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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若满足,且目标函数的最大值为2,则的最小值为()A.8 B.4 C. D.62.函数的最小正周期是,则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是()A. B. C. D.3.已知数列对任意的有成立,若,则等于()A. B. C. D.4.已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与抛物线的一个交点,若,则()A. B.3 C. D.25.已知函数且的图象恒过定点,则函数图象以点为对称中心的充要条件是()A. B.C. D.6.的图象如图所示,,若将的图象向左平移个单位长度后所得图象与的图象重合,则可取的值的是()A. B. C. D.7.已知直线过双曲线C:的左焦点F,且与双曲线C在第二象限交于点A,若(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为A. B. C. D.8.阅读下面的程序框图,运行相应的程序,程序运行输出的结果是()A.1.1 B.1 C.2.9 D.2.89.已知奇函数是上的减函数,若满足不等式组,则的最小值为()A.-4 B.-2 C.0 D.410.已知复数z满足(i为虚数单位),则在复平面内复数z对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度12.已知为两条不重合直线,为两个不重合平面,下列条件中,的充分条件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)已知,且,则的值是____________.14.若点在直线上,则的值等于______________.15.某中学高一年级有学生1200人,高二年级有学生900人,高三年级有学生1500人,现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究,则应从高三年级学生中抽取_____人.16.甲、乙两人同时参加公务员考试,甲笔试、面试通过的概率分别为和;乙笔试、面试通过的概率分别为和.若笔试面试都通过才被录取,且甲、乙录取与否相互独立,则该次考试只有一人被录取的概率是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,其中,.(1)函数的图象能否与x轴相切?若能,求出实数a;若不能,请说明理由.(2)若在处取得极大值,求实数a的取值范围.18.(12分)一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本(万元)与该月产量(万件)之间有如下一组数据:1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26(1)通过画散点图,发现可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明;(2)①建立月总成本与月产量之间的回归方程;②通过建立的关于的回归方程,估计某月产量为1.98万件时,产品的总成本为多少万元?(均精确到0.001)附注:①参考数据:,,,,.②参考公式:相关系数,,.19.(12分)已知抛物线的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:(c为椭圆焦距的一半)的距离为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若,求直线AB的方程.20.(12分)已知椭圆:(),与轴负半轴交于,离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设直线:与椭圆交于,两点,连接,并延长交直线于,两点,已知,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标.21.(12分)已知,,函数的最小值为.(1)求证:;(2)若恒成立,求实数的最大值.22.(10分)已知抛物线:,点为抛物线的焦点,焦点到直线的距离为,焦点到抛物线的准线的距离为,且.(1)求抛物线的标准方程;(2)若轴上存在点,过点的直线与抛物线相交于、两点,且为定值,求点的坐标.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
作出可行域,由,可得.当直线过可行域内的点时,最大,可得.再由基本不等式可求的最小值.【详解】作出可行域,如图所示由,可得.平移直线,当直线过可行域内的点时,最大,即最大,最大值为2.解方程组,得..,当且仅当,即时,等号成立.的最小值为8.故选:.【点睛】本题考查简单的线性规划,考查基本不等式,属于中档题.2、D【解析】
由三角函数的周期可得,由函数图像的变换可得,平移后得到函数解析式为,再求其对称轴方程即可.【详解】解:函数的最小正周期是,则函数,经过平移后得到函数解析式为,由,得,当时,.故选D.【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换,属基础题.3、B【解析】
观察已知条件,对进行化简,运用累加法和裂项法求出结果.【详解】已知,则,所以有,,,,两边同时相加得,又因为,所以.故选:【点睛】本题考查了求数列某一项的值,运用了累加法和裂项法,遇到形如时就可以采用裂项法进行求和,需要掌握数列中的方法,并能熟练运用对应方法求解.4、D【解析】
根据抛物线的定义求得,由此求得的长.【详解】过作,垂足为,设与轴的交点为.根据抛物线的定义可知.由于,所以,所以,所以,所以.故选:D【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.5、A【解析】
由题可得出的坐标为,再利用点对称的性质,即可求出和.【详解】根据题意,,所以点的坐标为,又,所以.故选:A.【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用,属于基础题.6、B【解析】
根据图象求得函数的解析式,即可得出函数的解析式,然后求出变换后的函数解析式,结合题意可得出关于的等式,即可得出结果.【详解】由图象可得,函数的最小正周期为,,,则,,取,,则,,,可得,当时,.故选:B.【点睛】本题考查利用图象求函数解析式,同时也考查了利用函数图象变换求参数,考查计算能力,属于中等题.7、B【解析】
直线的倾斜角为,易得.设双曲线C的右焦点为E,可得中,,则,所以双曲线C的离心率为.故选B.8、C【解析】
