历年概率论与数理统计试题分章

一、选择与填空11级

历年概率论与数理统计试题分章整理第1章31、设P(0.5，P(AB)=0.2，则P(B 5 。1、设B,C为随机事件，则下列选项中一定正确的是 D 。(A）若P(A)0，则A为不可能事件(B)ABAB互不相容(C）ABP1P(B)(D）若P(AB)0，则P(BCP(BA)P(C10级1。若B为两个随机事件，则下列选项中正确的是C .(A）A BBA (B）A BB(C）A BBA (）A BBA1。某人向同一目标独立重复进行射击，每次射击命中的概率为p(0p,则此人第4次击恰好是第2次命中目标的概率为 3p2p)2 .2.在[0,1]中随机取数x，在[1,2]中随机取数y,则事件xy

3的概率为 7 .2 8209级108件正品,2件次品，任选两件产品，则恰有一件为次品的概率为

16 。45在区间中随机地取两个数,则事件｛两数之和大于4}的概率为17 .5 251。设B为两个随机事件，若事件B的概率满足0 1,0 P(B) 1,且有等式P(AB) P(AB)成立，则事件B C .

互斥（C)相互独立

对立不独立1、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随意拨号,则拨号不超过三次而接通电话的概为 B 。1

（B）3

（C) 9

（D）110 10 10 81、在区间[0,L]之间随机地投两点，则两点间距离小于L的概率为 3 。2 407级1、10把钥匙中有3把能打开门锁，今任取两把钥匙，则打不开门锁的概率为 7 .152、在区间之间随机地取两个数，则事件{两数的最大值大于2}发生的概率为5 .3 9二、计算与应用11级2122从这两个盒子中各任取一球放在一起，再从中任取一球。（1)求这个球是红球的概率；（2）10次,X表示出现取出的球为红球的次数,EX2.解答:（1令事件A ｛取得一个红球，事件Bi

{i个盒子中取得一个红球｝i1,2,于是P(BB

)2

1，P(AB

)11 2 34 3 1 2P(BB

)2

1，P(AB

)11 2 34 3 1 2 2P(BB

)1

1，P(

)1BB1 BB1 1 2 3BB1 BB1 P(BB

)1

1,P(

)01 2 34 6由全概率公式有P(P(BB)P(ABB)P(BB)P(ABB) P(BB)P(A )P(B

)P(A )BB1 BB1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2BB1 BB1 7 ……………………。..4分12(2）X~B(10,

7)E(X)10735

D(X)1075

17587512 12 6 12 12 72875EX2DX[EX)]2 ……….4分2410级1BP(A)1P(B)3P(B)4，求：2 5 5（1)PAB；(2）PAB；(3）P[B(AB)]。（1)P(AB)P()P(B)

142

………2分P(AB)P(A)P(B)P(AB)

2 5 51327

………2分2 5 5 10（2）P(AB)P(P(AB)

121

………2分2 5 10（3)1P[BAB1P[BAB1

P(B)

161

………2分P(AB) 7 72:P[BAB

P[(BA)(BB)]

P(AB)1

………2分P(AB) P(AB) 7级B)。1ABP(A0.4,P(B0.4,P(B0.5,B)。(1）P(A)； （2）P(AB)； （3）P(A解答:（1）P(A)1P(A)0.6； ……1分（2）P(B1P(B 1

P(AB)0.5,故P(AB)0.3； ……2分P(（3）P(B(A B))1P(B(A B))1

P(B(A P(A B)1

P(B)

3. ……3分P(P(B)P(AB) 708级 1B为两个事件PA)0.3P(B)0.4PAB)0.5，求： （1）P(A)；(2）P(AB)；（3)PB(AB).解答：PA1PA)0.7P(AB)P(A)P(AB)0.70.50.2P(B(AB)) P(AB)P(B(AB)) P(AB) P(A)P(B)P(AB) 0.2 10.70.60.5 407级2BCPAPB1PAB01，3 6PBC1，求：8P(C；（2）P(CB；（3)BC至少有一个发生的概率.解答：(1）P(CA)

P(AC)1；P(2（2）P(CB)P(CB)P(C)P(BC)5；P(B) 1P(B) 16（3） P｛BC至少有一个发生｝PABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)111011017。3 3 3 6 8 24第2章一、选择与填空11级2、设随机变量X服从正态分布N(,2)F(x)为其分布函数则对任意实数aF(aF(a 1 。级X与YP{Xkk

k13

(k0,1)，则概率P{XY}的值为 5 。908级2、设相互独立的两个随机变量X，Y的分布函数分别为FX

,FY

，则Zmax(X,Y的分布函数是C 。（A）FZ

FX

(z),FY

(z)}

（B)FZ

(z)max{FX

(z),FY

(z)}（C）FZ

(z)FX

(z)FY

(z)

