1-5无穷小阶的比较1

1.6无穷小阶的比较1无穷小的比较设a,p是自变量的同一变化过程中的两个无穷小.。(1)如果limP=0，则称p是比a高阶的无穷小，记为p=。(a)；也说a是比p低阶的aXTx50无穷小。(2)如果limXTX0p=c(c是不为0的常数)，则称p是与a同阶的无穷小。a如果limXTX0p=1，则称p与a是等价无穷小，记作p口a或a□p。a旦=c(k>0，c是不为0的常数)，ak例如如果limXTX0XT0时，3X2=o(X)，sinx□x，1一cos则称p是关于a的k阶无穷小。X与X2是同阶无穷小，同时1-cosX也是关于x的二阶无穷小。注意并不是所有的无穷小都能进行比较，XT8时1f(X)=-Xsinxg(x)=都是无穷小。l注意并不是所有的无穷小都能进行比较，XT8时1f(X)=-Xsinxg(x)=都是无穷小。li-m1和lim史旦=limsinT8siXnXT8f(X)XT8X都不存在因此，g(x)=、不能进行阶的比较。X例1XT0时，比较1-cosX与X2的阶。XX12sin22sin1一cosX22解lim=lim=limXT0X2XT0X2XT04(X)221=lim—XT021=一・1=-22XT0时，1-cosX与LX2是等价无穷小。2设a,p是自变量的同1.5.1变化过程中的两个无穷小=a+o(a)。XT0时，1一cxOs—x2，21故1一cosX=—X2+o(X2)2cosX=1-—X2+o(X2)，于是在X=0的小邻域内可以用1-—X2近似代替cosX。22定理1.5.2设a,a，,p,p，都是自变量同一变化过程中的无穷小，且a□a'，p□plim'存在，^0lim'=lim'存在，^0lim'=lim'以'以以'证明lim旦=lim

a<_P8，a')

kP'a'a?P时a'时=lim—-lim—-lim—=lim—。P'a'aa'等价无穷小代换是计算极限的一个重要方法。求limxT0sin5x3(sin2x)3解xT0时，sin2x-2x;又xT0时5x3t0，所以sin5x3-5x3。因此sin5x35x35lim=lim=-xT0(sin2x)3xT0(2x)38例3求极限limtanx例3求极限limtanx一sinx解tanx一1sinx=sinx(一1)cosxsinx(1一cosx)cosxxT0时，sinx~x,所以，.例4证明xT0时，sinhx□ex-1。sinhxexe-x(ex1)一(e-xxT0时，sinx~x,所以例4证明xT0时，sinhx□ex-1。sinhxexe-x(ex1)一(e-x一1)ex一12(ex一1)2(ex一1)e-x一1=一2(ex-1)xT0时，ex一1□x，因此，e-x一1□一x，故e-x一1一x1lim=lim=一一xt02(ex—1)xt02x2lim=limlim2=—xT0x3xT0x3cosxxT0x3cosx2若分子、分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限。2xT0时几个常见的无穷小xT0日寸，sinx□x,tanx□x，1一cosxH~x2，arcsinx□x，arctanx□xln(1+x)□x，2证明ax一1□xlna(a>0a丰1)