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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,则的值构成的集合是()A. B. C. D.2.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出下列四个命题:①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若,,则;其中真命题的个数为()A. B. C. D.3.已知空间两不同直线、,两不同平面,,下列命题正确的是()A.若且,则 B.若且,则C.若且,则 D.若不垂直于,且,则不垂直于4.已知集合,,则集合的真子集的个数是()A.8 B.7 C.4 D.35.若函数的图象经过点,则函数图象的一条对称轴的方程可以为()A. B. C. D.6.已知复数满足,(为虚数单位),则()A. B. C. D.37.已知点P在椭圆τ:=1(a>b>0)上,点P在第一象限,点P关于原点O的对称点为A,点P关于x轴的对称点为Q,设,直线AD与椭圆τ的另一个交点为B,若PA⊥PB,则椭圆τ的离心率e=()A. B. C. D.8.函数()的图像可以是()A. B.C. D.9.已知的共轭复数是,且(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知向量,且,则m=()A.−8 B.−6C.6 D.811.已知函数,,若存在实数,使成立,则正数的取值范围为()A. B. C. D.12.已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的-一个公共点,且,设椭圆和双曲线的离心率分别为,则的关系为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,分别是椭圆:()的左、右焦点,过左焦点的直线与椭圆交于、两点,且,,则椭圆的离心率为__________.14.己知函数,若曲线在处的切线与直线平行,则__________.15.在的展开式中的系数为,则_______.16.展开式的第5项的系数为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.18.(12分)已知函数.(1)若是的极值点,求的极大值;(2)求实数的范围,使得恒成立.19.(12分)已知椭圆()的半焦距为,原点到经过两点,的直线的距离为.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)如图,是圆的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的方程.20.(12分)如图所示,在三棱锥中,,,,点为中点.(1)求证:平面平面;(2)若点为中点,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21.(12分)中,内角的对边分别为,.(1)求的大小;(2)若,且为的重心,且,求的面积.22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(,为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线上的点M对应的参数,射线与曲线交于点.(1)求曲线,的直角坐标方程;(2)若点A,B为曲线上的两个点且,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
对分奇数、偶数进行讨论,利用诱导公式化简可得.【详解】为偶数时,;为奇数时,,则的值构成的集合为.【点睛】本题考查三角式的化简,诱导公式,分类讨论,属于基本题.2、C【解析】
利用线线、线面、面面相应的判定与性质来解决.【详解】如果两条平行线中一条垂直于这个平面,那么另一条也垂直于这个平面知①正确;当直线平行于平面与平面的交线时也有,,故②错误;若,则垂直平面内以及与平面平行的所有直线,故③正确;若,则存在直线且,因为,所以,从而,故④正确.故选:C.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系,里面涉及到了相应的判定定理以及性质定理,是一道基础题.3、C【解析】因答案A中的直线可以异面或相交,故不正确;答案B中的直线也成立,故不正确;答案C中的直线可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直,是正确的;答案D中直线也有可能垂直于直线,故不正确.应选答案C.4、D【解析】
转化条件得,利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解.【详解】由题意得,,集合的真子集的个数为个.故选:D.【点睛】本题考查了集合的化简和运算,考查了集合真子集个数问题,属于基础题.5、B【解析】
由点求得的值,化简解析式,根据三角函数对称轴的求法,求得的对称轴,由此确定正确选项.【详解】由题可知.所以令,得令,得故选:B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数,考查三角恒等变换,考查三角函数对称轴的求法,属于中档题.6、A【解析】,故,故选A.7、C【解析】
设,则,,,设,根据化简得到,得到答案.【详解】设,则,,,则,设,则,两式相减得到:,,,即,,,故,即,故,故.故选:.【点睛】本题考查了椭圆的离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.8、B【解析】
根据,可排除,然后采用导数,判断原函数的单调性,可得结果.【详解】由题可知:,所以当时,,又,令,则令,则所以函数在单调递减在单调递增,故选:B【点睛】本题考查函数的图像,可从以下指标进行观察:(1)定义域;(2)奇偶性;(3)特殊值;(4)单调性;(5)值域,属基础题.9、D【解析】
设,整理得到方程组,解方程组即可解决问题.【详解】设,因为,所以,所以,解得:,所以复数在复平面内对应的点为,此点位于第四象限.故选D【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识,考查了方程思想,属于基础题.10、D【解析】
由已知向量的坐标求出的坐标,再由向量垂直的坐标运算得答案.【详解】∵,又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=1.故选D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,考查向量垂直的坐标运算,属于基础题.11、A【解析】
