高一数学：《3-4 函数的应用（一）》集体备课课件

3.4函数的应用(一)课标要求素养要求1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要性.2.会利用已知函数模型解决实际问题.通过本节课的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等素养.教材知识探究随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：结合以上三年的销量及人们生活的需要，2018年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2018年实际销售44万辆，圆满完成销售目标.年份201520162017销量/万辆81830问题1在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？问题2如果我们分别将2015，2016，2017，2018年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？问题3依照目前的形势分析，你能预测一下2019年，该公司预销售多少辆汽车吗？提示

1.建立函数模型.2.通过计算二次函数能更好地反映该公司中的年销量.3.2019年，该公司预销售60万辆汽车.1.常见的函数模型常见函数模型一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)幂函数模型y＝axα＋b(a，b为常数，a≠0，α≠1)2.解决函数应用问题的步骤(1)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.(2)这些步骤用框图表示如图：教材拓展补遗[微判断]1.当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.(

)2.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示.判断下列说法的正误：√(1)前5分钟温度增加越来越快.(

)(2)前5分钟温度增加越来越慢.(

)(3)5分钟后温度保持匀速增加.(

)(4)5分钟后温度保持不变.(

)×√×√[微训练]1.一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为________.

解析

由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，易知0<x≤10.

答案

y＝20－x(0<x≤10)答案

2500[微思考]

一次函数模型、二次函数模型、幂函数模型的选取的标准是什么？它们的增长速度是如何变化的？

提示一次函数模型y＝kx＋b(k>0)增长特点是直线上升，增长速度不变.

二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值容易求出，常常用于最优、最省等最值问题，幂函数y＝axn＋b(x>0，n>0，a>0)随x的增大而增大，但增长的速度相对平稳，图象随n的变化而变化.题型一

一次函数模型函数的图象确定了函数的类型【例1】为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜.规律方法在用函数刻画实际问题时，除了用函数解析式刻画外，函数图象也能够发挥很好的作用，因此，应注意提高读图的能力.【训练1】某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________.解析设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，题型二幂函数与二次函数模型【例2】

(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元. (2)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：①商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？②通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？(1)解析

由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.答案

125(2)解

①设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300).∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100，300])，∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.②由题意得k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150，所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.规律方法1.幂函数应用的常见题型(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式.(2)根据题意直接列出相应的函数关系式.2.利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.【训练2】据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点. (1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系； (2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？(2)设最大利润为Q(x)，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.的最大值与最小值.日销售额y解

(1)由已知，由价格乘以销售量可得：(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]单调递增，在t∈(5，10]单调递减，∴ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝1200(当t＝0或10时取得)；②当10<t≤20时，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，函数图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10，20]单调递减，∴ymax＝1200(当t＝10时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).由①②知ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得).规律方法应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.【训练3】某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N＋)(天)之间的关系如下表：(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；t/天5102030Q/件35302010(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量).解

(1)由已知可得：(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N＋)，(3)由题意当0<t<25，t＝10时，ymax＝900，当25≤t≤30，t＝25时，ymax＝(25－70)2－900＝1125.∴当第25天时，该商品日销售金额的最大值为1125元.一、素养落地1.通过本节课的学习，学会用函数模型解决实际问题，重点提升学生的数学抽象、数学建模、数据分析素养.2.建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.二、素养训练1.一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(

) A.y＝2t B.y＝120t C.y＝2t(t≥0) D.y＝120t(t≥0)

解析

因为90min＝1.5h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0).

答案D2.网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”中国鞋码实际标准(mm)220225230235240245250255260265中国鞋码习惯叫法(号)34353637383940414243习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为多少毫米(

)A.150 B.200C.180 D.210解析设脚的长度为ymm，对应的鞋码为x码.则y＝5x＋50，当x＝30时，y＝5×30＋50＝200.故选B.答案B3.国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(