第三章 经典单方程计量经济学模型课件

第三章回归模型的扩展本章主要讨论三个方面的“扩展”内容:(1)古典回归模型基本假设不成立时所产生的问题;(2)如何反映定性因素的影响;(3)如何反映滞后因素的影响,将静态模型转化为动态模型.第三章回归模型的扩展本章主要讨论三个方面的“扩展”内容1基本假定违背：不满足基本假定的情况。主要包括：（1）随机误差项序列存在异方差性；（2）随机误差项序列存在序列相关性；（3）解释变量之间存在多重共线性；（4）解释变量是随机变量且与随机误差项相关（随机解释变量）；此外：（5）模型设定有偏误（6）解释变量的方差不随样本容量的增而收敛

计量经济检验：对模型基本假定的检验本章主要学习：前4类基本假定违背：不满足基本假定的情况。主要包括：计量经济2§3.1异方差性一、异方差的概念二、异方差的类型三、实际经济问题中的异方差性四、异方差性的后果五、异方差性的检验六、异方差的解决方法七、案例§3.1异方差性一、异方差的概念3对于模型如果出现即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性(Heteroskedasticity)。一、异方差的概念同方差假定为：D(εi)＝σ2(i=1,2,….n)即对于不同的样本点，随机误差项的离散程度是相同的；对于模型如果出现即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常4二、异方差的类型

同方差性假定：i2=常数f(Xi)异方差时：i2=f(Xi)异方差一般可归结为三种类型：(1)单调递增型：i2随X的增大而增大(2)单调递减型：i2随X的增大而减小(3)复杂型：i2与X的变化呈复杂形式二、异方差的类型同方差性假定：i2=常数5第三章经典单方程计量经济学模型课件6例：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为Yi:第i个家庭的储蓄额Xi:第i个家庭的可支配收入高收入家庭：储蓄的差异较大低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小i的方差呈现单调递增型变化

三、实际经济问题中的异方差性低收入家庭之间的储蓄存款不会有太大差异；对于高收入家庭，因受储蓄心理、消费习惯、家庭成员构成等因素的影响，各个家庭之间的储蓄存款可能会有很大差异，即随机误差项的方差会明显地大于低收入家庭。

例：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为高收入家庭：7又如，以总产值作为解释变量建立企业的成本函数时，由于管理水平、生产技术条件等因素的影响，使得同一生产规模的企业有不同的生产成本；但生产规模较小的企业，其生产成本的差异不会很大（如相差几万元），而生产规模较大的企业则可能会产生较大的差异（如相差几十万元），即随机误差项的方差有增大的趋势。又如，以总产值作为解释变量建立企业的成本函82、异方差性产生的主要原因：

⑴模型中遗漏了随时间变化影响逐渐增大的因素。例如，储蓄函数中的证券投资、利息、消费者行为等因素；成本函数中的管理水平、生产技术条件等因素；消费函数中的家庭财产、消费心理等因素。

⑵模型函数形式的设定误差。如将指数曲线模型误设成了线性模型，则误差有增大的趋势。⑶随机因素的影响。如政策变动、自然灾害、金融危机等。2、异方差性产生的主要原因：⑴模型中遗漏了随时间变化影9例以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为样本建立居民消费函数：

将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值。

一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大(U型变化）。

所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的不同而不同，往往引起异方差性。例以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为样本建立居民10

例，以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型

被解释变量：产出量Y解释变量：资本K、劳动L、技术A，

那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。例，以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型11四、异方差性的后果

计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：

1、参数估计量非有效OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性

而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。因为在有效性证明中利用了同方差假定：（见P31页证明！）

存在其它的参数估计方法，其估计误差将小于OLS估计的误差。四、异方差性的后果计量经济学模型一旦出现异方差性12

2、无法正确估计系数的标准误差(P69)在高斯－马尔可夫定理的证明过程中得到：

但是，在异方差的情况下，σ2i是一些不同的数，只有估计出每一个σ2i之后才能得到系数的标准误差，这在只有一组样本观察值的情况下是无法做到的。

2、无法正确估计系数的标准误差(P69)在高斯－马13系数的标准误差则为：因此，如果仍用计算系数的标准误差，将会产生估计偏差！偏差的大小取决于第二个因子值的大小，当其大于1时，则会过低估计系数的误差；反之，则做出了过高的估计。

系数的标准误差则为：因此，如果仍用计14

3、变量的显著性检验失去意义变量的显著性检验中，构造了t统计量其他检验也是如此。3、变量的显著性检验失去意义变量的显著性检验15

4、模型的预测失效

一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；

所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。

上述分析表明，实际经济问题中经常会出现异方差性，这将直接影响回归模型的估计、检验和应用。因此，在建立计量经济模型的过程中，应该检验模型是否存在异方差性。4、模型的预测失效一方面，由于上述后果，使得模16五、异方差性的检验检验思路：

