计量经济学-第二章

TheoryandMethodologyofEconometricModel第二章经典单方程计量经济学模型一元线性回归模回归分析概一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型检一元线性回归模型预实一、变量间的关系及回归分析的基本概四、样本回归函数一、变量间的关系及回归分析的基本概 1、变量间的关变量之间的关系，大体可分为两类确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随量间的关系。统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随量间的关系。例如函数关系圆面积

半径统计依赖关系/统计相关 正相线性相 不相 相关系数统计依赖关 负相 1

有因果关 回归分 非线性相关不相关负相▲注意①非线性相关并不意味着不相关②有相关关系并不意味着一定有因果关系③/相关分析研究一个变量对另一个（些）味着一定有因果关系。④对称地对待任何（两个）两个变量都被看作是随机的。回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分因变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随量，后者不是。被解释变量（ExplainedVariable）（Dependent解释变量（ExplanatoryVariable）（Independent根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得归方程对回归方程、参数估计值进行显著性检验利用回归方程进行分析、评价及预测二、总体回归函 由于变量间关系的随机性，回归分析关心的表 某社区家庭每月收入与消费支出统计表每月家庭可支配收入X（元每月家庭消费支出Y（元）共计由于不确定因素的影响，对同一收入水X，不同家庭的消费支出不完全相的Y的条件分布（Conditionaldistribution）是已均值（conditionalmean）或条件期望（conditional该例中：E(Y|（元

0

描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。概念轨迹称为总体回归线（populationregression（populationregressioncurve）E

|Xi)

f(Xiregressionfunction,PRF）。含义函数形式可以是线性或非线性的例2.1中，将居民消费支出看成是其可支配入的线性函数

E(Y

|Xi)

1X为一线性函数。其中，0，1是未知参数回归系数（regressioncoefficients）三、随机扰动 iiYiE(Y|Xi称i为观察值Yi围绕它的期望值E(Y|Xi)的离（deviation），是一个不可观测的 量，又为随机干扰项（stochasticdisturbance）或随机误差项（stochasticerror）。例2.1中，个别家庭的消费支出为

即，给定收入水平Xi,个别家庭的支出可表示为两部分之和该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(i，称为系统性（ai）或确定性dinisti部分。其他随机或非确定性（nonsystematic)部分i随机误差项主要包括下列因素的影响在解释变量中被忽略的因素的影变量观测值的观测误差的影响模型关系的设定误差的影响其它随机因素的影响产生随机误差项的主要原因 四、样本回归函数 表 家庭消费支出与可支配收入的一个随机样YX该样本的散点图（scatter该线称为样本回归线（sampleregressionlines）。ˆf(Xˆf(X)ii01i称为样本回归函数（sampleregressionfunction，SRF）这里将样本回归方程看成总体回归方程的近似替则 样本回归函数的随机形式/样本回归模型 同样地，样本回归函数也有如下的随机形式YYiˆieiˆ0ˆ1Xii请对比式中

称为（样本）残差（或剩余）项（residual，代了其他影响

的随机因素的集合，可看成是

的估计量 由于方程中引入也称为样本回归模型（sampleregressionmodel）▼回归分析就是

Yi

i估 i

|Xi)

1X

iPRF能一元线性回归模型的基本假最小二乘估计量的性PRF，实际上，主要是估计参数（ ）最小二乘法（ordinaryleastsquares,OLS）。一、线性回归模型的基本假 假设1、解释变量X是确定性变量，不是随假设2、随机误差项具有零均值、同方差Vari=1,2,i=1,2,Cov(i,j)=E(i i≠ji,j=1,2,假设3、随机误差项与解释变量X之间不相关cov(cov(i，Xi)E[iE(i)][XiE(XiE(iXi)i1,2,,假设4、服从零均值、同方差、零协方差的正态分布。i~N(0,2 i=1,2,服从同方差的正态分服从异方差的正态分经典假设或（Gauss）假设，满LinearRegressionModelCLRM）二、参数的普通最小二乘估计二、参数的普通最小二乘估计给定一组样本观测值（XiYi）（i=1,2,…n）要求X2普通最小二乘法（OrdinaryleastsquaresOLS）X2nQ(Yin1

ˆ)

