微分中值定理的推广与应用毕业论文

..本科毕业设计〔论文微分中值定理的推广及应用TheGeneralizationofDifferentialMeanValueTheoremandItsApplication学院〔系：数理学院专业：数学与应用数学学生姓名：学号：101108072指导教师〔职称：评阅教师：完成日期：2012.04XX理工学院NanyangInstituteofTechnology微分中值定理的推广及应用数理学院[摘要]本文在阐述了微分中值定理的一般证法的基础上,给出了新的证明方法,讨论了三大微分中值定理之间的递进关系等,并对中值定理进行了一定地推广,同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等几个方面的应用.[关键词]微分中值定理；新证法；推广；费马定理TheGeneralizationofDifferentialMeanValueTheoremandItsApplicationMathematicalInstituteAbstract:Inthispaper,thedifferentialmeanvaluetheoremofthegenerallicensebasedonthemethod,givesanewproofmethod,discussesthethreedifferentialmeanvaluetheoremsoftransitiverelationsamong,andthemeanvaluetheoremforapromotion,andspecificanalysisofthedifferentialmeanvaluetheoremintheproofofidentity,inequalityanddiscusstheequationexistenceofrootandsoonseveralaspectsoftheapplication.Keywords:Differentialmeanvaluetheorem;Newmethod;Promotion;Fermat'stheorem目录0绪论……………………11微分中值定理及相关的概念………………12微分中值定理普遍的证明方法………22.1费马定理…………22.2罗尔中值定理……………………22.3拉格朗日中值定理………………32.4柯西中值定理……………………43中值定理的推广………………………43.1关于三个中值定理新的证明方法………………43.2微分中值定理的推广………………63.3微分中值定理的弱逆定理………104微分中值定理的应用…………………114.1利用微分中值定理证明等式……………………114.2利用微分中值定理证明不等式…………………144.3讨论方程根的存在性…………15结束语……………………18参考文献…………………18致谢………………………180绪论微分中值定理是包括Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理等一系列基本定理的总称.它的出现是一个过程,聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断发展,理论知识也不断完善,成为了人们引进微分学以后,数学研究中的重要工具之一,而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着很重要的作用.因此,微分中值定理构成了整个微分学基础而重要的内容.1微分中值定理及相关概念所谓微分中值定理,其实是指一个<或多个>函数导数与其增量之间的等式关系.通俗的讲,微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念.定义1<最小值或最大值>设在上有定义QUOTE,若存在使任意,<QUOTE>,则QUOTE称为的最小值<最大值>.为最小值点<最大值点>.