由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。五、异方差性的检验检验思路：由于异方差17

问题在于用什么来表示随机误差项的方差一般的处理方法：问题在于用什么来表示随机误差项的方差一般的处理方法18几种异方差的检验方法：

1、图示法（1）用X-Y的散点图进行判断看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）几种异方差的检验方法：1、图示法（1）用X-Y的散点图进19看是否形成一斜率为零的直线看是否形成一斜率为零的直线202、帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验

基本思想:偿试建立残差序列对解释变量的（辅助）回归模型：选择关于变量X的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性，并且可以探知异方差的具体形式。或2、帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验基本21戈里瑟检验是用多个模型形式进行检验：如：帕克检验常用的函数形式：或

若经检验某个方程在统计上是显著的，表明存在异方差性。利用Eviews软件进行Park检验与Gleiser检验的步骤：（P75）戈里瑟检验是用多个模型形式进行检验：如：帕克检验常用的函22

3、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验

G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、异方差递增或递减的情况。G-Q检验的思想：

先将样本一分为二，对子样①和子样②分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差）、或小于1（递减方差）。3、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)23G-Q检验的步骤：①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小排队(SortX）②将序列中间的（通常大约）c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和(RSS)G-Q检验的步骤：①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观24④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量

⑤给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)，若F>F(v1,v2)，则拒绝同方差性假设，表明存在异方差。当然，还可根据两个残差平方和对应的子样的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差。利用Eviews软件进行(G-Q)检验的步骤：（P73）④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量⑤25

3、怀特（White）检验怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差

怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）：然后做如下辅助回归模型(*)可以证明，在同方差假设下,渐进的有：3、怀特（White）检验怀特检验不需要排序，且26R2为(*)式的可决系数，q为(*)式解释变量的个数（这里q=5).利用Eviews软件进行White检验的步骤：(P74)建立回归模型:Lsycx(2)检验异方差性:在方程窗依次点击View\ResidualTest\WhiteHeteroskedastcityR2为(*)式的可决系数，q为(*)式解释变量的个数（这里q27注意：

辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释变量的更高次方。

如果存在异方差性，则表明确与解释变量的某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交叉项。Park,Gleiser检验（教材）注意：辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著28如果模型经检验存在异方差性，首先应分析模型是否遗漏了影响逐渐增大的解释变量，或模型的函数形式是否设置不当；然后可采用以下方法来消除（或减弱）异方差性的不利影响。六、异方差的解决方法（一）模型变换法：即对存在异方差性的模型进行适当的变量变换，使之成为满足同方差假定的模型，这样仍然可用OLS法估计变换后的模型，得到的参数估计仍是无偏估计！如果模型经检验存在异方差性，首先应分析模型是否遗漏了影响逐渐29模型变换法前提是合理确定异方差性的具体形式（这可由对具体经济问题的经验分析，或Park,Gleiser检验提供的信息加以确定）例如：对一元线性回归模型该模型为同方差模型，可用OLS法估计a,b.模型变换法前提是合理确定异方差性的具体形式（这可由对具体经济30该模型为同方差模型（不含常数项的二元线性回归模型），可用OLS法估计a,b.该模型为同方差模型（不含常数项的二元线性回归模型），可用OL31模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）进行估计。

加权最小二乘法的基本思想：

加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参数。在采用OLS方法时:对较小的残差平方ei2赋予较大的权数，对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。（二）加权最小二乘法模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘法（Weig32例如，如果对一元线性模型模型换成了同方差模型，可用OLS法估计模型，并且得到的是BLUE估计，由OLS估计得原理,估计过程中应使：经检验知：除原模型得：则用例如，如果对一元线性模型模型换成了同方差模型，可用OLS法估33由此得到得参数估计称为加权最小二乘估计。可见：对于异方差模型，WLS估计才是BLUE估计！由此得到得参数估计称为加权最小二乘估计。可见：对于异方差模型34加权最小二乘估计得Eviews软件实现：(P79)生成权数变量；【命令方式】LS(W=权数变量）YCX2.利用加权最小二乘法估计模型:例如：GENRW1=1/X^1.6743等等！【菜单方式】（1）在方程窗口点击Estimate按钮；（2）在弹出得方程说明对话框中点击Options,进入参数设置对话框；（3）在参数设置对话框中选定WeightedLS方法，并在权数变量栏输入权数变量，点击OK返回方程说明对话框（4）点击OK,系统将采用WLS方法估计模型！3.对估计后得模型，再使用White检验判断是否消除了异方差性.注意：中间不能有空格加权最小二乘估计得Eviews软件实现：(P79)生成权35异方差性的检验例题例1．我国制造工业利润函数。教材P73表3-1列出了1998年我国主要制造工业销售收入与销售利润的统计资料。现以此数据资料为例，介绍检验异方差性的一些常用方法。

