理理工大大学计计算机机学院院陆陆枫枫99-7公式推推导：将α和β的值代代入(7-1)式得得到正正等测测图的的投影影变换换矩阵阵：2022/12/752华中理工工大学计计算机学学院陆陆枫99-77.正正二测测图分析：2022/12/753华中理工工大学计计算机学学院陆陆枫99-7将α值代入(7-1)式得得到正二二测图的的投影变变换矩阵阵：特点分析析：2022/12/754华中理工大学学计算机学院院陆枫99-77.3.2斜斜投影斜投影图，即斜轴测图图，是将三维维形体向一个个单一的投影影面作平行投投影，但投影影方向不垂直直于投影面所所得到的平面面图形。常用的斜轴测测图有斜等测测图和斜二测测图。2022/12/755华中理工大学学计算机学院院陆枫99-72022/12/756华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-7斜轴测图的的形成通常β=30˚˚取30°或45°。2022/12/757华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-7斜平行投影影的投影变变换矩阵为为：对于斜等测测图有：α=45˚˚,ctgα=1斜二测图则则有：α=arctg(2),ctgα=1/22022/12/758华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-7对于斜等测测图有：α=45˚˚,ctgα=1斜二测图则则有：α=arctg(2),ctgα=1/22022/12/759华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-72022/12/760华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-77.4透透视投影影分析：2022/12/761华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-72022/12/762华中理理工大大学计计算机机学院院陆陆枫枫99-7灭点：不平行行于投投影面面的平平行线线的投投影会会汇聚聚到一一个点点，这这个点点称为为灭点(VanishingPoint)。。坐标轴轴方向向的平平行线线在投投影面面上形形成的的灭点点称作作主灭点点。一点透视有一个主灭灭点，即投投影面与一一个坐标轴轴正交，与与另外两个个坐标轴平平行。两点透视有两个主灭灭点，即投投影面与两两个坐标轴轴相交，与与另一个坐坐标轴平行行。三点透视有三个主灭灭点，即投投影面与三三个坐标轴轴都相交。。2022/12/763华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-72022/12/764华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-77.4.1一点点透视分析：要考虑下列列几点：(1)三维维形体与画画面（投影影面）的相相对位置；；(2)视距距，即视点点（投影中中心）与画画面的距离离；(3)视点点的高度。。2022/12/765华中理工大学学计算机学院院陆枫99-7假定视点（投投影中心）在在原点，画面面（投影面））与z轴垂直（z=d）。一点透视的步步骤：(1)将三维维形体平移到到适当位置l、m、n；；(2)令视点在z轴，利用公式式(7-2)进行透视变变换；(3)最后，，为了绘制的的方便，向xoy平面作正投影影变换，将结结果变换到xoy平面上。2022/12/766华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-7例：：试试绘绘制制如如图图7-21(a)所示示的的单单位位立立方方体体的的一一点点透透视视图图。。2022/12/767华中中理理工工大大学学计计算算机机学学院院陆陆枫枫99-77.4.2二二点点透透视视可以以这这样样来来构构造造二二点点透透视视的的一一般般步步骤骤：：(1)先先将将三三维维形形体体平平移移到到适适当当位位置置，，使使视视点点有有一一定定高高度度，，且且使使形形体体的的主主要要表表面面不不会会积积聚聚成成线线；；(2)将将形形体体绕绕y轴旋旋转转一一个个φ角(φ＜＜90˚˚)，，方向向满满足足右右手手定定则则；；(3)进进行行透透视视变变换换(4)最最后后向向xoy面作作正正投投影影，，即即得得二二点点透透视视图图。。2022/12/768华中理工工大学计计算机学学院陆陆枫99-7例：试绘绘制上例例（图7-21(a)）中的单位位立方体体的二点点透视图图。2022/12/769华中理工工大学计计算机学学院陆陆枫99-77.4.3三三点透透视同样可以以简单的的构造三三点透视视图：(1)首首先将三三维形体体平移到到适当位位置；(2)将将形体进进行透视视变换(3)然然后使形形体先绕绕y轴旋转φ角；(4)再再绕x轴旋转θ角；(5)将将变形且且旋转后后的形体体向xoy面作正投投影。2022/12/770华中理工工大学计计算机学学院陆陆枫99-77.5观观察察坐标系系及观察察空间7.5.1观观察坐坐标系观察参考考坐标系系（ViewReferenceCoordinate）观察参考考点（ViewReferencePoint）2022/12/771华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-7观察坐标系系（uvn坐标系）的建立法矢量N、法矢量V、法矢量U2022/12/772华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-7观察平面（ViewPlane），即投影平面面。2022/12/773华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-77.5.2观察察空间观察窗口：2022/12/774华中理工大学学计算机学院院陆枫99-7观察空间：无限观察空间间、有限观察察空间2022/12/775华中理工大学学计算机学院院陆枫99-72022/12/776华中理工大学学计算机学院院陆枫99-7需注意，对于透视投影影，前截面必必须在投影中中心和后截面面之间。2022/12/777华中理工大学学计算机学院院陆枫99-7观察平面和前前后截面的有有关位置取决决于要生成的的窗口类型及及特殊图形包包的限制2022/12/778华中理工工大学计计算机学学院陆陆枫99-72022/12/779华中理工工大学计计算机学学院陆陆枫99-7规范化观观察空间间平行投影影的规范范化观察察空间定定义为：：2022/12/780华中理理工大大学计计算机机学院院陆陆枫枫99-7透视投投影的的规范范化观观察空空间为为：2022/12/781华中理理工大大学计计算机机学院院陆陆枫枫99-77.6三三维维观察察流程程2022/12/782华中理理工大大学计计算机机学院院陆陆枫枫99-77.6.1用用户户坐标标系到到观察察坐标标系的的变换换具体变变换步步骤：(1)平平移观观察参参考点点到用用户坐坐标系系原点点(2)进进行旋旋转变变换分分别让让xv、yv和zv轴对应应到用用户坐坐标系系中的的x、y和z轴。2022/12/783华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-72022/12/784华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-77.6.2平行行投影的规规范化投影影变换分析：平行投影的的规范化投投影变换可可由以下三三步组成。。(1)将投投影中心平平移到观察察坐标系原原点。2022/12/786华中理工大大学计算机机学院陆陆枫99-7(2)对坐坐标系进行行错切变换换，使投影影中心和窗窗口中心的的连线错切切到zv轴2022/12/787华中理工工大学计计算机学学院陆陆枫99-7(3)进进行坐标标的归一一化变换换2022/12/788华中理工大学学计算机学院院陆枫99-77.6.3透透视投影影的规范化投投影变换分析：透视投影的的规范化投影影变换分两步步进行(1