数学研讨专题解析几何抛物线

专题剖析几何抛物线1.（2019全国II理8x2y21的一个焦点，则p=）若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆p3pA．2B．3C．4D．82.（2019北京理18（1））已知抛物线C:x22py经过点(2，-1).求抛物线C的方程及其准线方程；3．（2019全国I理19）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为3的直线l与C的交点为A，2B，与x轴的交点为P．（1）若AFBF4，求l的方程；uuruur（2）若AP3PB，求AB．21）已知曲线C：y=x214.（2019全国III理，D为直线y=上的动点，过D作C的两22条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，5)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形2ADBE的面积.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为2的直线与Cuuuuruuur3交于M，N两点，则FMFN=A．5B．6C．7D．82．（2017新课标Ⅰ）已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB||DE|的最小值为A．16B．14C．12D．103．(2016年四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为322D．1A．B．C．3324．(2016年全国I)以抛物线C的极点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为A．2B．4C．6D．85．（2015浙江）如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同样的点A,B,C，其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是BF121BF121BFBFA．1B．21C．D．21AFAFAF1AF6．（2015四川）设直线l与抛物线y24x订交于A,B两点，与圆x522r2r0y相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是A．1，3B．1，4C．2，3D．2，47．（2014新课标1）已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若uuuruuur=A．75C．3D．22B．28．（2014新课标2）设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．33B．93C．63D．9483249．（2014辽宁）已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）1B．2C．34A．34D．23．（新课标1）O为坐标原点，F为抛物线C:y242x的焦点，P为C上一点，102013若|PF|42，则POF的面积为（）A．2B．22C．23D．411．（2013江西）已知点A2,0，抛物线C:x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线订交于点N，则|FM|:|MN|=A．2:5B．1:2C．1:5D．1:3．（新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的122012准线交于A、B两点，|AB|43，则C的实轴长为A、2B、22C、4D、8：x2213．（2012山东）已知双曲线C12y21(a0,b0)的离心率为2．若抛物线abC2:x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为A．x283yB．x2163yC．x28yD．x216y3314．（2011新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为A．18B．24C．36D．48二、填空题15．(2018全国卷Ⅲ)已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若AMB90o，则k______．16．（2017新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|．17．（2015陕西）若抛物线y22px(p0)的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p=18．（2014湖南）如图4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(ab)，原点O为AD的中点，抛物线y22px(p0)经过C,F两点，则b．a19．（2013北京）若抛物线

y2

2px

的焦点坐标为

(1,0)，则

p

，准线方程为

．20．（2012

陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在

l时，拱顶离水面

2米，水面宽

4米，水位下降

1米后，水面宽

米．21．（2010浙江）设抛物线

y2

2px(p

0)的焦点为

F

，点

A(0,2)．若线段

FA的中点

B在抛物线上，则

B到该抛物线准线的距离为

_____________．三、解答题22．（2018北京）已知抛物线

C：

y2

2px经过点

P(1,2)．过点

Q(0,1)

的直线

l

与抛物线有两个不同样的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．求直线l的斜率的取值范围；uuuuruuuruuuruuur11(2)设O为原点，QMQO，QNQO，求证：为定值．23．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线

C：y2

4x

的焦点为

F，过F

且斜率为

k(k

0)的直线

l与C交于

A，B两点，

|AB|

8．(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．24．（2018浙江）如图，已知点

P是

y轴左侧(不含

y轴)一点，抛物线

C：

y2

4x上存在不同样的两点

A，B满足

PA，

PB的中点均在

C上．y

APMxOB(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x2y21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围．425．（2017新课标Ⅲ）已知抛物线C：y22x，过点(2,0)的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4,2)，求直线l与圆M的方程．26．（2017浙江）如图，已知抛物线x2y．点A(1,1)，B(3,9)，抛物线上的点2424P(x,y)(1x3)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．22yBQAPxO（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA||PQ|的最大值．27．（2017北京）已知抛物线C：y22px过点P(1,1)．过点(0,1)作直线l与抛物线C交2于不同样的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点．28．(2016年全国III)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．29．（2015新课标1）在直角坐标系xoy中，曲线C：yx20)交与直线ykxa(a4与M，N两点，（Ⅰ）当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上可否存在点P，使适合k变动时，总有OPMOPN？说明原由．30．（2014山东）已知抛物线C:y22px(p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有FAFD，当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1//l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE的面积可否存在最小值？若存在，央求出最小值；若不存在，请说明原由。31．（2014陕西）如图，曲线C由上半椭圆C1y2x21(ab0,y0):b2和部分抛物a2线C2:yx21(y0)连接而成，C1,C2的公共点为A,B，其中C1的离心率为3．2（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1,C2分别交于P,Q（均异于点A,B），若APAQ，求直线l的方程．32．（2013广东）已知抛物线C的极点为原点，其焦点F0,cc0到直线l:xy20的距离为32．设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA,PB，其中2A,B为切点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）当点Px0,y0为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（Ⅲ）当点P在直线l上搬动时，求AFBF的最小值．33．（2012新课标）设抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B、D点．（Ⅰ）若BFD90o，ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；（