1、图示检验法

（1）相关图分析

如果随着x值的增加，散布点分布的区域逐渐变宽或变窄或出现不规则的复杂变化，则表明模型存在着递增型（或递减型或复杂型）的异方差性。

在Eviews软件中，可利用“Scat“命令作Y对X的散点图：键入命令：ScatYX(3.1版不同)操作演示

异方差性的检验例题例1．我国制造工业利润函数。教材P73表336（2）残差分布图分析建立回归模型之后，在方程窗口中点击Resids按钮可以得到模型的残差分布图，如果残差分布点不紧紧围绕在一条水平线变动（既近似为一常数），其散步区域逐渐变宽或变窄或出现不规则的复杂变化，则表明存在着异方差性。注意观察之前需要先将数据关于解释变量排序，命令格式为：SORTX

LSYCX

操作演示（2）残差分布图分析建立回归模型之后，在方程窗口中点击R372、怀特（White）检验

White检验是建立辅助回归模型的方式来判断异方差性。

设回归模型为二元线性回归模型：yi=b0+b1x1i+b2x2i+εiWhite检验的具体步骤为：（1）估计回归模型，并计算残差的平方e2i；（2）估计辅助回归模型：

（3）计算辅助回归模型的判定系数R2；可以证明，在同方差的假设下，有:nR2～χ2(q)其中自由度q为辅助回归模型中的自变量个数（此时q=5）。2、怀特（White）检验White检验是建立辅助回归38（4）对于给定的显著水平α若nR2>χ2α(q)，模型存在异方差性；反之，则认为不存在异方差性。

利用EViews软件可以直接进行White检验。

（1）建立回归模型：LS YC X

（2）检验异方差性：在方程窗口中依次点击View\ResidualTest\WhiteHeteroskedastcity可以选择在辅助回归模型中是否包含交叉乘积项（Crossterms），本例不存在交叉乘积项。一般是直接观察p值的大小，若p值较小，认为模型存在异方差性。

操作演示（4）对于给定的显著水平α若nR2>χ2α(q)，模型39例2．我国制造工业利润函数中异方差性的调整。现在设法利用EViews软件消除异方差性的影响。（1）先用最小二乘法估计模型，操作演示LSYCX估计结果为：R2的值标准差T统计量值（2）生成权数变量：根据Park检验，得到：例2．我国制造工业利润函数中异方差性的调整。现在设法利用EV40取权数变量为：

GENR W1=1/X^1.6743 GENR W2=1/SQR(X)另外，取:GENR W3=1/ABS(RESID) GENR W4=1/RESID^2（3）利用加权最小二乘法估计模型：依次键入命令：LS(W=Wi)

YCX（i=1,2,3,4）或在方程窗口中点击Estimate\Options按钮，并在权数变量栏依次输入W1、W2、……W4，可以得到以下估计结果：取权数变量为：GENR W1=1/X^1.6743 41①(W=W1)操作演示(3.8823)(0.0099)R2=0.8483nr2=4.92p=0.085②(W=W2)(11.1877)(0.0077)R2=0.6115nr2=3.16p=0.206③(W=W3)(3.7798)(0.0035)R2=0.9754nr2=6.64p=0.036④(W=W4)(1.6603)(0.0021)t=(3.11)(54.16)R2=0.9969nr2=3.10p=0.213其中，每个方程下面第一组括号里的数字为系数的标准误差。通过模型可以看出，用W4比用W3要好,模型④是比较理想的模型，因为p=0.213，不存在异方差，拟合优度R2=0.9969较高。①(W=W1)42利用WLS估计出每个模型之后，还需要利用White检验再次判断模型是否存在着异方差性，上述模型中的nr2和p值就是White检验的输出结果（为了区别起见，辅助回归模型的判定系数用r2表示）。将模型④与OLS的估计结果进行比较可以发现，在异方差性的影响下，OLS估计过高地估计了系数的标准误差，而且系数估计值的偏差也比较大：截距项a估计的偏高，斜率系数b又估计的偏低。使用WLS估计之后，不仅合理地确定了系数的估计误差，而且截距项a的t检验值也由0.62上升到3.11，由不显著变成显著的。将利润函数的斜率合理地向上做了调整。从而反映了大多数样本点的变化趋势。利用WLS估计出每个模型之后，还需要利用White检验再43六、异方差性的解决方法基本思想:变异方差为同方差，或尽量缓解方差变异的程度。1．模型变换法模型变换法：对存在异方差性的模型进行适当的变量变换，使之成为满足同方差假定的模型，这样仍然可以利用最小二乘法估计变换后的模型，得到的参数估计还是最佳线性无偏估计。

