导数大题练习带答案

大题练1.已知f(x)=xlnx—ax,g(x)=—x2—2,(I)对所有x?(0,+为,f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(n)当a=—1时，求函数f(x)在［m,m+3］(m>0)上的最值；(川)证明：对所有x?(0,+旳，都有Inx+1>丄—成立.eex22、已知函数f(x)alnx2(a0).(I)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处x的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f(x)的单调区间；(n)若对于x(0,)都有f(x)>2(a—1)成立，试求a的取值范围；(川)记g(x)=f(x)+x—b(b?R).当a=1时，函数g(x)在区间［e—1,e］上有两个零点，求实数b的取值范围.3、设函数f(x)=lnx+(x—a)2,a?R.(I)a=0，若求函数f(x)在［1,e］上的最小值；1(n)若函数f(x)在［-,2］上存在单调递加区间，试求实数a的取值范围；2(川)求函数f(x)的极值点.14、已知函数f(x)—ax2(2a1)x2Inx(aR).2(I)若曲线yf(x)在x1和x3处的切线互相平行，求a的值；(n)求f(x)的单调区间；(川)设g(x)x22x，若对任意为(0,2］，均存在X2(0,2］，使得f(xjg(X2)，求a的取值范围.5、已知函数fx—aInx2(a0)x(I)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f(x)的单调区间；(n)若对于任意x0,都有fx2(a1)成立，试求a的取值范围；x(川)记g(x)=f(x)+x—b(b?R).当a=1时，函数g(x)在区间e1,e上有两个零点，求实数b的取值范围.6、已知函数f(x)

1Inx若函数在区间(a,a(2)若是当x1时，不等式f(x)恒成立，求实数k的取值范围.x1.解：(I)对所有x(0,),f(x)g(x)恒成立，即xlnxaxx22恒成也就是aInx(0,)恒成立.令F(x)Inxx2(x2)(x1)则F(x)2，~2xx在(0,1)上F(x)在(1,)上F(x)0,因此，F(x)在x1处取极小值，也是最小值,即Fmin(x)F(1)3，因此a3.???4分(n当a1f(x)xlnxx时,2,1f(x)lnx由f(x)0得x2.e??6分①当0m1丄)上f0,在x1(x)(2,me3]上2时，在x[m,ef(x)011因此，f(X)在x-2处获取极小值，也是最小值.fmin(x)n?ee由于f(m)0,f(m3)(m3)[ln(m3)1]0因此，fmax(x)f(m3)(m3)[ln(m3)1]...............................8分1②当m右时，f'(x)0,因此f(x)在[m,m3]上单调递加，e因此fmin(x)f(m)m(lnm1),101.(I)x(0,),f(x)g(x)xlnxaxx22fmax(x)f(m3)(m3)[ln(m3)1]9(皿)证明：问题等价于证明xlnxx三-(x(0,)),.................................................ee10由(n)知a1时，f(x)xlnxx的最小值是丄，当且仅当ex丄时获取，11分e设G(x)二-(x(0,))，则G(x)—，易知eeeGmax(x)G(1)1，当且仅当x1时取到，.....................12分e但--—，从而可知对所有x(0,),ee都有lnx1丄—成立..................13分eex2、解：(1)直线y=x+2的斜率为1.函数f(x)的定义域为(0,+X),由于f'(x)4-旦，因此f'(1)纟a1，因此a=1.因此xx112x2f(x)—Inx2.f'(x)—.由f'(x)0解得X>0;由f'(x)0解得0xx函数f(X)获取最小值，丫皿山f(2).由于对于x(0,)都有f(x)2(a1)成立,a22(a1)即可.则—■因此f(—)2aaln222aa2(a1).由alna解得02.所以a的取值范围是(0,2).e(川)依题得g(x)lnxxx2JP.由g'(x)b，则g'(x)0解得x>xvXV2.因此f(x)的单调增区间是(2,+乂)，单调减区间是(0,2).1;由g'(x)0解得0Vxv1.因此函数g(x)在区间(0,1)为减函数,在区间(1,g(e1)0+x)为增函数.又由于函数g(x)在区间［eT,e］上有两个零点，因此g(e)0g(1)02

