高一数学：《3-3 幂函数》名师优质课导学案

3．3幂函数学习目标1.了解幂函数的概念.2.掌握y＝xαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＝－1，\f(1,2)，1，2，3))的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．预习小测自我检验1．下列函数中不是幂函数的是________．①y＝x0； ②y＝x3；③y＝2x； ④y＝x－1.答案③2．设α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，3))，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为________．答案1,3解析当幂函数为奇函数时，α＝－1,1,3，又函数的定义域为R，所以α≠－1，所以α＝1,3.3．当x∈(0,1)时，x2________x3.(填“>”“＝”或“<”)答案>4．已知幂函数f(x)＝xα图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，则f(4)＝________.答案eq\f(1,2)一、幂函数的概念例1(1)下列函数：①y＝x3；②y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析幂函数有①⑥两个．(2)已知是幂函数，求m，n的值．考点幂函数的概念题点由幂函数定义求参数值解由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(3,2).))所以m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).反思感悟判断函数为幂函数的方法(1)自变量x前的系数为1.(2)底数为自变量x.(3)指数为常数．跟踪训练1(1)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2答案C解析由幂函数的定义知k＝1.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\f(\r(2),2)，解得α＝eq\f(1,2)，从而k＋α＝eq\f(3,2).(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于()A．2B．1C.eq\f(1,2)D．0答案A解析因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.二、幂函数的图象及应用例2(1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．解因为f(x)＝xα的图象过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，所以f(2)＝eq\f(1,4)，即2α＝eq\f(1,4)，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．(2)下列关于函数y＝xα与y＝αxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，2，3))))的图象正确的是()答案C反思感悟(1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．跟踪训练2(1)如图所示，C1，C2，C3为幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取()A.eq\f(4,3)，－2，eq\f(3,4)B．－2，eq\f(3,4)，eq\f(4,3)C．－2，eq\f(4,3)，eq\f(3,4)D.eq\f(3,4)，eq\f(4,3)，－2答案C(2)在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－eq\f(1,a)的图象可能是()考点幂函数的图象题点幂函数有关的知图选式问题答案C解析选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－eq\f(1,a)应为减函数，A错误；选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－eq\f(1,a)应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a<0，则－eq\f(1,a)>0，直线y＝ax－eq\f(1,a)在y轴上的截距为正，D错误．三、比较幂值的大小例3比较下列各组数的大小．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；(3)与.解(1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又eq\f(2,5)>eq\f(1,3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5.(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－eq\f(2,3)<－eq\f(3,5)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1.(3)因为在(0，＋∞)上是单调递增的，所以＝1，又在(0，＋∞)上是单调递增的，所以＝1，所以.反思感悟此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．跟踪训练3比较下列各组数的大小：(1)和；(2)，和.解(1)函数y＝在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以.(2)所以幂函数性质的应用典例已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足的a的取值范围．考点幂函数的性质题点利用幂函数的性质解不等式解因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.则原不等式可化为因为在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2)或a<－1.故a的取值范围是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或\f(2,3)))<a<\f(3,2))).[素养提升]通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养．1．以下结论正确的是()A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限考点幂函数的综合问题题点幂函数的综合问题答案D2．下列不等式成立的是()A. B.C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2 D．答案A3．函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．答案－eq\f(1,8)解析因为函数y＝x－3＝eq\f(1,x3)在(－∞，0)上单调递减，所以当x＝－2时，ymin＝(－2)－3＝eq\f(1,－23)＝－eq\f(1,8).4．若幂函数在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.答案2解析令m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3符合要求．当m＝－1时，m2－2m－3＝0不符合要求．故m＝2.5．先分析函数的性质，再画出其图象．解，定义域为R，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如下：1．知识清单：(1)幂函数的定义．(2)几个常见幂函数的图象．(3)幂函数的性质．2．方法归纳：(1)运用待定系数法求幂函数的解析式．(2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想．3．常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)为幂函数，其它形式都不是幂函数．1．下列函数中是幂函数的是()A．y＝x4＋x2 B．y＝10xC．y＝eq\f(1,x3) D．y＝x＋1考点幂函数的概念题点判断函数是否为幂函数答案C解析根据幂函数的定义知，y＝eq\f(1,x3)是幂函数，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．2．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是()A．y＝x－2 B．y＝x－1C．y＝x2 D．y＝答案A解析其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝不是偶函数，故排除选项B，D，又y＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.3．已知f(x)＝，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是()A．f(a)<f(b)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<f(a)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f(b)考点比较幂值的大小题点利用单调性比较大小答案C解析因为函数f(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，又0<a<b<1<eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，故f(a)<f(b)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，故选C.4．已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为()A．－3B．2C．－3或2D．3考点幂函数的性质题点幂函数的单调性答案A解析由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m<0.故m＝－3.5.如图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±eq\f(1,2)四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2)D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)答案B解析要确定一个幂函数y＝xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y＝xα的图象在直线x＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x＝1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，C4，所以C1，C2，C3，C4的指数α依次为2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2.6．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．答案α<0解析因为0<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．故α<0.7．已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，则m与n的大小关系为________．答案m<n解析设f(x)＝x－1，已知a≠0，则a2＋3>3>0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则f(a2＋3)<f(3)，即(a2＋3)－1<3－1，故m<n.8．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．考点幂函数的性质题点幂函数的单调性答案1解析由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．解(1)若函数f(x)为正比例函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.(2)若函数f(x)为反比例函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±eq\r(2).10．点(eq\r(3)，3)与点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)<g(x)?解设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.因为(eq\r(3))α＝3，(－2)β＝－eq\f(1,2)，所以α＝2，β＝－1，所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．11．已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m等于()A．1B．2C．1或2D．3答案B解析因为f(x)＝xm－3在(0，＋∞)上是减函数，所以m－3<0.所以m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.又因为f(x)＝xm－3是奇函数，所以m－3是奇数，所以m＝2.12．函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是()答案B解析y＝－1的定义域为[0，＋∞)且为增函数，所以函数图象是上升的，所以y＝－1关于x轴对称的图象是下降的，故选B.13．若<，则a的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))解析函数y＝在[0，＋∞)上是增函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥0，,3－2a≥0，,a＋1<3－2a，))解得－1≤a<eq\f(2,3).14．已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________，函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))的定义域为________．答案eq\f(\r(2),