2022-2023学年北京市昌平区前锋学校高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市昌平区前锋学校高一上学期期中数学试题一、单选题1．下列关系中正确的是（）A． B． C． D．C【分析】根据空集是不含有任何元素的集合，得到A不正确；由是无理数，得到B不正确；由元素与集合的关系，得到D不正确，即可求解.【详解】由题意，A中，空集是不含有任何元素的集合，所以不正确；由是无理数，所以不正确；根据元素与集合的关系，不正确，又由0是自然数，所以，故选C.本题主要考查了元素与集合的关系，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2．已知集合则（）A． B． C． D．A【详解】因为,,所以故选A.3．不等式组的解集在数轴上表示为（

）A． B．C． D．A求出不等式的解集，即可得出答案.【详解】由，解得，故不等式组的解集在数轴上表示为选项A.故选：A.4．下列不等式中解集是R的是（

）A．； B．； C．； D．.D【分析】分别解不等式，即可得出结果.【详解】A选项，由得，所以解集为，排除A；B选项，由得，所以解集为，排除B；C选项，由得，解得，即解集为，排除C；D选项，由得，则，显然恒成立，所以解集为R，即D正确；故选：D.5．设命题，则为（

）A． B．C． D．C特称命题的否定是全称命题，先否定量词，再否定结论.【详解】命题，则为：故选：C6．实数、在数轴上的位置如图，以下说法正确的是（

）A． B．C． D．D【分析】根据数轴的定义即可得出、的大小，从而得出答案.【详解】由图可得，对于A：，A错.对于B：，B错.对于C：，C错.对于D:,D对.故选：D7．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A【分析】求得的解集，进而结合充分不必要条件的概念即可得出结论.【详解】因为的解集是或，因为集合是集合或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件故选：A.8．函数的定义域为（

）A． B． C． D．A根据偶次根式下不小于0，分式的分母不为0列出不等式组，解出即可.【详解】要使函数有意义，需满足，解得且，即函数的定义域为，故选：A.9．已知函数，若，则的值是（

）A． B． C．或 D．或A【分析】分、两种情况解方程，综合可得出的值.【详解】当时，由，得（舍）；当时，由，可得或（舍）.综上所述，.故选：A.10．下列函数中，既是奇函数，又在定义域上是单调递增函数的是（

）A． B． C． D．D【分析】对每个函数的奇偶性和单调性进行判断可得.【详解】因为不是奇函数,所以排除A;因为和在其定义域内都不是增函数,所以排除B,C;函数既是奇函数，又在定义域上是单调递增函数,符合.故选D.本题考查了函数的奇偶性和单调性,属基础题.11．如图,给出奇函数的局部图象，则的值为A． B．2 C．1 D．0A【分析】根据奇函数的性质可求的值.【详解】由图知，又为奇函数,所以.故选A.本题考查奇函数的性质，属于容易题.12．用一段长为的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为（

）A． B．8 C．4 D．3C【分析】设矩形模型的长和宽分别为x，y，根据题意得出，再利用基本不等式可求出这个模型的面积的最大值．【详解】设矩形模型的长和宽分别为x，y，则，，由题意可得，所以，所以矩形菜园的面积，当且仅当时取等号，所以当矩形菜园的长和宽都为时，面积最大，为．故选：C．13．已知，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5D【分析】利用均值不等式求解即可.【详解】由题意，，故，根据均值不等式，，当且仅当，即时等号成立.故的最小值是5.故选：D14．定义在上的偶函数满足：对任意的、，有，则（