例如，设模型为一元线性回归模型

yi=a+bxi+εi（1）如果σi2=D(εi)＝λxi2

（λ>0，且为常数）六、异方差性的解决方法基本思想:变异方差为同方差，或尽量缓解44因为所以，用xi除以原模型的两端，将模型变换成：设:则此时模型转化成同方差模型，可以利用最小二乘法估计a、b。

（2）如果σi2=D(εi)＝λxi，因为

因为所以，用xi除以原模型的两端，将模型变换成：设:则此时模45所以用xi的平方根除以原模型，得到：设:则成为同方差模型（此时为不含常数项的二元线性回归模型）。一般情况下，若D(εi)=λf(xi)，则以f(xi)的平方根除以原模型的两端，即可将原模型中的异方差性予以消除.所以用xi的平方根除以原模型，得到：设:则成为同方差模型（462、加权最小二乘法（WLS）当模型存在异方差性时，OLS估计不再具有最小方差的特性，这意味着存在其它的参数估计方法，其估计误差将小于OLS的估计误差。加权最小二乘法就是其中的一种有效的参数估计方法。WLS是使:ωi是权数

ωi有两个作用:一是权重，二是为了消除异方差。由于在极小化过程中对通常意义的残差平方加上了权数ωi，所以称该方法为加权最小二乘法（WeightedLeastSquare—WLS），由此得到的参数估计量称为加权最小二乘估计。注意权数的变化趋势应与异方差的变化趋势相反。通常将ωi直接取成1/σi2

。2、加权最小二乘法（WLS）当模型存在异方差性时，OLS估计473、加权最小二乘估计的EViews软件实现（1）利用原始数据和OLS法计算ei;（2）生成权数变量ωi；（3）使用加权最小二乘法估计模型：【命令方式】 LS(W=权数变量)YCX【菜单方式】①在方程窗口中点击Estimate按钮；②在弹出的方程说明对话框中点击Options，进入参数设置对话框；③在参数设置对话框中选定WeightedLS方法，并在权数变量栏中输入权数变量，然后点击OK返回方程说明对话框；注意：中间不能有空格3、加权最小二乘估计的EViews软件实现（1）利用原始数据48新模型中，存在

即满足同方差性，可用OLS法估计。

再如，如果对多元线性模型

Yi=0+1X1i+2X2i+…+kXki+i

i=1,2,…,n经检验知：新模型中，存在即满足同方差性，可用OLS法估计。再49**一般情况下:对于模型Y=X+如果即存在异方差性。

(方差-协方差矩阵)**一般情况下:对于模型如果即存在异方差性。(方差-协50

W是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D使得

W=DD’

用D-1左乘Y=X+两边，得到一个新的模型：

该模型具有同方差性。因为

W是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D使得用D-151这就是原模型Y=X+的加权最小二乘估计量，是无偏、有效的估计量（BLUE)。

这里权矩阵为D-1，它来自于原模型残差项的方差-协方差矩阵2W。这就是原模型Y=X+的加权最小二乘估计量，52如何得到2W

？

从前面的推导过程看，它来自于原模型残差项的方差-协方差矩阵。因此仍对原模型进行OLS估计，得到随机误差项的近似估计量ěi，以此构成权矩阵的估计量，即这时可直接以

作为权矩阵。

如何得到2W？从前面的推导过程看，它来自于原模型53注意：

在实际操作中人们通常采用如下的经验方法：

不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。如果确实存在异方差，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法注意：在实际操作中人们通常采用如下的经验方法：54七、案例--中国农村居民人均消费函数

例

中国农村居民人均消费支出主要由人均纯收入来决定(2001年31个省市数据见后表）。农村人均纯收入包括(1)从事农业经营的收入，(2)包括从事其他产业的经营性收入(3)工资性收入、(4)财产收入(5)转移支付收入。考察从事农业经营的收入(X1)和其他收入(X2)对中国农村居民消费支出(Y)增长的影响:七、案例--中国农村居民人均消费函数例中国农村居55第三章经典单方程计量经济学模型课件56普通最小二乘法的估计结果：

异方差检验普通最小二乘法的估计结果：异方差检验57进一步的统计检验

(1)G-Q检验

将原始数据按X2排成升序，去掉中间的7个数据，得两个容量为12的子样本。对两个子样本分别作OLS回归，求各自的残差平方和RSS1和RSS2：

子样本1：(3.18)(4.13)(0.94)R2=0.7068，RSS1=0.0648子样本2：(0.43)(0.73)(6.53)R2=0.8339，RSS2=0.2729进一步的统计检验(1)G-Q检验将原始数据按X2排成58计算F统计量：F=RSS2/RSS1=0.2792/0.0648=4.31

