2020高中数学 第二章 等式与不等式 2.1 等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集学案 第一册

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE10学必求其心得，业必贵于专精2.1.1等式的性质与方程的解集(教师独具内容)课程标准：1.梳理等式的性质,理解恒等式是进行代数变形的依据之一。2.利用“十字相乘法"证明恒等式，运用因式分解法解一元二次方程，并运用集合的形式表示方程的所有解，即理解解集的定义．教学重点：1。等式的性质，恒等式。2.方程的解集．教学难点：方程的解集.【情境导学】（教师独具内容）小华和小明是同一个年级的同学．小华说：“咱们两个年龄一样大”,小明说：“若干年后,咱们两个年龄还是一样大．"你能用等式的相关知识来刻画他们之间的对话内容吗？【知识导学】知识点一等式的性质(1)如果a＝b，那么a±c＝b±c。（2)如果a＝b,那么a·c＝b·c，eq\f(a，c)＝eq\f（b,c)(c≠0）．（3)如果a＝b，b＝c,那么a＝c。知识点二恒等式一般地，含有eq\o(□，\s\up3（01）)字母的等式,如果其中的字母取eq\o(□,\s\up3（02)）任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．知识点三方程的解集一般地，把一个方程eq\o（□，\s\up3(01））所有解组成的集合称为这个方程的解集．【新知拓展】1．恒等式的证明一般可以把恒等式的证明分为两类：(1)无附加条件的恒等式证明；(2）有附加条件的恒等式证明．2．因式分解法解一元二次方程（1）常用的方法主要是提公因式法、运用平方差公式、完全平方公式等分解因式．（2)几种常见的恒等式：①(a＋b）（a－b)＝a2－b2；②(a±b）2＝a2±2ab＋b2；③（a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3;④（a－b)(a2＋ab＋b2）＝a3－b3;a2＋b2＝（a＋b）2－2ab；(a－b）2＝（a＋b)2－4ab;⑤（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；（a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b31．判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）(1）若a＝b，则3a＝3b.()(2)若（a＋b)c＝0，则ac＋bc不一定等于0。（)(3）xy＋x2－2y2＝(x＋2y）（x－y)．(）(4)方程eq\f（1,3）(2x＋1）－1＝x的解集为{2｝．（）(5)方程(x－3)(x－1)＝3的解集为｛0，4}．()答案（1)√（2)×（3)√(4）×（5）√2．做一做(1)eq\f(0。3x＋0.5,0。2)＝eq\f（2x－1,3）的解集为（）A．x＝－eq\f(17,5) B。eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（－\f（17，5))）C．－17 D．｛－17｝（2）一元二次方程x2－x－6＝0的解集为（)A．{3，－2｝ B．{－3,2｝C．｛1，5｝ D．｛－1，－5}（3）解方程t2x＋1＝x＋t（t为任意实数）．答案(1)B（2）A(3)解原方程变形为(t2－1)x＝t－1.①当t≠±1时,x＝eq\f(1，t＋1），因此方程的解集为eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f（1,t＋1)))；②当t＝－1时，方程无解；③当t＝1时,方程的解集为R.题型一一元二次方程的解集例1(1）把方程3x＋eq\f（2x－1,3)＝3－eq\f(x＋1,2)去分母，正确的是（)A．18x＋2(2x－1)＝18－3（x＋1)B．