）A． B．C． D．B【分析】由条件可得在上单调递减，然后结合是偶函数可选出答案.【详解】因为对任意的、，有，所以当、，且时有，即在上单调递减，所以因为是偶函数，所以，所以.故选：B15．设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．D【分析】作出图象，不妨设，，由数形结合及二次函数图象性质可得，，即可求范围.【详解】不妨设，，如图所示，，由，故，，故.故选：D二、填空题16．已知，，那么与的大小关系是______.（用“”号连接）【分析】利用作差法比较A与B的大小即可得解.【详解】，.故答案为.17．渝北某公司一年预购买某种原料吨，计划每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元.为使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的取值为________.【分析】设一年的总运费和总存储费用之和为万元，求出关于的函数关系式，利用基本不等式可求出的最小值及其对应的的值.【详解】设一年的总运费和总存储费用之和为万元，则，其中，由基本不等式可得（万元），当且仅当时，即当时，等号成立.故答案为.18．函数是定义域为R的奇函数，且，那么_________．【分析】根据奇函数的性质得，进而结合已知求解即可.【详解】解：因为函数是定义域为R的奇函数，所以，因为，所以故19．设定义在上的奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为__________.【详解】定义在上的奇函数在上为增函数，则，且在为增函数，由于，则，函数图象关于原点对称，画出函数的模拟图象可知，不等式的解集为.故答案为.三、双空题20．函数的定义域是______；函数的值域是______

【分析】要使函数有意义，则有，解出即可得到函数的定义域，，然后结合基本不等式可得其值域.【详解】要使函数有意义，则有，即且，所以函数的定义域是当时，，当且仅当即时等号成立，当时，，当且仅当即时等号成立，所以，故，.21．已知偶函数，写出一组使得恒成立的的取值：____，____．

（答案不唯一）由函数为偶函数，求得，在由恒成立，得出，即可求解.【详解】由题意，函数为偶函数，即，即，可得，所以，又由恒成立，即，即.故答案：，（答案不唯一）四、解答题22．已知全集,集合，集合是函数的定义域．（1）求集合、(结果用区间表示)；（2）求．（1），；（2）.【分析】（1）求出集合中函数的值域，集合中函数的定义域即可；（2）根据（1）求集合的补集，进而和集合求交集.【详解】解：（1）,集合是函数的定义域为；（2）.本题考查简单函数的值域和定义域，考查集合的补集交集的运算，是基础题.23．求下列不等式的解集(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的解法可得答案；（3）由可得或，解出即可；（4）由可得，解出即可.【详解】（1）由可得，所以其解集为，（2）由可得，所以其解集为，（3）由可得或，解得或，所以解集为，（4）由可得，所以或，所以解集为.24．已知函数.（I）当时，判断的奇偶性，并证明你的结论；（II）当时，求的值域.（I）证明见解析；（II）.【分析】（I）当时,,,为偶函数，可根据定义证明（II）当时，，配方可写出值域.【详解】（I）当时,,,为偶函数,证明：由知，,,.即函数为偶函数.（II）当时，即函数的值域为.本题主要考查了函数的奇偶性，二次函数的值域，属于中档题.25．求函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集.函数的零点为，图像见解析，不等式的解集为，的解集为.令，计算得到零点，画出函数图像，根据图像得到不等式的解.【详解】令，得或或.因此函数的零点为.画出函数图像的示意图，如图所示：所以不等式的解集为或，的解集为.本题考查了函数零点，函数图像，根据图像解不等式，意在考查学生的综合应用能力.26．已知，求证：（1）是偶函数；（2）.（1）证明见解析

（2）证明见解析（1）计算函数定义域，计算得到证明.（2）直接计算化简得到证明.【详解】要使函数有意义，需，所以，定义域为，关于原点对称，设定义域为，设，则.因为，所以是偶函数.（2）因为，故.本题考查了函数奇偶性证明，函数恒等式证明，意在考查学生的推断能力.27．设函数（1）求函数的图像与直线交点的坐标：（2）当时，求函数的最小值（3）用单调性定义证明：函数在上单调递增.(1)或

(2)

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(3)证明见解析.（1）由解出方程可得答案.（2）利用均值不等式可得答案.(3)由定义法证明函数单调性的步骤即可证明.【详解】（1）由，即，解得或所以函数的图像与直线交点的坐标为或（2）当时，当且仅当,即时，取得等号