查表给定=5%，查得临界值F0.05(9,9)=2.97判断

F>F0.05(9,9)否定两组子样方差相同的假设，从而该总体随机项存在递增异方差性。计算F统计量：查表59（2）怀特检验

作辅助回归:

（-0.04）(0.10)(0.21)(-0.12)(1.47)(-1.11) R2=0.4638似乎没有哪个参数的t检验是显著的。但

nR2

=31*0.4638=14.38=5%下，临界值20.05(5)=11.07，拒绝同方差性(即存在异方差性！）（2）怀特检验作辅助回归:（-0.04）(0.1060去掉交叉项后的辅助回归结果

(1.36)(-0.64)(064)(-2.76)(2.90)R2=0.4374X2项与X2的平方项的参数的t检验是显著的，且

nR2

=310.4374=13.56

=5%下，临界值20.05(4)=9.49

拒绝同方差的原假设

(即仍存在异方差性！）去掉交叉项后的辅助回归结果(1.36)61

原模型的加权最小二乘回归

对原模型进行OLS估计，得到随机误差项的近似估计量ěi，以此构成权矩阵2W的估计量；再以1/|

ěi|为权重进行WLS估计，得各项统计检验指标全面改善原模型的加权最小二乘回归对原模型进行OLS估计，62练习题一、练习题：1、异方差产生的原因及其后果。

2、异方差检验的方法主要有哪些。3、模型变换法的基本原理和实质。4、WLS估计的基本原理。练习题一、练习题：63第三章回归模型的扩展本章主要讨论三个方面的“扩展”内容:(1)古典回归模型基本假设不成立时所产生的问题;(2)如何反映定性因素的影响;(3)如何反映滞后因素的影响,将静态模型转化为动态模型.第三章回归模型的扩展本章主要讨论三个方面的“扩展”内容64基本假定违背：不满足基本假定的情况。主要包括：（1）随机误差项序列存在异方差性；（2）随机误差项序列存在序列相关性；（3）解释变量之间存在多重共线性；（4）解释变量是随机变量且与随机误差项相关（随机解释变量）；此外：（5）模型设定有偏误（6）解释变量的方差不随样本容量的增而收敛

计量经济检验：对模型基本假定的检验本章主要学习：前4类基本假定违背：不满足基本假定的情况。主要包括：计量经济65§3.1异方差性一、异方差的概念二、异方差的类型三、实际经济问题中的异方差性四、异方差性的后果五、异方差性的检验六、异方差的解决方法七、案例§3.1异方差性一、异方差的概念66对于模型如果出现即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性(Heteroskedasticity)。一、异方差的概念同方差假定为：D(εi)＝σ2(i=1,2,….n)即对于不同的样本点，随机误差项的离散程度是相同的；对于模型如果出现即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常67二、异方差的类型

同方差性假定：i2=常数f(Xi)异方差时：i2=f(Xi)异方差一般可归结为三种类型：(1)单调递增型：i2随X的增大而增大(2)单调递减型：i2随X的增大而减小(3)复杂型：i2与X的变化呈复杂形式二、异方差的类型同方差性假定：i2=常数68第三章经典单方程计量经济学模型课件69例：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为Yi:第i个家庭的储蓄额Xi:第i个家庭的可支配收入高收入家庭：储蓄的差异较大低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小i的方差呈现单调递增型变化

三、实际经济问题中的异方差性低收入家庭之间的储蓄存款不会有太大差异；对于高收入家庭，因受储蓄心理、消费习惯、家庭成员构成等因素的影响，各个家庭之间的储蓄存款可能会有很大差异，即随机误差项的方差会明显地大于低收入家庭。

例：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为高收入家庭：70又如，以总产值作为解释变量建立企业的成本函数时，由于管理水平、生产技术条件等因素的影响，使得同一生产规模的企业有不同的生产成本；但生产规模较小的企业，其生产成本的差异不会很大（如相差几万元），而生产规模较大的企业则可能会产生较大的差异（如相差几十万元），即随机误差项的方差有增大的趋势。又如，以总产值作为解释变量建立企业的成本函712、异方差性产生的主要原因：

⑴模型中遗漏了随时间变化影响逐渐增大的因素。例如，储蓄函数中的证券投资、利息、消费者行为等因素；成本函数中的管理水平、生产技术条件等因素；消费函数中的家庭财产、消费心理等因素。