(D) FZ

(z)FX

FY

(y)3、设随机变量X~N(1,4)，Y~N(0,1)，且X与Y相互独立，则 A 。（A）X~N(1,8)（C）X~N(1,2)07级

（B) X~N(1,6)(D）X~N(1,1)1已知随机变量X服从参数n2,p1的二项分布(x)为X的分布函数则F(1.5) D 。31

4

（C) 5

(D）89 9 9 9二、计算与应用级1、已知随机变量X的概率密度函数为 1f(x) 1x20,

, xx 1.求（1）X的分布函数F(x)； （2）概率P

x 1。22解答：(1）F(x)P{Xx f(t)dt当x1时，F(x)x ft)dtx

0dt0 ………….………。1分当x1F(x)

f(t)dtx 1

dt

1(arcsinx) ………。..2分1 1t2x11 1t2

ft)dt1 11

2 1t 1t2 0, x11 F(x)

(arcsinx

), 1x121F1 1 1F1 1（2）P

X 1P1

X

( )F( ) 2

2 2 2 2 1 1 1 1 1[arcsin(2)2][arcsin(2)2]3

…………………。3分2X

2x, 0x3y求随机变量YX33y

f(x)

0, .1：由于YX3xhy

， ….…………。1分f(y)f

3y(h(y))y)23y

1 y3y3

2y1, 0y1333

…。6分Y X

0, 其他2FY

(y)y}P{X

y}y0FY

(y0 ………1分当0y1FY

)P{X

P{X3y}3

f (x)dx3y2xdxy2…。5分3X 03y1时FY

(y1 …………….……………1分(y (y 3y3, 0 )F (y)y故f Y级

Y 0, 其他Xf(x)Cex(x，求:（1）C；（2）XFX

(x;(3)X3}。解答（）f(x)dx1 ………1分Cexdx1C

1 ………1分2x(2）当x0时，F(x)P{X exdx1exx2 2x1 1x0时F(x)P{X01exdxx1 1

exdx1 ex12ex

2 02 2, x0故X的分布函数F(x) 1

………4分1 ex, x0 21(3)X3}F(3)F(1) (e1e3) ………2分123X在区间[0,2]上服从均匀分布，求随机变量YX2fY1, 0x2

(y)。

(x)2 ………2分X 0, 其他y方法1:yx2的反函数为x ,故yf ( y)( yff(y)X 4 yY 4 y

( y)( y), y0y0

………2 分2 y12 y

1 , 0y4

………4分0, 其他方法2：F(y)P{X2………2分Yy0Fy)0Y1y2当0y1y2F(y)P{XY

y}P{

X y} fyyyXyyy

(x)dx

dxy10 2y1

………2分y4时FY

(y)

1 , 0y4故f(y)F(y)4 y

………2分Y09级

Y 0, 其他2,4个黑球；第二个盒装有32个红球，33个球。（1）已知取出的3个球中有2个红球，计算此3个球是取自第一箱的概率；(2）以X表示所取到的红球数,求X的分布律;（3）若Ysin2（）Bi

X，求Y的分布律.i(i1,2,3)A321C2C1 1C2

1C2C1 1P(

P(B)P(AB) 4 1 3

2 2 3i i 3 C3

3 C3

3 C3 2P(B

i1A)

P(BA)1

5 5 5P(B)P(AB)1 1P(B)P(AB)1 11 P(A) 1

P(A) 51 1C3 1（2)

X01101C1C21C1C233 2 2 333 C33 C310

03

0 3 ，3 3C3 305P X1 ，5 5PX2P(A)1，PX31PX0PX1PX21，2 6XP因此，X XP01231311301026……2分（3)PY1PX31，PY1PX13,6 10PY0PX0PX28，15因此,Y的分布律为YYP11608151310X的分布函数为

0,

x0,

……2分F(x)abx2, 0x1,X x1.（1)求系数a,b的值及X的概率密度函数fX

(x)；（2）若随机变量YX2,求Yfy.Y（）F(x)是连续函数，因此:limF(x)F(0)limF(x)F(1)，即得a0,b1，x0 f (x)F(x)2x, 0x1,

……3分X X 0, .（2（1）y，随机变量Y的分布函数为:y0Fy)0,Y

F(y)P{X2Yyy0时Fy)yY

X y}F( y)F( y),X X当0y1FY

(y)

0y，yy1时Fy)101yY于是，f(y)F(y)0y1,。 ……3分Y（方法2)ff(y)X

Y 0,( y)( y)fX

其他.( y)( y), 0yY 0,y2 y22 y2 y

其他.0, 0y0y0,0, 其他.

