动能定理势能机械能守恒定律

3.13.23.3动能定3.4守恒1学派和17世纪的法国物理学家、数学 (René 功效与速度成正比 功效与速度平方成正：从时间角度出发，力为原始概念，引出“运动量mv。并使用Ft=mv为基本方程莱布尼兹：从空间角度出发，功为原始量，使用为基本方程质点m在合外力作用下自A点移动到B点,合外元

F F BdAFdrFcos()ds F m dAmdvds B总功AB

dA

2mvdvv

1

1mv2

2121动 初动

12

末动Ek1

1mv

Ek2

1mv 所以

A

FdrEk

质点的动能 状态动能定理适用于惯性系A>0动能动能定理适用于惯性系

过程

状态1F21m2 质对质m 质 系外力：F1, 系 内力F21B初速度v1A,v2B

末速度：v1Bv2BB1 B1m

1

1mv

1mv1 1

dr1

1Am2

B2F222

dr2

B222

dr22

m m

2mm

1 1

12

F1

2 2

1

2 2系统外力所做的 系统内力所做的12m 212m2 12m 212m2 2B) 1A2

2A系统的末动 系统的初动内力为什么会对系统做功 力F12,对系统作的

m

21

F 内

12dr2

内

O F12(d1dr2)F12d(r1推广到n个质点的质点系, A外iA内iEkiEki

例1如图B的质量为m，弹簧的弹性系ABA原ABA原ABB例1如图B的质量为m，弹簧的弹性系x原AAx原AABBNBP P N 合外 合外A 0

121

2NBPNBP2k即12k即1故

余自然下垂,若链条与水平面间静摩擦系数为0，滑动摩擦系数为求:(1)满足什么条件时, 条将开始滑(2)若下垂部分长度为 时，链条自静止开始滑动当链条末端刚刚滑离桌面时 其速度等于多少：(1)设链条线密度为，下垂链条长度yg0(ly)gy

1y拉力大于最大静摩条将开始滑动 (2)以整个链条为研究对象，链条在运动过程

dAdA(l

l-0l总 Al

根据动能

A1lv22

g(l2b2)g(l2b2)μg(lll作业3.13.23.3动能定3.4守恒保守力和非保守保守FdrFdrFdrFdrFdr生运动，当它回到原处时 量不变重力、万有引力、弹性力摩擦力保守力的一个重要特征就是有对应的什什么是势能势弹重 A重[弹

做 弹性

2

1kx 万有引

[(GmM)(GmM Ep

A保[

保守力做的功[EpbEpaEpa

aba几种常见的势能万有引力势rr''0''

选无限远点势 GPrmFrEPFr Ep

)drr2 EPEPmgh

h地面重力势能为(F 1 1P2自然长度时,弹性势能非线性弹性 F Fkx

kx3dx

1a4a

14 1 1p4自然长度时,弹性势能

势能

但是势能差值是一定的做 常零势能重 重[

h弹性

2

1kx

x弹 弹

1万有引

A引[(G )

rEp

A保[

rOEzO

势能O

G

xP 1P 重力势 引力势 弹性势 保守力的大dAdEP

Fdr F

dEpdAFdlFcosdl F F 保守力在某一方向上的分量等于势能函方向上对空率的dEP FdrFxdxFydyFzdzF F

FFEPFEP( i EPˆEPˆj EPkˆ

FEP(xi EPˆEPˆj EPk)ˆ ˆ(mgz)ˆ重 1p

Epˆ保守力跟势能函保守力跟势能函数的

例已知引力势能Ep

。求F引力解引力

GmM x2x2y2能保守

(Epˆ

jEpˆ)引

x2y2zx2y2z

) x2 x2y2z2

GmM r3同样

r3 r3 r3 GmM(xˆjzˆ)引 GmMrGmM r2质点系动能

AEk2Ek2Ep1Ep2 Ep1Ep2非保内Ek2Ek2Ep2Ek1Ek2Ep2Ek1Ep1)

(机械能 外非保内EB

(功能原理质点系在运动过程中,所受外力的功与系统内质点系在运动过程中,所受外力的功与系统内由质点系的功非保EB当AAEEk

E(机械当作用于质点系的外力和非保守内力不作功或做功的和为零，即只有保守内力作功(机械能守EEk E守恒条

外W非内0守恒定律是对一个系统而言守恒表达式相对于惯性参照系例1已知,l，水平位置为始点，初速度为v解：设：水平位置为势能零小球下落过程只有lhlh01mv22

v xxFO解：选系统{弹簧，地球，m1和m2撤去F后，只有保守力作功，故机械能守初 E

1

m取弹簧原处为弹性 末能和重力能零

E1kx2m x x1机械能E1E21kx2mgx1kx2m 化简得1kx

1kx2mg( x

kx1kx22m1g初、末状态时有

kx1Fm1gkx2m2代入解

Fm 这就是说F（m1+m2)g时，下板就能被拉起xOx弹xOxEp(1kx20oxEp(1kx20oxE "0E 保0保

dr k(xx0)dxx1kx2kxx 或：E

1k(xx)21kx21kx2kxx 势能零点势能零点

x 弹簧原 O势能系统的重力势能

m1gx.E重所以系统的总势能为E重E＝EE1kx2kxxmgx1kx2

考虑到上板在弹簧上的平衡条件，得弹簧原

势能

xO势能方法二：对上板加多大的向下压F，才能因突然撤去它，使上板向上跳而把下板拉起来？以加力F时为初态

0，E总 重＋E弹1 以撤去力F后弹簧伸长最大时为

E总

重＋E

12k 2x0 0弹簧原

kx2 kx

弹簧原

当弹簧伸长，恰好能 提起下板m2时 k(x2-G且有： 代入解得

Fm1m2g.这就F（m1+m2)g时，下板就能被拉起例2把一个物体从地球表面上沿铅垂方向第二宇宙

略不计求物体从地面飞行到与地心相距nRe处（n解将物体和地球看做一个 0mv20

Mem

1mv2

Mem v0v

d2GMexd2GMex

dtt

R3 R3 2GM

PRoAB例3有一轻弹簧系在铅直一端系一小m，小球穿时小球静置于A点、弹