⑵模型函数形式的设定误差。如将指数曲线模型误设成了线性模型，则误差有增大的趋势。⑶随机因素的影响。如政策变动、自然灾害、金融危机等。2、异方差性产生的主要原因：⑴模型中遗漏了随时间变化影72例以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为样本建立居民消费函数：

将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值。

一般情况下，居民收入服从正态分布：中等收入组人数多，两端收入组人数少。而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大(U型变化）。

所以样本观测值的观测误差随着解释变量观测值的不同而不同，往往引起异方差性。例以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为样本建立居民73

例，以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型

被解释变量：产出量Y解释变量：资本K、劳动L、技术A，

那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。例，以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型74四、异方差性的后果

计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：

1、参数估计量非有效OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性

而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。因为在有效性证明中利用了同方差假定：（见P31页证明！）

存在其它的参数估计方法，其估计误差将小于OLS估计的误差。四、异方差性的后果计量经济学模型一旦出现异方差性75

2、无法正确估计系数的标准误差(P69)在高斯－马尔可夫定理的证明过程中得到：

但是，在异方差的情况下，σ2i是一些不同的数，只有估计出每一个σ2i之后才能得到系数的标准误差，这在只有一组样本观察值的情况下是无法做到的。

2、无法正确估计系数的标准误差(P69)在高斯－马76系数的标准误差则为：因此，如果仍用计算系数的标准误差，将会产生估计偏差！偏差的大小取决于第二个因子值的大小，当其大于1时，则会过低估计系数的误差；反之，则做出了过高的估计。

系数的标准误差则为：因此，如果仍用计77

3、变量的显著性检验失去意义变量的显著性检验中，构造了t统计量其他检验也是如此。3、变量的显著性检验失去意义变量的显著性检验78

4、模型的预测失效

一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；

所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。

上述分析表明，实际经济问题中经常会出现异方差性，这将直接影响回归模型的估计、检验和应用。因此，在建立计量经济模型的过程中，应该检验模型是否存在异方差性。4、模型的预测失效一方面，由于上述后果，使得模79五、异方差性的检验检验思路：

由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。五、异方差性的检验检验思路：由于异方差80

问题在于用什么来表示随机误差项的方差一般的处理方法：问题在于用什么来表示随机误差项的方差一般的处理方法81几种异方差的检验方法：

1、图示法（1）用X-Y的散点图进行判断看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）几种异方差的检验方法：1、图示法（1）用X-Y的散点图进82看是否形成一斜率为零的直线看是否形成一斜率为零的直线832、帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验

基本思想:偿试建立残差序列对解释变量的（辅助）回归模型：选择关于变量X的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性，并且可以探知异方差的具体形式。或2、帕克(Park)检验与戈里瑟(Gleiser)检验基本84戈里瑟检验是用多个模型形式进行检验：如：帕克检验常用的函数形式：或

若经检验某个方程在统计上是显著的，表明存在异方差性。利用Eviews软件进行Park检验与Gleiser检验的步骤：（P75）戈里瑟检验是用多个模型形式进行检验：如：帕克检验常用的函85

3、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)检验

G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较大、异方差递增或递减的情况。G-Q检验的思想：

先将样本一分为二，对子样①和子样②分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差）、或小于1（递减方差）。3、戈德菲尔德-匡特(Goldfeld-Quandt)86G-Q检验的步骤：①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小排队(SortX）②将序列中间的（通常大约）c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本③对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和(RSS)G-Q检验的步骤：①将n对样本观察值(Xi,Yi)按观87④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量

⑤给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)，若F>F(v1,v2)，则拒绝同方差性假设，表明存在异方差。当然，还可根据两个残差平方和对应的子样的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差。利用Eviews软件进行(G-Q)检验的步骤：（P73）④在同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量⑤88

3、怀特（White）检验怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差

怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）：然后做如下辅助回归模型(*)可以证明，在同方差假设下,渐进的有：3、怀特（White）检验怀特检验不需要排序，且89R2为(*)式的可决系数，q为(*)式解释变量的个数（这里q=5).利用Eviews软件进行White检验的步骤：(P74)建立回归模型:Lsycx(2)检验异方差性:在方程窗依次点击View\ResidualTest\WhiteHeteroskedastcityR2为(*)式的可决系数，q为(*)式解释变量的个数（这里q90注意：

辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释变量的更高次方。

如果存在异方差性，则表明确与解释变量的某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交叉项。Park,Gleiser检验（教材）注意：辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著91如果模型经检验存在异方差性，首先应分析模型是否遗漏了影响逐渐增大的解释变量，或模型的函数形式是否设置不当；然后可采用以下方法来消除（或减弱）异方差性的不利影响。六、异方差的解决方法（一）模型变换法：即对存在异方差性的模型进行适当的变量变换，使之成为满足同方差假定的模型，这样仍然可用OLS法估计变换后的模型，得到的参数估计仍是无偏估计！如果模型经检验存在异方差性，首先应分析模型是否遗漏了影响逐渐92模型变换法前提是合理确定异方差性的具体形式（这可由对具体经济问题的经验分析，或Park,Gleiser检验提供的信息加以确定）例如：对一元线性回归模型该模型为同方差模型，可用OLS法估计a,b.模型变换法前提是合理确定异方差性的具体形式（这可由对具体经济93该模型为同方差模型（不含常数项的二元线性回归模型），可用OLS法估计a,b.该模型为同方差模型（不含常数项的二元线性回归模型），可用OL94模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）进行估计。

加权最小二乘法的基本思想：

加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参数。在采用OLS方法时:对较小的残差平方ei2赋予较大的权数，对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。（二）加权最小二乘法模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘法（Weig95例如，如果对一元线性模型模型换成了同方差模型，可用OLS法估计模型，并且得到的是BLUE估计，由OLS估计得原理,估计过程中应使：经检验知：除原模型得：则用例如，如果对一元线性模型模型换成了同方差模型，可用OLS法估96由此得到得参数估计称为加权最小二乘估计。可见：对于异方差模型，WLS估计才是BLUE估计！由此得到得参数估计称为加权最小二乘估计。可见：对于异方差模型97加权最小二乘估计得Eviews软件实现：(P79)生成权数变量；【命令方式】LS(W=权数变量）YCX2.利用加权最小二乘法估计模型:例如：GENRW1=1/X^1.6743等等！【菜单方式】（1）在方程窗口点击Estimate按钮；（2）在弹出得方程说明对话框中点击Options,进入参数设置对话框；（3）在参数设置对话框中选定WeightedLS方法，并在权数变量栏输入权数变量，点击OK返回方程说明对话框（4）点击OK,系统将采用WLS方法估计模型！3.对估计后得模型，再使用White检验判断是否消除了异方差性.注意：中间不能有空格加权最小二乘估计得Eviews软件实现：(P79)生成权98异方差性的检验例题例1．我国制造工业利润函数。教材P73表3-1列出了1998年我国主要制造工业销售收入与销售利润的统计资料。现以此数据资料为例，介绍检验异方差性的一些常用方法。

1、图示检验法

（1）相关图分析

如果随着x值的增加，散布点分布的区域逐渐变宽或变窄或出现不规则的复杂变化，则表明模型存在着递增型（或递减型或复杂型）的异方差性。

在Eviews软件中，可利用“Scat“命令作Y对X的散点图：键入命令：ScatYX(3.1版不同)操作演示

异方差性的检验例题例1．我国制造工业利润函数。教材P73表399（2）残差分布图分析建立回归模型之后，在方程窗口中点击Resids按钮可以得到模型的残差分布图，如果残差分布点不紧紧围绕在一条水平线变动（既近似为一常数），其散步区域逐渐变宽或变窄或出现不规则的复杂变化，则表明存在着异方差性。注意观察之前需要先将数据关于解释变量排序，命令格式为：SORTX

LSYCX

操作演示（2）残差分布图分析建立回归模型之后，在方程窗口中点击R1002、怀特（White）检验

White检验是建立辅助回归模型的方式来判断异方差性。

设回归模型为二元线性回归模型：yi=b0+b1x1i+b2x2i+εiWhite检验的具体步骤为：（1）估计回归模型，并计算残差的平方e2i；（2）估计辅助回归模型：

（3）计算辅助回归模型的判定系数R2；可以证明，在同方差的假设下，有:nR2～χ2(q)其中自由度q为辅助回归模型中的自变量个数（此时q=5）。2、怀特（White）检验White检验是建立辅助回归101（4）对于给定的显著水平α若nR2>χ2α(q)，模型存在异方差性；反之，则认为不存在异方差性。

利用EViews软件可以直接进行White检验。

（1）建立回归模型：LS YC X

（2）检验异方差性：在方程窗口中依次点击View\ResidualTest\WhiteHeteroskedastcity可以选择在辅助回归模型中是否包含交叉乘积项（Crossterms），本例不存在交叉乘积项。一般是直接观察p值的大小，若p值较小，认为模型存在异方差性。

操作演示（4）对于给定的显著水平α若nR2>χ2α(q)，模型102例2．我国制造工业利润函数中异方差性的调整。现在设法利用EViews软件消除异方差性的影响。（1）先用最小二乘法估计模型，操作演示LSYCX估计结果为：R2的值标准差T统计量值（2）生成权数变量：根据Park检验，得到：例2．我国制造工业利润函数中异方差性的调整。现在设法利用EV103取权数变量为：