……3分08级

0, 其. 2、已知连续型随机变量X的分布函数为

0, x0F(x)cx3,0x1，x1求：(1）c;（2)X的概率密度函数；（3）X解答：（1）连续型随机变量的分布函数为连续函数，故c1；0, （2）f(x)F(x)3x2,0x0,

1}。2(3）X1F1F(1)1。2 2 83XN，求随机变量YX2fYyy1 x2yy

(y).2解答:f (x) e2，yx2的反函数为x 和x 2Xf ( y)( yff(y)X Y 0,

( y)( y),

y0y01212122122

y 2 ye22 ye

e

1 , y02 yy02 y

y0,

ye2,

y0y0 07级2X的分布函数为0,

x1F(x)abarcsinx, 1x1，x1求（）常数a和b；(2)Xf(x)（32X0}.（）由于连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数，将1和1F(x)得到关于a和b的方程：解得a

1，b1;

0F(1)a2

b，0Fab22 （2）F(xxX的概率密度为 1f(x) 1x20,

, x1x1（3）X0F(0)F(2)1。23X在区间上服从均匀分布,求Ye2XfY1x2

(y).解答:（解法一）由题设知，X的概率密度为f (x) 。X 0 其他对任意实数y，随机变量Y的分布函数为:F(y)P{Yy}P{e2Xy}Yye2FyyXy0；Y当e2ye4时：F(y)XP{X1lnlnyf (x)dxlnydx1lny1;221 122Y 2 X 1 2ye4时FY

(y)y}P{e2Xy}1,故于是，

0, ye212F(y) lny1, e2ye42Y 1, ye41f(y)F()2y, ey 2y

ye4.(解法二）

(y)f

Y Y1 1( lny)( lny)2 2

0, 其他y0Y 1 1

0,

y012y, 1

lny22

2y,

ye40, 其他

0,

其他第3章一、选择与填空级3、设随机变量X与Y相互独立,X在区间0,3上服从均匀分布,Y服从参数为2的指数分布，则2概率,Y)3e2 .2、设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关,fX

(x)fY

(y)分别为X、Y的概率密度，则在Yy条件下，X的条件概率密度fXY

(xy)为 A .（A）fX

(x)

(B）fY

(y)(C）fX级

(x)fY

(y)

（D）

f (x)Xf(y)Y设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为(0)的指数分布，则min(X,Y)服从 B 。（A）参数为的指数分布（C)参数为的指数分布2

(B）参数为2的指数分布（D）(0上的均匀分布二、计算与应用级3X,Y的联合分布律为YX101101400140YX1011014001401410140X与Y的相关系数XY

，并讨论X与Y的相关性，独立性。解答:(1)PXYPP0

11

1….3分（2）EX0,EY0,EXY)0,故cov(X,Y0,XY

4 4 20。因 0，故X与Y不相关。 …………2分XYPij i

PX与Y不独立。…2分j1X,Y的联合概率密度函数为f(x,y)Axy, 0yx（1A；X,YfY

0 ,(y)；

其他.在Yy的条件下XfXY

(xy)；P{X2Y1}.3 2（）f(x,ydxdy1…………。.1分 1dx

xAxydy1A8 …………………。.。2分0 0 18xydx4y(y2),0y1(2）

(y)

f(x,y)dx

y ……。.。....。。.......3分Y

0, 其他（3）当0y1f

(xy)=

f(x,y)

2x , yx11y2

………………2分XY fY

(y) 0, 其他23（4）P{X Y23

1}2 2x dx 28xdx7

………。.2分13 10级13

2 y1y2 y2

1 3 2721。设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为Ax2y, x2yf(x,y)0, 其他（1）A;X,YfY

(y);(3）在YyXf1XY1（4）条件概率P{X0Y }。2

(xy)；（）

f(x,y)dxdy1 ………1分

dx

Ax2ydxdy1A

21 ………2分

4 y

7 x2ydx y2,0y17 （2)

(y)

f(x,y)dx

y4 2

………3分Y

0, 其他yy3 3yy(3）当0y1f

(x

f(x,y)2x2y2,

x

………2分XY f3Y3

) 其他y2（4）{X0Y1}0y2

3 3x2y2dx

0 x22 2dx1 ………2分209级

y2

22 2211。设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为1exy,x0,y0,f(x,y)0

其它.(1）求关于X的边缘密度函数f (x); （2)试判断X与Y是否相互独? X（3）计算P XY1.解答（）f (x)= f(x,y)dyX 0

exydy, x0,ex, x0,； ……4分0,

x0. 0,ey, y

x0.（2)与（1）类似，易知

(y) ,满足f(x,y)f (x)

y)X与Y相互独Y 0, y0 X Y立； ……4分（3）{XY}=1dxx exydy12e1。 ……2分0 0X(百分制X~N(72,2)X(x)001。00.841X(x)001。00.8412.00.9773。00.999解答：根据题意有,