3x＋（2x－1)＝3－（x＋1）C．18x＋（2x－1)＝18－(x＋1）D．3x＋2(2x－1）＝3－3(x＋1)(2)已知关于x的方程2x＋a－9＝0的解集是{2｝，则a的值为（)A．2 B．3C．4 D．5[解析］（1)原方程可左右同时乘以6,得18x＋2（2x－1)＝18－3(x＋1）．故选A.(2）方程可化为x＝eq\f（9－a，2),又方程的解集是{2｝，所以eq\f（9－a，2）＝2，解得a＝5.故选D.［答案］(1）A(2)D金版点睛解方程按相应的解法和步骤求解一般不会存在问题。含参数的方程，解题时确定参数的值或范围是关键.eq\a\vs4\al([跟踪训练1])（1)若关于x的方程(2＋2k）x＝1无解，则（)A．k＝－1 B．k＝1C．k≠－1 D．k≠1（2）解方程：①2(2x－1)＝3x－7；②eq\f（x＋3，4)－eq\f(2x－1，3）＝1。答案（1）A(2)见解析解析(1）当2＋2k＝0时，方程无解,即k＝－1.（2)①4x－2＝3x－7，x＝－5。②可得3(x＋3）－4（2x－1）＝12，3x＋9－8x＋4＝12，－5x＝－1，x＝eq\f(1,5）.题型二解一元二次方程（因式分解法)例2（1）因式分解:①x2－(m＋n）xy＋mny2；②4x2－4xy－3y2－4x＋10y－3；（2)求一元二次方程的解集：①x2－2x＝0；②x2＋2x＋1＝0；③x2－23x＋42＝0.[解]（1)①原式＝(x－my）（x－ny)．②原式＝(4x2－4xy－3y2)＋（－4x＋10y）－3＝(2x－3y)(2x＋y)＋（－4x＋10y)－3＝（2x－3y＋1）（2x＋y－3)．（2）①方程可化为x(x－2）＝0，解得x＝0或x＝2，即方程的解集为｛0，2}．②方程可化为(x＋1）2＝0，解得x＝－1,即方程的解集为｛－1}．③方程可化为（x－2）（x－21）＝0，解得x＝2或x＝21，即方程的解集为{2，21}．金版点睛用因式分解法解一元二次方程的关键是把方程分解为两个一次因式的积，并令每个因式分别为0，即可得一元二次方程的解集。eq\a\vs4\al([跟踪训练2])（1）因式分解：①x2－xy－2y2;②3x2＋2xy－y2；（2）求一元二次方程的解集:①x2－4x＋3＝0;②2（x－3)＝3x（x－3)．解（1)①原式＝(x－2y）（x＋y）．②原式＝（x＋y）(3x－y）．（2)①方程可化为(x－1)(x－3)＝0，解得x＝1或x＝3,即方程的解集为｛1,3}．②原式可化为2(x－3）－3x(x－3）＝0，得（x－3)（2－3x）＝0,解得x＝3或x＝eq\f（2,3），即方程的解集为eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1（3，\f（2,3）)).1．如果a＝b，则下列变形正确的是（）A．3a＝3＋b B．－eq\f（a,2）＝－eq\f(b，2）C．5－a＝5＋b D．a＋b＝0答案B解析根据等式的性质可得等式两边同乘以一个数，等式仍然成立．2．在解方程eq\f(x－1,3）＋x＝eq\f（3x＋1，2）时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是(）A．2x－1＋6x＝3（3x＋1)B．2（x－1）＋6x＝3(3x＋1）C．2(x－1）＋x＝3（3x＋1）D．（x－1)＋x＝3(x＋1)答案B解析方程左边乘以6后得2（x－1)＋6x，方程右边乘以6后得3（3x＋1）．故选B。3．一元二次方程x2－3x＋2＝0的解集为（）A．x＝－1或x＝－2 B．{－1,－2｝C．x＝1或x＝2 D．{1,2｝答案D解析原方程可化为（x－1）（x－2)＝0，解得x＝1或x＝2，即方程的解集为{1,2}．4．x＝1是关于x的方程2x－a＝0的解，则a的值是（)A．－2 B．2C．－1 D．1答案B解析原方程可化为x＝eq\f（a，2),又x＝1,所以eq\f(a,2）＝1,即a＝2。故选B.5．求方程的解集：（1)2－eq\f（2x＋1，3)＝eq\f(1＋x，2）;（2)x2＝3