GENR W1=1/X^1.6743 GENR W2=1/SQR(X)另外，取:GENR W3=1/ABS(RESID) GENR W4=1/RESID^2（3）利用加权最小二乘法估计模型：依次键入命令：LS(W=Wi)

YCX（i=1,2,3,4）或在方程窗口中点击Estimate\Options按钮，并在权数变量栏依次输入W1、W2、……W4，可以得到以下估计结果：取权数变量为：GENR W1=1/X^1.6743 104①(W=W1)操作演示(3.8823)(0.0099)R2=0.8483nr2=4.92p=0.085②(W=W2)(11.1877)(0.0077)R2=0.6115nr2=3.16p=0.206③(W=W3)(3.7798)(0.0035)R2=0.9754nr2=6.64p=0.036④(W=W4)(1.6603)(0.0021)t=(3.11)(54.16)R2=0.9969nr2=3.10p=0.213其中，每个方程下面第一组括号里的数字为系数的标准误差。通过模型可以看出，用W4比用W3要好,模型④是比较理想的模型，因为p=0.213，不存在异方差，拟合优度R2=0.9969较高。①(W=W1)105利用WLS估计出每个模型之后，还需要利用White检验再次判断模型是否存在着异方差性，上述模型中的nr2和p值就是White检验的输出结果（为了区别起见，辅助回归模型的判定系数用r2表示）。将模型④与OLS的估计结果进行比较可以发现，在异方差性的影响下，OLS估计过高地估计了系数的标准误差，而且系数估计值的偏差也比较大：截距项a估计的偏高，斜率系数b又估计的偏低。使用WLS估计之后，不仅合理地确定了系数的估计误差，而且截距项a的t检验值也由0.62上升到3.11，由不显著变成显著的。将利润函数的斜率合理地向上做了调整。从而反映了大多数样本点的变化趋势。利用WLS估计出每个模型之后，还需要利用White检验再106六、异方差性的解决方法基本思想:变异方差为同方差，或尽量缓解方差变异的程度。1．模型变换法模型变换法：对存在异方差性的模型进行适当的变量变换，使之成为满足同方差假定的模型，这样仍然可以利用最小二乘法估计变换后的模型，得到的参数估计还是最佳线性无偏估计。

例如，设模型为一元线性回归模型

yi=a+bxi+εi（1）如果σi2=D(εi)＝λxi2

（λ>0，且为常数）六、异方差性的解决方法基本思想:变异方差为同方差，或尽量缓解107因为所以，用xi除以原模型的两端，将模型变换成：设:则此时模型转化成同方差模型，可以利用最小二乘法估计a、b。

（2）如果σi2=D(εi)＝λxi，因为

因为所以，用xi除以原模型的两端，将模型变换成：设:则此时模108所以用xi的平方根除以原模型，得到：设:则成为同方差模型（此时为不含常数项的二元线性回归模型）。一般情况下，若D(εi)=λf(xi)，则以f(xi)的平方根除以原模型的两端，即可将原模型中的异方差性予以消除.所以用xi的平方根除以原模型，得到：设:则成为同方差模型（1092、加权最小二乘法（WLS）当模型存在异方差性时，OLS估计不再具有最小方差的特性，这意味着存在其它的参数估计方法，其估计误差将小于OLS的估计误差。加权最小二乘法就是其中的一种有效的参数估计方法。WLS是使:ωi是权数

ωi有两个作用:一是权重，二是为了消除异方差。由于在极小化过程中对通常意义的残差平方加上了权数ωi，所以称该方法为加权最小二乘法（WeightedLeastSquare—WLS），由此得到的参数估计量称为加权最小二乘估计。注意权数的变化趋势应与异方差的变化趋势相反。通常将ωi直接取成1/σi2

。2、加权最小二乘法（WLS）当模型存在异方差性时，OLS估计1103、加权最小二乘估计的EViews软件实现（1）利用原始数据和OLS法计算ei;（2）生成权数变量ωi；（3）使用加权最小二乘法估计模型：【命令方式】 LS(W=权数变量)YCX【菜单方式】①在方程窗口中点击Estimate按钮；②在弹出的方程说明对话框中点击Options，进入参数设置对话框；③在参数设置对话框中选定WeightedLS方法，并在权数变量栏中输入权数变量，然后点击OK返回方程说明对话框；注意：中间不能有空格3、加权最小二乘估计的EViews软件实现（1）利用原始数据111新模型中，存在

即满足同方差性，可用OLS法估计。

再如，如果对多元线性模型

Yi=0+1X1i+2X2i+…+kXki+i