X84}(12(12)2(121=68.2%， ……4分 故(12)0.841，因此12， ……2分P{X96}1(24)1(2)0.023。 ……2分08级1、设二维随机变量(X,Y , x2y21f(x,y)0, 其他1)，Y）fX（2）X}；

(x)和条件概率密度fYX

(yx);(3）随机变量Z

的概率密度函数f (z).X2X2Y21x2 1 1x21、解答:(1)f

(x)=

f(x,y)dy

dy, 1x1

1x2, 1x1，1x2X 1x2 1

其他 0, 其他f(x,y)

, x2y21当1x1时:fYX

(yx)

21x2 ；fX(x) 0, 其他（2）X}

f(x,y)dxdy1；2X2YX2Y2（3）F(z)Z

z}z0时F(z)0;1Z1当0z1FZ

f(x,y)dxdy

x2x2y2

dxdyz2z2；z1Fx2x2y2

(z)1。

(z)F(z2z, 0z1。Z级

Z 0, 其他1、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为Ax,0yxf(x,y0 , 其它求（1）常数A；(2）(X,Y）的边缘概率密度函数fY（3）概率P{XY1}。

(y)和条件概率密度函数fXY

(xy);1. 1）由于

f(x,y)dxdy1， 即1dx

Axdy1A3。0 013xdx, 0y1 3(y), 0y1（2）

(y)=

f(x,y)dx y

2 ,Y

0,f(x,y)

其他 0, 其他 2x , 0yx1当0y1时:

(xy) 1y2 ；XY fY

(y)

0, 其他2（3）{XY}1dyy 3xdx1。20 y 4一、选择与填空11级

第4章3n次,X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数为B。（A）1(B)1(C) 0(D）0.510级2.设随机变量X服从参数为(0)P{XP{X2}DX1)的值为A。（A) 2(B)3（C）14(D)5409级2XY为独立同分布的随机变量，XPX1PX3，令随4 4机变量Zmax(X,Y),则数学期望E(Z) D 。（A）1

（B) 3

1

（D）15级

4 4 16 1612、设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{XE(X2)} 。2e3X和Y0.5,EX)E(Y)0X2)E(Y2)2EXY)26.07级2、下面四个随机变量的分布中，期望最大,方差最小的是B 。(A）X服从正态分布N(5,1) （B)Y服从均匀分布U(5,7)2(C) Z16

（D）T3布3、若二维随机变量X,Y的相关系数XY

0,则以下结论正确的是B 。（A)X与Y相互独立(C)X与Y互不相容

(B ）D(XY)D(X)D(Y)(D）D(XY)D(X)D(Y)3、设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{X DX}= 1 。e二、计算与应用10级22X,Y12个邮筒的信的数目,试求：（1）(X,Y)的联合分布； （2）X的数学期望E(X)及方差D(X);(X,Y)的相关系数； (4）判断X,Y是否不相关.是否相互独立解答（）YX0YX012000141012021400（2）XYX的分布为：XXP0141122143 因此E(X)1，E(X2) ，D(X) ………2分3 2 2（3)1:E(Y1D(Y

1，E(XY)

1，cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)1故

2 2 2DX DYcov(X,Y) 1 ………2分DX DY2XY2，即YX2X与Y存在线性关系，因此1。相关,不独立 ………2分09级

………2分设随机变量X 与Y的相关系数1/4,D(X)DY)1令UXY，VXaY且U与V不相关，求常数a。1）Vcov(XY,XaY)D(X)aD(Y)(a1)cov(X,Y)D(X) D(Y)1D(X) D(Y)

5(a1)4由于U与V不相关，因此,V)0, ……4分于是a1。 ……2分1(2）E(UVE[(XY)(XaY)]11[E(X)]2(a1)[ E(X)E(Y)][E(Y)]2}4E(U)E(V)E(XY)E(XaY)[E(X)]2(a1)E(X)E(Y)a[E(Y)]2则,VE(UVE(U)E(V

5(a1)4由于U与V不相关，因此,V)0， ……4分于是a。 ……208级2XX1 2

的分布律为X2p01211X2p0121121pP{X1

1 1 14 2 41。2求X1

的数学期望以及方差；2求X1

)的联合分布律；2XX1 2

的协方差;XX1 2

是否不相关，是否独立.（）EX1（2）

0, EX2

1, DX2 1

1, DX1；2 2 4cov(X,1

)E(XX2X2X1