高数-第11章级数-3函数项

定义设u1xu2x),unx),是定义在I

R上的函数,则unxu1xu2xunx称为定义在区间I上的(函数项)无穷级

xnn0

1

xx2

收敛点与收敛域如果x0I,数项级数unx0收敛 n1则称x0为级数unx)的收敛点否则称为发散点函数项级数unx)的所有收敛点的全体称为收敛域所有发散点的全体称为发散域和函数在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x),称s(x)为函数项级数的和函数s(x)

u1(x)

u2(x)

un(x)函数项级数的部分snx),

sn(x)

s(x)余项rnxsx

sn(x)

rn(x)

(x在收敛域上注意函数项级数在某x的收敛问题,1求级数

( 1

)n的收敛域xn1解 判别n1

I

1un1(x)un(x)

n1

1

1

(n)

当11x

1

x

2时

原级数绝对收(2)

当11x

1

即2

x时

原级数发散(3)

当|1

x

x

时

级数

(1)nn1

收敛x

2时

级数nn

发散故级数的收敛域(,2)又I

发散域为

0定义:形如anx0

x)n的级数称为幂级数当

时

ann0

xn

其中an为幂级数系数收敛性

xnn0

1

xx2

x

时

收敛

x

时

发散收敛域

发散域(,11(Abel定理n如果级数anx在xnn0

x0(

0)处收对一切满足不等x

x0x，该级数绝对收n如果级数annn0

在xx0处发散,则对一切满足不等式x

x0的点x，该级数都发0证明(1)an0n0

xn收敛

a axnxn0aM M,xnxn0aM

(nxx0xnxnnxx0xnxn

xxxx0naxnn

an

an x x

时

等比级数n0

xxn0

axn收敛,即级数annn0nn

xn收敛(2)

假设当x

x0时发散反设有一点x1满足 x0使级数收敛由(1)结论则级数当x这与所设.证毕

x0时应收敛幂级数收敛域的可能情形n①显然axnx＝0处收敛,nn0零的收敛点，则此幂级数的收敛域为x＝0外，其它点均x＝0外，其它点均发②对于任意x∈R幂级数都收n如：nn0

对于

③既有使幂级数收敛的非零

又有使幂级发散的

令D

anDD故存

xn收敛|x|R级数绝对收敛.当|x|R时,幂级数发散.|x|＝R级数可能收敛可能发散.Abel几何意义发散区

绝对收敛区 发散区推n如果幂级数annn0

不是仅在

0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:xx

R时,幂级数绝对收当x

R与

R时,幂级数可能收敛也可定义R称为幂级数的收敛半径Abel定理的推0anx0

x)nx

xxx处收敛,则n0

x

x1

的点x，该级数绝对收敛 如果级数anx

x)nx

处发散,则对一0n0 0切满足不等

x

x1

的点x级数散收敛半径R的特征xx

R时,R时,幂级数发散幂级n0a(xx幂级n0

xx0 时发散当 时发散

3

时收敛,则该级数的收敛半径是

x0定义R称为幂级数的收敛半径(

R,

R)称为幂级数的收敛区间幂级数的收敛域有四种可能规定(1)xx0处收敛R

收敛区间￠,收敛域幂级数对一切x都收R

收敛区间,收敛域(,).问题如何求幂级数的收敛半径n定理2设幂级数an n n0nannann

n1 an

(或1

)则当

0时R;当时,R0.n证明对级数nan1 n0an1

xn应用判别x

naxnn

an

xx

如果

(

0)存在由比值审敛法,当

x

1时

xn级数nn0

axn当|x

1时

x级数n0

an

n发散.R1(2)a

如果xn1

0,

n有nan

0

1(n

),n级数nn0

axn

收敛半

R(3)

如果

,

axaxn1axnn

n级数nn0

axn发散.