定义2<极小值或极大值>设QUOTE在任意QUOTE上有定义,若存在任意,都有QUOTE<>,则称为QUOTE的一个极小值<极大值>,称为极小值点<极大值点>.定义3<极限的局部保号性>若QUOTE,则存在任意使得QUOTE.定义4<函数单调性>函数在定义域内,当时,有则称单调递增<严格单调递增>.当时,有,则称单调递减<严格单调递减>.定义5<凸性>若函数曲线位于其每一点处切线的上方<下方>,则称函数曲线时下凸<上凸>的,或称函数向下凸<上凸>.定义6<凹性>若的一阶导数在上单调递增<或递减>,则称在是向上凹<下凹>的,或称函数曲线向上凹<下凹>.2微分中值定理普遍的证明方法2.1费马定理定理1设QUOTE在区间有定义.若QUOTE是函数QUOTE的极值点,且QUOTE在QUOTE处可导,则QUOTE.费马定理的几何意义:若将函数QUOTE的曲线置于平面直角坐标系,则费马定理具有几何意义:对曲线QUOTE上,若有一点存在切线,且QUOTE为QUOTE极值点.则这一点处的切线平行于轴.证明QUOTE为QUOTE的极值点.设QUOTE为极小值点,则存在任意QUOTE,有QUOTE,若QUOTE,则QUOTE;若QUOTE,则QUOTE;取极限QUOTE与分别为、,由于QUOTE在QUOTE处可导,则==QUOTE由极限的局部保号性有,QUOTE.故==.所以有,即.QUOTE2.2罗尔中值定理定理2设QUOTE满足:<1>在闭区间上连续;<2>在开区间QUOTE内可导;<3>,则至少存在一点QUOTE使得.罗尔定理的几何意义:若QUOTE满足罗尔定理的条件,则在曲线上至少存在一点QUOTE,使得点处的切线平行于轴<如图>,其中,.证明由于在闭区间上连续,从而存在最大值,最小值.若则对任意有QUOTE,即QUOTE为常函数,所以.若,由于QUOTE.与不同时为区间的端点,不妨设QUOTE,所以必为QUOTE的极大值.设,则有,QUOTE且在内可导,根据费马定理可知.证毕.2.3拉格朗日中值定理定理3若函数QUOTE满足:<1>在闭区间上连续;<2>在开区间内可导;则至少存在一点QUOTE使得QUOTE.证法利用罗尔中值定理,构造辅助函数.QUOTE.证明作辅助函数,QUOTE显然,QUOTE在上连续,在内可导,且QUOTE,由罗尔定理可知,存在一点QUOTE使得QUOTE即.QUOTE推论设QUOTE、都在区间上可导,且,则2.4柯西中值定理定理4设函数QUOTE、QUOTE满足:<1>在闭区间上连续;<2>在开区间内可导,且,则至少存在一点QUOTE使得QUOTE.证明由定理条件可知QUOTE,则任意QUOTE都有QUOTE,因此,只需证,为此,构造函数QUOTE,,QUOTE显然,在上连续,在QUOTE内可导,且QUOTE,根据罗尔定理,存在,QUOTE使得,QUOTE即,QUOTE所以.3中值定理的推广微分中值定理在数学分析中甚至是整个数学领域都占有非常重要的地位,其证明方法也有多种.3.1关于三个中值定理新的证明方法3.1.1罗尔定理的新证法引理1非单调函数在QUOTE上连续,在内可导,则存在一点,使得QUOTE.证明因为在QUOTE上连续,且非单调,故存在为函数的极值点.又在内可导,故在点可导,由费马定理可知.罗尔定理的新证法证明因为,且.〔1若QUOTE为常数,则必有QUOTE,所以,存在,使得QUOTE;〔2若QUOTE不是常数,则QUOTE非单调,又有在QUOTE上连续在内可导,根据引理1,存在,使得QUOTE.证毕.3.1.2拉格朗日中值定理的新证法证明〔利用分析法证明拉格朗日中值定理要证存在使得成立,即证,存在使得<1>成立.亦即<2>记,则由满足罗尔定理的条件知,存在使得<2>成立,进而<1>成立.从而拉格朗日中值定理成立.3.1.3柯西中值定理的新证法证明首先构造辅助函数,由于,故可知恒大于零或者恒小于零.否则,由费马定理可知,必存在使得.我们不妨设恒大于零.于是,对于任意,其中,.又由复合函数连续性定理即含参变量函数定理可证得在闭区间上连续;在开区间内可导,且故即是要证明,因此可构造辅助函数:,可以验证满足罗尔定理的条件,故至少存在一个,使得成立.