根据实数满足的等量关系,代入后将方程变形,构造函数,并由导函数求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,结合存在性问题的求法,即可求得正数的取值范围.【详解】函数,,由题意得,即,令,∴,∴在上单调递增,在上单调递减,∴,而,当且仅当,即当时,等号成立,∴,∴.故选:A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用,由基本不等式求函数的最值,存在性成立问题的解法,属于中档题.12、A【解析】
设椭圆的半长轴长为,双曲线的半长轴长为,根据椭圆和双曲线的定义得:,解得,然后在中,由余弦定理得:,化简求解.【详解】设椭圆的长半轴长为,双曲线的长半轴长为,由椭圆和双曲线的定义得:,解得,设,在中,由余弦定理得:,化简得,即.故选:A【点睛】本题主要考查椭圆,双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
设,则,,由知,,,作,垂足为C,则C为的中点,在和中分别求出,进而求出的关系式,即可求出椭圆的离心率.【详解】如图,设,则,,由椭圆定义知,,因为,所以,,作,垂足为C,则C为的中点,在中,因为,所以,在中,由余弦定理可得,,即,解得,所以椭圆的离心率为.故答案为:【点睛】本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.14、【解析】
先求导,再根据导数的几何意义,有求解.【详解】因为函数,所以,所以,解得.故答案为:【点睛】本题考查导数的几何意义,还考查运算求解能力以及数形结合思想,属于基础题.15、2【解析】
首先求出的展开项中的系数,然后根据系数为即可求出的取值.【详解】由题知,当时有,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查了二项式展开项的系数,属于简单题.16、70【解析】
根据二项式定理的通项公式,可得结果.【详解】由题可知:第5项为故第5项的的系数为故答案为:70.【点睛】本题考查的是二项式定理,属基础题。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式;(2)不等式转化为,求出在上的最小值即可,利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值.【详解】解:(1)或或解得或或无解综上不等式的解集为.(2)时,,即所以只需在时恒成立即可令,由解析式得在上是增函数,∴当时,即【点睛】本题考查解绝对值不等式,考查不等式恒成立问题,解决绝对值不等式的问题,分类讨论是常用方法.掌握分类讨论思想是解题关键.18、(1).(2)【解析】
(1)先对函数求导,结合极值存在的条件可求t,然后结合导数可研究函数的单调性,进而可求极大值;(2)由已知代入可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0时恒成立,构造函数g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,结合导数及函数的性质可求.【详解】(1),x>0,由题意可得,0,解可得t=﹣4,∴,易得,当x>2,0<x<1时,f′(x)>0,函数单调递增,当1<x<2时,f′(x)<0,函数单调递减,故当x=1时,函数取得极大值f(1)=﹣3;(2)由f(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx+2≥2在x>0时恒成立可得,x2+(t﹣2)x﹣tlnx≥0在x>0时恒成立,令g(x)=x2+(t﹣2)x﹣tlnx,则,(i)当t≥0时,g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(1)=t﹣1≥0,解可得t≥1,(ii)当﹣2<t<0时,g(x)在()上单调递减,在(0,),(1,+∞)上单调递增,此时g(1)=t﹣1<﹣1不合题意,舍去;(iii)当t=﹣2时,g′(x)0,即g(x)在(0,+∞)上单调递增,此时g(1)=﹣3不合题意;(iv)当t<﹣2时,g(x)在(1,)上单调递减,在(0,1),()上单调递增,此时g(1)=t﹣1<﹣3不合题意,综上,t≥1时,f(x)≥2恒成立.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值,利用导数与函数的性质处理不等式的恒成立问题,分类讨论思想,属于中档题.19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)依题意,由点到直线的距离公式可得,又有,联立可求离心率;(2)由(1)设椭圆方程,再设直线方程,与椭圆方程联立,求得,令,可得,即得椭圆方程.试题解析:(Ⅰ)过点的直线方程为,则原点到直线的距离,由,得,解得离心率.(Ⅱ)由(1)知,椭圆的方程为.依题意,圆心是线段的中点,且.易知,不与轴垂直.设其直线方程为,代入(1)得.设,则,.由,得,解得.从而.于是.由,得,解得.故椭圆的方程为.20、(1)答案见解析.(2)【解析】
(1)通过证明平面,证得,证得,由此证得平面,进而证得平面平面.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】(1)因为,所以平面,因为平面,所以.因为,点为中点,所以.因为,所以平面.因为平面,所以平面平面.(2)以点为坐标原点,直线分别为轴,轴,过点与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,,,设平面的一个法向量,则即取,则,,所以,设平面的一个法向量,则即取,则,,所以,设平面与平面所成锐二面角为,则.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.21、(1);(2)【解析】
(1)利用正弦定理,转化为,分析运算即得解;(2)由为的重心,得到,平方可得解c,由面积公式即得解.【详解】(1)由,由正弦定理得C,即∴∵∴,又∵∴(2)由于为的重心故,∴解得或舍∴的面积为.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.22、(1)..(2)【解析】
(1)先求解a,b,消去参数,即得曲线的直角坐
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