2020高中数学 第2章 统计 2.1.2 系统抽样学案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE13-学必求其心得，业必贵于专精2.1.2系统抽样学习目标核心素养1。理解系统抽样的概念．（重点）2．掌握系统抽样的一般步骤,会用系统抽样从总体中抽取样本．(重点）3．能用系统抽样解决实际问题．（难点)1.通过系统抽样概念的学习，体现了数学抽样的数学核心素养．2．借助系统抽样方案设计的学习，提升数学运算的核心素养。1．系统抽样的定义当总体元素个数很大时，样本容量就不宜太小，采用简单随机抽样，就显得费事．这时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样．在系统抽样中，由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也被称作等距抽样．2．系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：(1)先将总体的N个个体编号．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等．(2）确定分段间隔k，对编号进行分段．当eq\f(N，n）(n是样本容量)是整数时，取k＝eq\f（N，n)。（3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k);（4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k)，再加k得到第3个个体编号（l＋2k)，依次进行下去,直到获取整个样本．思考：使用系统抽样抽出的个体编号有什么特点？［提示］编号都是等距的．1．有20个同学,编号为1～20,现在从中抽取4人的作文进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为（)A．5,10，15，20 B．2,6，10,14C．2，4，6,8 D．5,8，11，14A[将20分成4个组，每组5个号,间隔等距离为5。]2．某报告厅有50排座位,每排有60个座位（编号1～60)，一次报告会坐满了观众，会后留下座号为18的所有观众进行座谈．这是运用了（)A．抽签法 B．随机数表法C．系统抽样 D．有放回抽样C［符合系统抽样的特点．］3．(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1000名新生的身体素质,将这些学生编号为1，2，…,1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（)A．8号学生 B．200号学生C．616号学生 D．815号学生C［∵从1000名学生中抽取一个容量为100的样本,∴系统抽样的分段间隔为eq\f（1000，100）＝10，∵46号学生被抽到,则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项,以10为公差的等差数列，设其数列为｛an},则an＝6＋10（n－1）＝10n－4，故可知C项正确．］4．一个总体的60个个体的编号为0,1，2，…,59,现要从中抽取一个容量为10的样本，请根据编号按被6除余3的方法，取足样本,则抽取的样本号码是_______________________________________．3,9，15,21，27，33,39,45,51，57［由题目可知，采用的抽样方法是系统抽样,抽样间隔是6.]系统抽样的概念【例1】(1)某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计每月的销售金额，采用如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序将65号,115号,165号,…，发票上的销售金额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是（)A．抽签法 B．随机数法C．系统抽样法 D．以上都不对（2）为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样,则分段的间隔k＝________.［思路探究]解决此类问题的关键是根据系统抽样的概念及特征，抓住系统抽样适用的条件作出判断．(1）C(2）40[（1)上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张，从第一组抽出了15号，以后各组抽15＋50n(n∈N＊）号，符合系统抽样的特点．（2)根据样本容量为30，将1200名学生分为30段，每段人数即间隔k＝eq\f(1200，30）＝40。]系统抽样的适用条件及判断方法,适用条件：系统抽样适用于个体数较多的总体.判断方法:判断一种抽样是否为系统抽样，首先看在抽样前是否知道总体是由什么构成的。抽样的方法能否保证将总体分成几个均衡的部分，并保证每个个体等可能入样。1．下列抽样试验中,最适宜用系统抽样法的是()A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样C[只有C选项样本容量和总体容量都较大，且个体之间无明显差异．]eq\f（N,n）是整数的系统抽样【例2】一个体育代表团有200名运动员，其中2名是种子选手，现从中抽取13人参加运动会，若种子选手必须参加，请用系统抽样法给出抽样过程．［思路探究]种子选手必须参加，实质上是从198名运动员中抽取11人参赛．［解]S1将不包括2名种子选手的198名运动员进行编号，编号为001,002，…,198;S2将编号按顺序每18个一段分成11段；S3在第1段001，002，…,018这18个编号中用简单随机抽样法抽出1个号(如010)作为起始号;S4依次加18,将编号为010，028，046，…，190的个体抽出,再加上2名种子选手组成代表队参加运动会．