再由知,至少存在使得成立,柯西中值定理得证.3.2微分中值定理的推广微分中值定理是微分学的核心内容,而随着其不断地发展和完善,衍生了许多微分中值定理的推广.以下是几种微分中值定理的推广形式.3.2.1罗尔定理的推广定理5设在QUOTE内可导,且QUOTE,其中QUOTE,则存在QUOTE使得QUOTE.证明由于在QUOTE内可导,则必有在QUOTE上连续,又有.<1>当时,对在两点进行连续延拓,使得,则有在上连续,在内可导且有,所以,满足罗尔定理的条件,存在QUOTE使得QUOTE.<2>当时,由于,故存在,使得,所以在上连续,在内可导,满足罗尔定理,即存在QUOTE使得QUOTE.综上所述,存在QUOTE使得QUOTE.3.2.2拉格朗日中值定理的推广定理6<推广一>设QUOTE在上连续,在QUOTE内可导,则存在使得QUOTE.证明作辅助函数,很明显在QUOTE连续,在QUOTE内可导,且,则根据罗尔定理有,存在使得,命题得证.定理7<推广二>若QUOTE在有限开区间QUOTE内可导,且与存在,则至少存在一点QUOTE使得QUOTE.证明〔1当时,由定理5可知,结论成立.〔2当时,作辅助函数,由在内可导知,在内也可导,又因为;,根据定理5可知,至少存在一点使得.进而有,即.综上所述,存在一点使得.3.2.3柯西定理的推广定理8<推广一>在QUOTE连续,在QUOTE内可导,任意QUOTE,有QUOTE.则存在使得QUOTE.证明作一个辅助函数,则在QUOTE连续,在QUOTE内可导,且,所以在上满足罗尔定理,即存在使得.因为,所以,,即得.定理9<推广二>若QUOTE在有限或无穷区间QUOTE中的任意一点有有限导数和,任意QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE都存在,则至少存在一点QUOTE使得QUOTE.证明首先证明.假设即,根据定理5可知,至少存在一点使得.与已知条件相互矛盾.其次,作辅助函数由已知得在可导且,,所以,.根据定理5可知,至少存在一点使得即.3.2.4微分中值定理的推广定理10设函数QUOTE在QUOTE上连续,在QUOTE内可导,且,则在QUOTE内至少存在一点,使得QUOTE.证明根据题意,设显然在QUOTE上连续,在QUOTE内可导,并且即,所以由罗尔中值定理可知在至少存在一点使得证毕.当上述式子中时,可得到柯西中值定理;当上述式子中时,可得到拉格朗日中值定理.3.3微分中值定理的弱逆定理在一定的附加条件下微分中值定理的弱逆定理成立.定理11<拉格朗日中值定理的弱逆定理>设在上连续,在内可导,若在严格单调,则对任意的,存在使得成立.证明因为在上严格单调,不妨设其严格单调递增,由定义6可知,函数在上是向下凸的,再由定义5,任意的,有,所以,切线在曲线下方,所以存在的邻域使得直线的平行线与有两个交点,假设交点为.即有,得到,结论得证.定理12〔柯西中值定理的弱逆定理设在上连续,在内可导,且严格单调,,则对于任意的存在,使得成立.证明对任意的,作辅助函数,显然,在上连续,在内可微,并且由严格单调,可知也严格单调.由定理11知,对任意的,存在使得成立.而,所以有,,整理得.证毕.4微分中值定理的应用微分学是整个数学分析的重要组成部分,而微分中值定理是微分学的核心内容,其建立了函数值与导数之间的关系,是用于证明等式,证明不等式,讨论方程根的存在性等问题的重要工具.4.1利用微分中值定理证明等式例1设函数QUOTE在QUOTE上连续,在内可导.证明存在使得,.证明利用柯西中值定理令QUOTE,,显然,在QUOTE上连续,在QUOTE内可导,且QUOTE,所以,存在QUOTE使得,QUOTE所以.QUOTE证毕.例2设函数QUOTE在上连续,在内可导,且.证明对任意常数,存在QUOTE,有.证明利用罗尔定理,构造函数,QUOTE由于在QUOTE上连续,在QUOTE内可导,且,所以,,且QUOTE在QUOTE上连续,在QUOTE内可导,所以,存在QUOTE使得,即QUOTE.