2020高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1 不等式 1.不等式的基本性质学案 4-5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE11-学必求其心得，业必贵于专精一不等式1．不等式的基本性质学习目标：1.理解实数大小与实数运算性质间的关系。2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式．(重点、难点）教材整理1两实数的大小比较阅读教材P2～P3“探究"以上部分,完成下列问题．a〉b⇔a－b〉0；a＝b⇔a－b＝0；a〈b⇔a－b<0.已知数轴上两点A，B对应的实数分别为x，y,若x＜y＜0，则｜x｜与|y|对应的点P，Q的位置关系是（)A．P在Q的左边 B．P在Q的右边C．P，Q两点重合 D．不能确定B[∵x＜y＜0，∴｜x｜＞｜y|＞0.故P在Q的右边．]教材整理2不等式的基本性质阅读教材P3~P5第一行，完成下列问题．性质1对称性a>b⇔b<a性质2传递性如果a>b,b>c，那么a>c性质3可加性如果a〉b，那么a＋c〉b＋c推论如果a〉b，c>d,那么a＋c>b＋d性质4可乘性如果a>b，c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0，那么ac<bc推论如果a〉b>0,c>d〉0，那么ac>bd性质5乘方性质如果a>b〉0，那么an〉bn(n∈N,n≥2)性质6开方性质如果a〉b>0,那么eq\r（n,a)>eq\r（n,b）（n∈N，n≥2）已知a,b,c∈R，且ab＞0,则下面推理中正确的是(）A．a＞b⇒am2＞bm2 B.eq\f(a,c）＞eq\f（b，c)⇒a＞bC．a3＞b3⇒eq\f（1，a）＜eq\f(1，b） D．a2＞b2⇒a＞bC[对于A，若m＝0，则不成立;对于B，若c＜0，则不成立；对于C,a3－b3＞0⇒(a－b）(a2＋ab＋b2）＞0，∵a2＋ab＋b2＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（a＋\f(b，2))）eq\s\up12（2)＋eq\f(3,4）b2＞0恒成立，∴a－b＞0,∴a＞b。又∵ab＞0，∴eq\f(1，a)＜eq\f(1,b)。∴C成立；对于D,a2＞b2⇒（a－b)(a＋b）＞0，不能说a＞b。]比较大小【例1】设A＝x3＋3，B＝3x2＋x，且x〉3，试比较A与B的大小．[精彩点拨］转化为考察“两者之差与0”的大小关系．[自主解答］A－B＝x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3)＝（x－3)（x＋1)(x－1)．∵x>3，∴(x－3）(x＋1)（x－1)〉0，∴x3＋3〉3x2＋x.故A>B。1．本题的思维过程：直接判断(无法做到)eq\o（→，\s\up12(转化））考查差的符号（难以确定)eq\o（→，\s\up12（转化)）考查积的符号eq\o（→,\s\up12(转化））考查积中各因式的符号．其中变形是关键，定号是目的．2．在变形中，一般是变形变得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．1．若例1中改为“A＝eq\r（\f（y2＋1,x2＋1）)，B＝eq\f（y，x），其中x＞y＞0”，试比较A与B的大小．[解］因为A2－B2＝eq\f(y2＋1，x2＋1）－eq\f(y2,x2）＝eq\f（x2y2＋1－y2x2＋1,x2x2＋1）＝eq\f（x2－y2，x2x2＋1)＝eq\f（x－yx＋y，x2x2＋1），且x＞y＞0，所以x－y＞0，x＋y＞0，x2＞0,x2＋1＞1，所以eq\f(x－yx＋y，x2x2＋1）＞0.所以A2＞B2，又A＞0,B＞0，故有A＞B。利用不等式的性质求范围【例2】已知－eq\f（π，2)≤α＜β≤eq\f（π，2），求eq\f（α＋β,2），eq\f（α－β,2）的范围．[精彩点拨］由－eq\f(π,2）≤α＜β≤eq\f（π,2)可确定eq\f(α,2)，eq\f（β，2)的范围,进而确定eq\f（α＋β，2）,eq\f(α－β，2）的范围．[自主解答］∵－eq\f（π，2)≤α＜β≤eq\f(π，2)，∴－eq\f（π,4）≤eq\f（α,2）＜eq\f(π，4），－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2）≤eq\f（π，4），∴－eq\f(π，2)＜eq\f（α＋β,2）＜eq\f（π,2）.又－eq\f（π，4)＜eq\f（β，2)≤eq\f（π，4）,∴－eq\f(π，4)≤－eq\f(β，2)＜eq\f（π,4)，∴－eq\f（π，2)≤eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2).又∵α＜β,∴eq\f(α－β，2)＜0，∴－eq\f(π,2）≤eq\f(α－β,2）＜0，即eq\f（α＋β,2）∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2））),eq\f（α－β，2)∈eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π,2），0）).1．本例中由eq\f(α，2），eq\f（β,2)的范围求其差eq\f（α－β,2)的范围,一定不能直接作差，而应转化为同向不等式后作和求解．2．求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．2．已知－6〈a<8，2〈b<3，分别求a－b，eq\f（a，b)的取值范围．