R

定理证未未

注:注:该定理反之不成.:幂级数的收敛半径Rn1Rn

nn的收敛半径R＝1但但

2

n 2

1,lim

3

不存在

3

n例1求下列幂级数的收敛区域

(1)nx

(2)

(nx)n;n n

nxn

nn(1)n (x1)nnnn1

(1

anan1an

nR

收敛区间是(1,1)当x

时级数为

(1)n,1n1

该级数收当x

n1n级数为n

该级数发故收敛域是(2)

(nx)n;nannan

limn

,

Rx级数只在x

0处收敛,收敛域是[0,0].(3)

an

n

0,R

,收敛区间(,).收敛域也是(,)n(4)n

n(1)nn

(x

nn2n

anan1an

n

2R122收敛区间是12

1,1

1)2

当x

时

级数为1 发nn当x

时

级数为

(1)nn收n故收敛区域2求幂级数n1

x2n12n

的收敛域 x x5 22

缺少偶次幂的应用判别x2n1x2nx2n1x2n12n12n1

un(x)

x22当x21,

x

时

级数收敛1x22

x

时

22级数发散22收敛

收敛区间 2, .当x当x

时时

级数为

1221,22

级数发散级数发散2原级数的收敛域为( 2, 2例3若幂级

nannn0

的收敛域－44写an

x2n1

的收敛

[－2,2解x2＝t则|t|4,收敛|t|>4,发散|x|2,收敛

|x|2,发散x＝2

an

x2n1

a2n1n代数运算性质设a

xn和b

x的收敛半径各为R和Rnn0

n0nann

nbnn

xn

x

R,Rn0 n0

n0

(

bn乘 (an

xn)

bn

xn)

n0

xn

x

R,R(其中

1 乘西乘

x2a0b2

x3 a0b3a a

a2b2

a2b3a3b0

a3b2

a3b3注:两级数相加减或乘所得幂级数的R≥min{R1，R2}R1R2R＝minR1，R2

3

的收敛及和由根式判别法易

n1

xn与

的收敛半径都3

收敛域(-又原级数x＝±3时故其

敛半R＝33

2(1)n

x

x

3x 23 3

x

3 n133

3

3除

n(收敛域内bnn

nan n

n0(相除后的收敛区间比原

xnnbnnn0

n0

两级数的收敛区间小得和函数的分析运算性质n3（1）幂级数annn0

的和函数sx)区间(连续

R)内连续。在端点收敛,幂级数

xn的和函数sx)在收敛区nn0(

内可积,且对

(

R)可逐项积分x即x

s(x)dx

xn(anxnn0

xn1anx

n

(收敛半径不变n0

n00若是幂级数anx0n0n内的逐项积n

x

,则收敛区间(

R,

x an(xx

x0)dx

an (x

x0

0n0

n0

nn幂级数annn0

的和函数s(x)在收敛区(RR)内可导,并可逐项求导nsx(anxn n0 n0

xn

nan1

xn1.(收敛半径不变因此和函数sx)在收敛区间(

R思考思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它解不一定例fx

xnn1n2n

f(x)

xn1,nf(x)

(nn2

,n

它们的收敛半径都是但它们的收敛域各

求导,积分后的级数收敛区间不变,但收敛域会改变一般而言，积分后收敛域可能会变大，求导后收敛域可能会变小.若x=R,幂级数发散，积分后新幂级数可能收敛；若x=,幂级数收敛，求导后新幂级数可能发散．设原幂级数的收敛域为(-R,R),求导后新幂级收敛(-设原幂级数的收敛域为〔R〕,积分后新幂级数〔-〕.4求级数(1)

x的和函数nnn首先首先，该级数的收敛域(－11xnsx

(1) n ns(x)

1xx

x2

1x

(1

x两边积分

s(t

ln(1x)sx

s(0)

ln(1x)

s(0s(x)

ln(1

x),x

1时

(1)xn

1收敛n (1)n1

ln(1

x).

(1

x求n1

(1)n1n

的和

n1令x

10,(1)n1

lnn例5求(n

的和函解x2＝t解的和的和函数

(n

)t n1

t