例3设满足:<1>在QUOTE上连续;<2>在QUOTE内可导,证明存在,使得.证明证法同例2,令即可证得.小结如例3,例7中用罗尔定理证明,需要构造出原函数,此类函数有固定的原型,利用微分中值定理容易得到想要证明的结论.例4设,,在上连续,在内可导,QUOTE.则有QUOTE使得.证明由于QUOTE,且在上连续在内可导,所以,必存在QUOTE使得,根据罗尔定理,存在使得QUOTE.例5证明恒等式:.证明令,QUOTE则,QUOTE所以,在为常函数.又有QUOTE,所以,即QUOTE成立.例6设且在上连续,在内可导.则存在QUOTE使得.证明变换待证等式为QUOTE其中QUOTE,显然,利用罗尔定理即可得QUOTE.例7设QUOTE,在内可导,则存在,使得QUOTE.证明变换待证等式为QUOTE,其中QUOTE.由于QUOTE,所以QUOTE,其中,于是,在上满足罗尔定理,从而有结论QUOTE.若待证等式QUOTE明显可表示为QUOTE的形式,则很可能就是,因而,可以利用柯西定理证明.例8设,在连续可导,则存在使得QUOTE.证明令则,且,在上连续在内可导,根据柯西定理,存在使得,QUOTE即.4.2利用微分中值定理证明不等式利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式时,常将待证不等式变形为QUOTE的形式,且QUOTE满足拉格朗日或柯西定理的条件,再证明对一切的有QUOTE,最后利用中值定理证明.例9证明对任何正数、有QUOTE.证明令,QUOTE.则在上连续,在内可导,根据拉格朗日中值定理,存在QUOTE使得,QUOTE由于QUOTE,所以,即有.QUOTE例10设为非线性函数,且在上连续,在内可导,则存在使得QUOTE.证明变换待证不等式为QUOTE,QUOTE其中QUOTE,若结论不成立,则QUOTE,因而单调递减.但是,QUOTE故,必有,从而与已知矛盾,所以结论成立.即QUOTE成立.例11设函数在上连续,在内可导QUOTE,则存在,使得.证明若不存在,则,从而单调递增,又由于QUOTE满足罗尔定理,则存在使得,又有,所以,非单调递增.上下矛盾.因而,存在QUOTE使得QUOTE.例12设,对任意.证明QUOTE.证明当时,结论显然成立.当时,取或,在该区间上,设,,根据柯西定理,有QUOTE,或,即;QUOTE当时,QUOTE,,即;又有QUOTE,所以QUOTE.当时,,,,QUOTEQUOTEQUOTE所以,QUOTE.由此,不等式得证.4.3讨论方程根的存在性注意到在中值定理中有,令,这样就可以利用中值定理讨论方程的根的存在性.例13设为任意个实数,证明函数QUOTE在必有零点.证明作辅助函数QUOTE,则,容易验证QUOTE在QUOTE上连续,在可导,且QUOTE,所以存在QUOTE使得,即.所以,QUOTE在必存在零点.例14设函数QUOTE在区间上可导,则QUOTE的两个零点间一定存在的零点.证明<采用罗尔定理>任取QUOTE的两个零点.不妨设.作辅助函数QUOTE,则在上连续,在内可导,且QUOTE,由罗尔定理,存在,QUOTE使得QUOTE,即,QUOTE而,故有QUOTE,即的两个零点间一定存在QUOTE的零点.例15证明:若,QUOTE则多项式在内至少有一个实根.证明令则,QUOTE又有在连续可导,且,满足罗尔定理的条件,故存在使得即,结论得证.例16若函数在上非负,且三阶可导,方程在内有两个不同的实根.证明存在使得.证明因为方程在QUOTE内有两个不同的实根,设其分别为所以QUOTE,又由于非负,根据极值定义可以知道QUOTE为QUOTE的两个极值点,所以有QUOTE又因为QUOTE满足罗尔定理,所以存在使得,又QUOTE三阶可导,所以QUOTE满足罗尔定理,即存在QUOTE,QUOTE使得,同样满足罗尔定理,则存在QUOTE使得.证毕.例17设,则方程QUOTE在内有解.证明将待证问题转化为中值问题:存在使得,即QUOTE,根据柯