(Yin1n

(ˆ0i 即在给定样本观测值之下，选择、i iˆi方程组（*）称为正规方程组（normalequations）i xi

(X

X)

X

1 Xi ixi

(Xi

X

Y

11xiyixi

leastsquaresestimators）。顺便，

ˆi

ˆi则iˆi

en可 ˆn

X)

1

（**）式也称为样本回归函数的离差形式三、参数估计的最大似然法三、参数估计的最大似然法 umLikelihood,简称基本原理对于，当从模型总体随机组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该的概率最大。在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型

1X

i随机抽取n组样本观测值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）假设模型的参数估计量已经求得，为、 那么Yi服从如下的正态分2Yi~N(01Xi,2于是，Y的概率函数1

(Yi01Xi)2

2

2

概率，也即似然函数(likelihoodfunction)为：11

,

,2)

n n

1e21

(Yi

Xi将该似然函数极大化，即可求得到模型2L*2

n

2)

解得模型的参数估计量为 X2YXY 2 nX2

(Xi

YiX

YiXi i

nX

(Xi2可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参数的最大似然估计量与普通最小2表2.2.1表 参数估计的计算表XyixixiyiXiYi1--2--3--4--5--6789求和平均

xi

xi xi

0.777

i 103.1720.777Xi 四、最小二乘估计量的性 （bestlinearunbiasedestimatorBLUE）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是——马尔可夫定理(Gauss-Markov在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计00wY和k 1 Y)ii i

x2

iiiiiiii

2、无偏性，即估计量参数真值0与

、

的均值（期望）等于总体回

k

k

)k

k

kkikixx2ikiXi

1 1

kii11

E(1

kii)

1kiE(i)

E(0

wii)

E(0)wiE(i)03、有效性（最小方差性，即在所有线性无偏估计量中，最小二乘估计量 、ˆ1具有最小方差。(1)先求

与

的方11

)

iYi

k

1X

i

k

var(ix21iix21ii2 x2

)var(w

)w

)

(1/n

)2 1

n n

x 2x

Xk

X

X2

in i

2X2inX2inx211

iXiX

x2nXi ini x2ni

nx假设*是其他估计方法得到的关于

的线性无偏估计 1iiˆ* c1ii11

0同理，可证明0的最小二乘估计量0

具有最小方差普通最小二乘估计量（ordinaryleastSquareslinearunbiasedestimator,BLUE） ˆ*cYc(

X)

cXc

E(ˆ*)E(

cXc

)cc

由题设的无偏性估计量知，ci0，ciXi ˆ*c ckd k0d cXkXdX kX1dX var(ˆ*var(c2c 而c2k2d22k x X k

i

d

0，d c2k2d 性

c22(k2d2)var(ˆ)2d111

1var(ˆ)，证明完11、参1、参数估计量ˆ0和的概率分

~N(1 2

xX ~N( 2xXii

n 2x2 2x2i1

2 X2nx2i2、随机误差项的方差2的估 2又2又称为总体方差由于随机项i不可观测，只能从i的估计——残ei出发，对总体方差进行估计e2in

它是关于2的无偏估计量

2n2Yi

1Xi

i

1

)ei

yixe()(ˆ)x e2(ˆ)2x22(ˆ)x()(

)2 E(e2)x2E(ˆ)2E(()2)2E[(ˆ)x(

)] x

)(n1)var(u)2E[k

(x

ABiA2;

iE(e2)(n2)i e 若定义

n

)在最大似然估计法在随机误差项的方差2估计出后，参数和的方差和标准差的估计量分别是：x2iˆ1的x2i

ˆ xSˆ xSˆˆ1的样本标准差

S

X2inxX2inx2

S2S

2 nxXiixXii

的样本标准差

S

(三)(三)拟合优 一、拟合优度检 1、总离差平方和的分 X X iiyi Yiii

)

Y

ˆ 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好可认为，“离差”y2记TSSy2

Y

ofSquares）

ˆiie2ii

ii

Yii

SumofSquares）SumofSquares）Y的Y的观测值围绕其均值的总离差variation)可分解为两部分：一部分来线(ESS)，另一部分则来自随(RSS)在给定样本中，TSS不变如果实际观测点离样本回归线越近，则在TSS中占的越大，因此拟合优度：回归平方和ESS/Y的总离差2、可决系数R2统计 R2