2解得

1b-e1.因此b的取值范围是(1,-e1］.ee........................13分3?解：(I)f(x)的定义域为(0,+^).1由于f'(x)-2x0,因此f(x)在［1,e］上是增函数,x当x=1时，f(x)获取最小值f(1)=1.12x22ax1a)x(U)解法一：f'(x)-2(xx设g(x)=2x2—2ax+1,1依题意，在区间［；,2］上存在子区间使得不等式g(x)>0成立.分由g⑵〉0,即8—4a+1>0,得a9114,3由g(—)0,即一222,9因此a9,4因此实数a的取值范围是,;).12x22ax1解法二：f'(x)-2(xa)x依题意得，在区间［1,2］上存在子区间使不等式2x12—2ax+1>0成立.1又由于x>0,因此2a(2x丄).........................5分x11设g(x)2x一，因此2a小于函数g(x)在区间［-,2］的最大值.1x由g'(x)2—0解得xx21又由于g'(x)2—,x由2夕0解得0x彳g'(x)g(x)在区间(-il,2)上递加，在区间(-^2)上递减.因此函数2221因此函数g(x)在x-，或x=2处获取最大值.91又g(2)，g('2)3，因此2a(川)由于f'(x)2x2ax1令h(x)=2x2—2ax+1因此实数a的取值范围是(x①显然，当a<0时，在(0，+x)上h(x)>0恒成立，f'(x)>0,此时函数f(x)没有极值点；........................9分②当a>0时，当0,即0a,2时，在(0，+x)上h(x)>0恒成立，这时f'(x)>0，此时，函数f(x)没有极值点；........................分当4>0时，即a迁时，a.a22a——2时，h(x)v0，这时f'(x)v0;易知，当x-号—2时，h(x)>0，这时f'(x)>0;x因此，当a、2时，xaa22a、a22—是函数f(x)的极大值点；X2是函数f(x)的极小值点.12分综上，当「2时，函数f(x)没有极值点;i~22jp是函数f(x)―-是函数f(x)的极大值点;的极小值点.24?解：f(x)ax(2a1).2(I)f(1)f⑶，解得a-....................................3分3/

、

(ax1)(x

2)

八(H)f(x)

(x0)....................4

分x①当a0时，x0,ax10,在区间(0,2)上,f(x)0;在区间(2,)上f(x)0,故f(x)的单调递加区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)................5分11②当0a丄时，丄2，2a11在区间(0,2)和(-,)上,f(x)0；在区间(2,—)上f(x)0，aa1故f(x)的单调递加区间是(0,2)和(-，)，单调递减区间是a1(2,-)...................6分a1(X2)2③当a2时,f(x)2x故f(x)的单调递加区间是(0,).11④当a—时，0—2,2a11x在区间(0,-)和(2,)上,f(x)0;在区间(III,2)上f(x)0,a1故f(x)的单调递加区间是(0,1)和(2,)，单调递减区间是aIII(1,2)...................8分a(川)由已知，在(0,2］上有f(X)maxg(x)max..................................9分由已知，g(x)max0,由(H)可知,110①当a-时，f(x)在(0,2］上单调递加，故f(x)maxf(2)2a2(2a1)21n22a22ln2,1因此，2a22ln20，解得aIn21,故In21a-.2分②当a1时，f(x)在(0,1］上单调递加，在［丄芒］上单调递减,2aa故f(x)maxf(l)2—2Ina.a2a1111，2Ina2，2Ina2，由a可知InaInIn-因此，22Ina0，f(x)max0，综上所述，aIn21.......................12分5、(I)直线y=x+2的斜率为1,函数f(x)的定义域为0,由于f'(x)—，因此f1xx因此fx-Inx2,fxx由f'x0解得X>2;由f'x0解得0Vxv2因此f(x)得单调增区间是2,，单调减区间是0,2..................4分(n)f'(x)ax22~x2'2由fx0解得x;由fx0解得0x-a

a2

2因此

在区间

，)上单调递加，在区间

上单调递减a

a2

2因此当

x-时，函数

f(x)获取最小值

ymin

f(-)a由于对于任意2

a2x0,都有fX2(a1)成立,因此f(二)2(a1)即可a2222则一aln-22(a1)，由aln-a解得0a2aaa因此a得取值范围是(0,2)e9Inx2b，则g'(x)(川)依题意得g(x)-x由gx0解得x>1,gx0解得0vxv1因此函数g(x)在区间e1,e上有两个零点,g(e1)0因此g(e)0解得1bg(1)0因此b得取值范围是(1,-1]12分6解：e(1)由于f(x)1lnx,x0,则f(x)x1时，f(x)0;当x1时,f(x)0????f(x)在(0,1)上单调递加；在(1,)上单调递减,函数f(x)在x1处获取极大值.函数f(x)在区间(a,a1)(其中a0)上存在极值,2?a1,1a解得-a1......................；5分一21,2(2)不等式f(x)k，即为(x1)(1皿k,2x1x记令

g(x)(x1)(1Inx).[(x1)(1Inx)]x(x1)(1Inx)g(x)，9分xxh(x)xI