[解]∵－6〈a〈8,2<b〈3.∴－3〈－b〈－2,∴－9<a－b〈6，则a－b的取值范围是(－9,6)．又eq\f(1，3）〈eq\f(1，b）<eq\f（1，2）,(1)当0≤a〈8时,0≤eq\f（a,b）<4；(2)当－6<a〈0时,－3<eq\f（a,b)〈0。由（1)（2)得－3〈eq\f（a,b）〈4。因此eq\f（a，b)的取值范围是（－3，4)．利用性质证明简单不等式【例3】已知c>a〉b>0,求证：eq\f（a，c－a）〉eq\f(b,c－b).[精彩点拨］eq\x(构造分母关系）→eq\x(构造分子关系）→eq\x（证明不等式）[自主解答]∵a〉b，∴－a<－b.又c〉a〉b〉0，∴0〈c－a〈c－b，∴eq\f(1,c－a）〉eq\f(1,c－b）>0。又∵a〉b>0,∴eq\f(a，c－a）>eq\f(b,c－b）。1．在证明本例时，连续用到不等式的三个性质，一是不等式的乘法性质：a〉b，则－a<－b；二是不等式的加法性质:c〉a〉b〉0，又－a〈－b,则0〈c－a<c－b；三是倒数性质．最后再次用到不等式的乘法性质．2．进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，并仔细分析要证明不等式的结构，灵活运用性质，对不等式进行变换．3．已知a＞b＞0，c＞d＞0，求证:eq\f(ac，a＋c）＞eq\f（bd,b＋d）。[证明]∵a＞b＞0,c＞d＞0,∴eq\f（1，b)＞eq\f（1,a)＞0， ①eq\f（1，d)＞eq\f（1，c)＞0， ②①＋②得eq\f(1,b)＋eq\f(1,d)＞eq\f（1，a)＋eq\f（1,c)＞0，即eq\f(b＋d，bd)＞eq\f（a＋c,ac)＞0，∴eq\f（ac，a＋c)＞eq\f（bd,b＋d).不等式的基本性质[探究问题]1．甲同学认为a〉b⇔eq\f(1,a）〈eq\f（1,b），乙同学认为a>b>0⇔eq\f（1，a）〈eq\f(1,b）,丙同学认为a〉b，ab〉0⇔eq\f（1,a)<eq\f(1，b)，请你思考一下,他们谁说的正确？[提示]他们说的都不正确．2．不等式两边同乘以(或除以）同一个数时，要注意什么?［提示］要先判断这个数是否为零，决定是否可以乘以(或除以）这个数，再判断是正还是负，决定不等号的方向是否改变，特别注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号方向改变．【例4】判断下列命题是否正确,并说明理由．(1)若a>b，则ac2〉bc2；（2)若eq\f（a，c2)>eq\f(b,c2)，则a>b;（3)若a>b,ab≠0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b);（4)若a>b，c>d，则ac>bd.[精彩点拨]主要是根据不等式的性质判定，其实质就是看是否满足性质所需要的条件．［自主解答］（1）错误．当c＝0时不成立．(2）正确．∵c2≠0且c2>0，在eq\f（a,c2)>eq\f(b，c2）两边同乘以c2，∴a〉b。（3）错误．a>b⇒eq\f（1，a)<eq\f(1,b)成立的条件是ab>0.（4)错误．a>b,c>d⇒ac>bd，当a，b，c，d为正数时成立．1．在利用不等式的性质判断命题真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选取使用不等式的性质．有时往往举反例，否定命题的结论．但要注意取值一定要遵循两个原则:一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．2．运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭空想象随意捏造性质．4．判断下列命题的真假．（1)若a<b<0，则eq\f(1，a)〉eq\f(1，b）；(2)若｜a|〉b，则a2>b2；(3)若a>b〉c，则a｜c｜>b|c｜。［解］（1）∵a〈b<0，∴ab〉0,∴eq\f(1，ab）〉0，∴a·eq\f(1，ab)<b·eq\f（1，ab)，∴eq\f(1,b)＜eq\f(1，a），∴（1)是真命题．（2)∵|a｜>b,取a＝1，b＝－3,但a2〈b2，∴（2）是假命题．(3）取a〉b,c＝0，有a｜c|＝b｜c|＝0，∴（3)是假命题．1．设a∈R,则下面式子正确的是(）A．3a>2a B．a2C．eq\f(1，a）〈a D．3－2a>1－2a[答案］D2．已知m，n∈R，则eq\f（1，m）＞eq\f(1,n)成立的一个充要条件是()A．m＞0＞n B．n＞m＞0C．m＜n＜0 D．mn(m－n)＜0D［∵eq\f（1，m）＞eq\f（1，n）⇔eq\f（1，m)－eq\f(1,n）＞0⇔eq\f（n－m,mn）＞0⇔mn(n－m)＞0⇔mn(m－n)＜0。］3．已知a,b,c均为实数，下面四个命题中正确命题的个数是()①a＜b＜0⇒a2＜b2； ②eq\f(a，b）＜c⇒a＜bc；③ac2＞bc2⇒a＞b； ④a＜b＜0⇒eq\f(b，a)＜1。A．0 B．1C．2 D．3C[①不正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴(－a)2＞（－b）2，即a2＞b2.②不正确．∵eq\f(a,b）＜c，若b＜0，则a＞bc.③正确．∵ac2＞bc2,∴c≠0,∴a＞b.④正确．∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0,∴1＞eq\f(b,a)＞0.］4．若1<a<3,－4<b<2，那么a－|b|的取值范围是________．[解析]∵－4<b〈2,∴0≤|b｜〈4，∴－4〈－｜b｜≤0。又1<a〈3，∴－3<a－｜b|<3.[答案]（－3，3