在应用系统抽样时，要解决两个关键的问题:1分组的方法应依据抽取比例而定,即根据定义每组抽取一个样本.2起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，起始编号确定，其他编号便随之确定了.2．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是(）A．10 B．11C．12 D．16D［分段间隔k＝eq\f（52，4）＝13,可推出另一个同学的学号为16，故选D．]需剔除个体的系统抽样［探究问题]1．运用系统抽样抽取样本时，需要计算分段间隔k，得到k值的目的是什么？［提示］当总体容量能被样本容量整除时，分段间隔k＝eq\f(N，n)，计算出k值是为了把所有个体分成n段，每段有k个个体，从而从k个个体中抽取一个入样．2．对总体分段后，先从第一段随机抽取一个个体，其他各段不再抽取，而是加上分段间隔的若干倍得到,这样做公平吗？[提示]公平．因为第一段中抽取是随机的，每一个个体入样有均等的机会，进而其余各段的每一个个体都有均等入样的机会．3．在系统抽样中,N不一定能被n整除，那么系统抽样还公平吗?[提示］在系统抽样中,（1)若N能被n整除,则将比值eq\f（N,n)作为分段间隔k。由于起始编号的抽取采用简单随机抽样的方法，因此每个个体被抽取的可能性是一样的．（2）若N不能被n整除,则用简单随机抽样的方法从总体中剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被n整除，再确定样本．因此每个个体被抽取的可能性还是一样的．所以，系统抽样是公平的．【例3】为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，抽取一个容量为50的样本，选用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程．[思路探究］eq\x（编号)→eq\x(剔除)→eq\x(再编号）→eq\x(分段）→eq\x（在第一段上抽样）→eq\x（在其他段上抽样)→eq\x(成样）[解](1）随机地将这1003个个体编号为1，2,3，…，1003；(2）利用简单随机抽样,先从总体中随机剔除3个个体，剩下的个体数1000能被样本容量50整除，然后将1000个个体重新编号为1,2，3,…，1000；（3)将总体按编号顺序均分成50组，每组包括20个个体;(4）在编号为1，2,3，…，20的第一组个体中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如是18；（5)以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18，38,58,…,978，998。1．（变条件)从某厂生产的802辆轿车中抽取80辆测试某项性能．请用系统抽样方法进行抽样，并写出抽样过程．[解]第一步,先从802辆轿车中剔除2辆轿车(剔除方法可用随机数表法）；第二步，将余下的800辆轿车编号为1,2，…，800，并均匀分成80段，每段含k＝eq\f(800，80）＝10个个体；第三步,从第1段即1,2，…，10这10个编号中，用简单随机抽样的方法抽取一个号（如5)作为起始号；第四步,从5开始,再将编号为15,25，…，795的个体抽出,得到一个容量为80的样本．2．(变结论)为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，抽取一个容量为50的样本，若选择抽签法抽取,有什么弊端？[解］制签成本高，个体太多，不易“搅拌均匀”,抽取的样本代表性差．当总体容量不能被样本容量整除时,可以先从总体中随机剔除几个个体。但要注意的是剔除过程必须是随机的，也就是总体中的每个个体被剔除的机会均等。剔除几个个体后使总体中剩余的个体数能被样本容量整除。提醒:剔除个体后需对样本重新编号。1．本节课的重点是记住系统抽样的方法和步骤，难点是会用系统抽样从总体中抽取样本．2．本节课要理解并记住系统抽样的三个特征：①总体已知且数量较大；②抽样必须等距；③每个个体入样的机会均等．3．本节课要掌握设计系统抽样的四个步骤:编号→分段→确定初始编号→抽取样本．4．本节课的易错点有：(1)概念理解错误致错．(2）忽视每个个体被抽到的机会相等而致误．1．思考辨析(1）总体个数较多时可以用系统抽样．（)（2)系统抽样的过程中，每个个体被抽到的概率不相等．(）（3）用系统抽样从N个个体中抽取一个容量为n的样本，要平均分成n段,每段各有eq\f（N,n）个号码．（）[答案］（1）√(2）×(3)×2．下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是()A．从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动B．一个城市有210家百货商店，其中大型商店20家，中型商店40家，小型商店150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本C．从参加模拟考试的1200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况D．从参加模拟考试的1200名高中生中随机抽取10人了解某些情况C［A。总体容量较小，样本容量也较小，可采用抽签法．B．总体中的个体有明显的层次，不适宜用系统抽样法．C．总体容量较大,样本容量也较大，可用系统抽样法．D．总体容量较大，样本容量较小,可用随机数表法．］3．为了了解参加某次知识竞赛的1252名学生的成绩,决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么从总体中应随机剔除的个体数目为（）A．2B．3C．4D．5A[因为1252＝50×25＋2,所以应随