1

R2为（样本）可决系数/判定系数（coefficientofdetermination)。可决系数的取值范围在实际计算可决系数时，在

已经估计出R2

2

x2iy1 2iy 在例2.1.1的收入-消费支出例中iR2i

x

yi yi计量经计学中，主要是针对变量的参数值是否为零来进行显著性检验的1、假设检 假设检验采用的逻辑推理方法是反证法 2、变量的显著性检 i1~N(1,x2i x2itx2i

S1

~t(n检验步骤H0： t S1给定显著性水平，查t分布表，得临界值t/2(n-(4比较，判若|t|>t/2(n-2)， H0，接受H1若|t|t/2(n-2)， H1，接受H0

见后面证t

~t(nii2Xii

n

S0在上述收入-消费支出例中，首先计算2e2

2

n

n

10

x2i13402/x2i13402/1ˆ2X2i ˆ2X2i 2i0

iyiXi iyiXi

1Yi1

1xiX 1xiX

Yi 1y221221y22122

Yi

ˆ(Xi

Xi)222yi222

ei

12yi12

xiei

112212xi与ei不相关，因而xiei1122122ei2

xit1

Sˆ1

t0

S 0

t|t0|<2.306,表明在95%的置信度下，无法 t经验法如果自由度≥20，且显著性水过2时，就可以原假设。 三、参数的置信区

1（confidenceinterval）1-称为置信系数（置信度（confidencecoefficient），称为显著性水平（level significance）；置信区间的端点称为置信（confidencelimit）或临界值（criticalvalues）一元线性模型中，i(i=1，2）的置信区间 t

~t(ni(-t/2,t/2)的概率是(1-)。表示为：P(t

tt

1

t

1 s iii

t2

si

于是得到:(1-iiiii

t2

si

,

t2

si在上述收入-消费支出例中，如果给定=0.01，2由 Sˆ1

S 0

于是，1、0（-Ŷ0是条件均值E(Y|X=X0)或个Y0的一个无偏估X X 被解释变量的预测值Ŷ0，可以此作为其条件均注意（2）一、一、Ŷ0是条件均值E(Y|X=X0)或个值X X 0 Eˆ0

)

X0)

X0

)

1X11可见，Ŷ0是条件均值E(Y|X=X0)的无偏估计11Y00 E(Y0)

E(

1X

)

1X

E()

1X0E(ˆ0

)E(ˆ0

X0

)0

1X1X)1X) 1、总体均值预测值的置信区 i02 i02

N(

N

2i 1xi

0nx0i Ex0i

)E(ˆ0)

1X00

)Var

)2

0Cov

01i101i1

,

)2

/x证明

,

)2X/1x0i1x0i

,

)

1)1001101X Y 1001101X E(Y)

)

)

1010010

1)1010

,

)

1)

1112 1112 var(1)

iix2ii

cov(0,

x2 Var

Xi)i

2X

X

X2ii nxii

x

x0i X2nX 0i X2

2

XX2ix2 i

0x x

(

X)2

2(

(X

X)i)ii2n2i2ni

(X

X)

xiY0i

N(

1X0, (n

x 1(1(X)n x2it S0

~t(n

其中Sˆ0000ˆt02

SY0Y

|X0

t2

SY0Y2、总体个值预测值的预测区 2由Y0=0+1X0+2Y0

N(0

1

0,

(X

X)于

~N(0,

n

xixˆt

~t(n

Sˆ ˆ ˆ21(X2n x20 SYˆ 0从而在1-的置信度下，Y0的置信区间0 0ˆ 02

t2

在上述收入-消费支出例中，得到的样本回归函数i 103.1720.777Xi则在X0=1000处，Ŷ0=

(10002150)2

1340210

0S(ˆ0

)

见ppt的67673.84-2.30661.05<E(Y|X=1000) （533.05,673.84-2.306130.88<Yx=1000<673.84+ (372.03,总体回归函数的置信域（confidenceband）（窄一点的置信 （宽一点对于对于Y的总体均值E(Y|X)样本容量n越大，预测精度越高，反之预测样本容量一定时，置信带的宽度当在X均值处（即X）最小，其附近进行预测（插值预测精度越大；X2补充2的置信区间（confidence22

(n

2)

2

/2

1

2)

22