根据程序框图的模拟过程,写出每执行一次的运行结果,属于基础题.【详解】初始值,第一次循环:,;第二次循环:,;第三次循环:,;第四次循环:,;第五次循环:,;第六次循环:,;第七次循环:,;第九次循环:,;第十次循环:,;所以输出.故选:C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果,属于基础题.9、B【解析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域,画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】奇函数是上的减函数,则,且,画出可行域和目标函数,,即,表示直线与轴截距的相反数,根据平移得到:当直线过点,即时,有最小值为.故选:.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性,线性规划问题,意在考查学生的综合应用能力,画出图像是解题的关键.10、D【解析】
根据复数运算,求得,再求其对应点即可判断.【详解】,故其对应点的坐标为.其位于第四象限.故选:D.【点睛】本题考查复数的运算,以及复数对应点的坐标,属综合基础题.11、A【解析】
由的最小正周期是,得,即,因此它的图象向左平移个单位可得到的图象.故选A.考点:函数的图象与性质.【名师点睛】三角函数图象变换方法:12、D【解析】
根据面面垂直的判定定理,对选项中的命题进行分析、判断正误即可.【详解】对于A,当,,时,则平面与平面可能相交,,,故不能作为的充分条件,故A错误;对于B,当,,时,则,故不能作为的充分条件,故B错误;对于C,当,,时,则平面与平面相交,,,故不能作为的充分条件,故C错误;对于D,当,,,则一定能得到,故D正确.故选:D.【点睛】本题考查了面面垂直的判断问题,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由于,且,则,得,则.14、【解析】
根据题意可得,再由,即可得到结论.【详解】由题意,得,又,解得,当时,则,此时;当时,则,此时,综上,.故答案为:.【点睛】本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系,考查计算能力,属于基础题.15、1.【解析】
先求得高三学生占的比例,再利用分层抽样的定义和方法,即可求解.【详解】由题意,高三学生占的比例为,所以应从高三年级学生中抽取的人数为.【点睛】本题主要考查了分层抽样的定义和方法,其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.16、【解析】
分别求得甲、乙被录取的概率,根据独立事件概率公式可求得结果.【详解】甲被录取的概率;乙被录取的概率;只有一人被录取的概率.故答案为:.【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)答案见解析(2)【解析】
(1)假设函数的图象与x轴相切于,根据相切可得方程组,看方程是否有解即可;(2)求出的导数,设(),根据函数的单调性及在处取得极大值求出a的范围即可.【详解】(1)函数的图象不能与x轴相切,理由若下:.假设函数的图象与x轴相切于则即显然,,代入中得,无实数解.故函数的图象不能与x轴相切.(2)(),,设(),恒大于零.在上单调递增.又,,,∴存在唯一,使,且时,时,①当时,恒成立,在单调递增,无极值,不合题意.②当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递减,在内单调递增,所以在处取得极小值,不合题意.③当时,可得当时,,当时,.所以在内单调递增,在内单调递减,所以在处取得极大值,符合题意.此时由得即,综上可知,实数a的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,属于难题.18、(1)见解析;(2)①②3.386(万元)【解析】
(1)利用代入数值,求出后即可得解;(2)①计算出、后,利用求出后即可得解;②把代入线性回归方程,计算即可得解.【详解】(1)由已知条件得,,∴,说明与正相关,且相关性很强.(2)①由已知求得,,所以,所求回归直线方程为.②当时,(万元),此时产品的总成本约为3.386万元.【点睛】本题考查了相关系数的应用以及线性回归方程的求解和应用,考查了计算能力,属于中档题.19、(1);(2)或.【解析】
(1)由抛物线的准线方程求出的值,确定左焦点坐标,再由点F到直线l:的距离为4,求出即可;(2)设直线方程,与椭圆方程联立,运用根与系数关系和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.【详解】(1)抛物线的准线方程为,,直线,点F到直线l的距离为,,所以椭圆的标准方程为;(2)依题意斜率不为0,又过点,设方程为,联立,消去得,,,设,,,,线段AB的中垂线交直线l于点Q,所以横坐标为3,,,,平方整理得,解得或(舍去),,所求的直线方程为或.【点睛】本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系,要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式,合理运用两点间的距离公式,考查计算求解能力,属于中档题.20、(1)(2)证明见解析;定点坐标为【解析】
(1)由条件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【详解】(1)由题有,.∴,∴.∴椭圆方程为.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此时满足∴∴直线恒过定点【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.21、(1)见解析;(2)最大值为.【解析】
(1)将函数表示为分段函数,利用函数的单调性求出该函数的最小值,进而可证得结论成立;(2)由可得出,并将代数式与相乘,展开后利用基本不等式可求得的最小值,进而可得出实数的最大值.【详解】(1).当时,函数单调递减,则;当时,函数单调递增,则;当时,函数单调递增,则.综上所述,,所以;(2)因为恒成立,且,,所以恒成立,即.因为,当且仅当时等号成立,所以,实数的最大值为.【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解,同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数,考查推理能力与计算能力,属于中等题.22、(1)(2)【解析】
(1)先分别表示出,然后根据求解出的值,
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