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3332332232233332323323323333233223223333232332332332232333223333333设p>0q>0且p=2，求证：+≤考查不等式的证明基不等式导在函数中的应用解答．利一元二次方有实根的判别式法方法一：设=，则有q=-p，两边立方，得=(k)=-3kp-p，pqkp+3，又因为
3
3
，所以得到kpk+
※因为，q，以>0从而关于p的程（※）有实根，故△k)(k-2)解得k即p+方法二：利用+=(+q)-3p)=2,pq
3
；k，设+=，从而=3k故、q是于x的程+
k
3k
=0的个实根，从而eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)k-4
k(k)(k)即，3k
，解得
0k
（说明：亦可以由k，得到k以pq．利简易逻辑中反证法方法三：假设pq>2，则>2-q，两边立方得
>8-12q+6
-q
，而，-12q+6<0即q-1)<0这是不可能的，故p方法四：假设pq>2，则>2-q，两边立方得>8-12q+6，即得+q>8-12qq-1)+2从而+q，与已知条件“+q”矛盾，故+．利基本不等式均值不等式
方法五：pq
34
，又+q，所以得到pq)-8+q，(+从而/
2323332233333323233322333333方法六：因为p>0，q>0，以+q
pq
，两边平方得
4
；又因为(+q+qpqp)=2+3pqp)解得+
2+3
4
方法七：因为p>0，q>0，以
3
3
3
3
3
3
，两式相加，因为p+q，得
3
3
3
．用数在函数中应用来求解方法八：设x=，则根据条件有q=2-x，而
2
，设函数
f
2
，其中x(0,
3
)，求导，
f
3
3
)2
23
；令
f
，得
x
，列表得x(0,1)
(1,
3
)f
+
-从而
()f
↑极大值（最大值），即+
↓（说明：事实上，通过上面的分析，得到
2
方法九：由于+所以=q，故pq成等差数列，设差为d则有，
3
，中∈，+=
3
；记
1g
111()3
，/
3333222222333332222223可见函数
在区间上是增函数，在区间(0,1)上是减函数，从而
，即+
方法十：根据条件有
，又
,
，设
2cos2sin即
p
23
，其中
,).2然后求导（略）.．利向量来求解方法十一：设m=(pp,q
)，n=(
,q)，则有mnn，即
3
3
，即
2
，而
p，所以22
2
，解得+q
．利函数的凸性解方法
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