华中师范大学数学分析期末考试试题2

(完整)华中师范大学数学分析期末考试试题2(完整)华中师范大学数学分析期末考试试题2PAGEPAGE3数学分析期末考试试题一、叙述题:（每小题6分，共18分）1、牛顿—莱不尼兹公式2、ann1

收敛的cauchy收敛原理3、全微分计算题（每小题8分，共32分）x2sint2dt1、lim0x0 x42yx2xy2围成的图形的面积和该图形绕x轴旋转而成的几何体的体积。3、求n1

xnn(ny

的收敛半径和收敛域，并求和2u4、已知uxz

，求xy（1030）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数 nnn12、讨论反常积分xp1exdx的敛散性x2x21n23、讨论函数列Sn

x(,)的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1x

xn1

11(n,2 )，证明x 发散n x nn xy

nn1x2y202、证明函数f(xx2y20

x2y20x2y20

在（0，0)点连续且可偏导,但它在该点不可微.,参考答案一、1f(x)F(xf(x)在[ab上的一个原函数，则成立ba

f(x)dxF(b)F(a)2、0,使得mnN，成立a a a n1 n2 m3DR2b]zf(x,y),(x,yD是定义在D上的二元函数，P0x2y2定点，若存在只与点有关而与xyA和B，使得zAxx2y2

(x,y0

D中的一)则称函数fP0

(x,y0

AxByP0

(x,y0

)处的全微分二、1、分子和分母同时求导x2sint2dtlim0

lim2xsinx41（8x0 x6

x0

6x5 32、、两曲线的交点为00（1，1（2分）x所求的面积为：1( x2)dx1（3分）x1 1 所求的体积为:(xx5)dx （3分）0 103、解：设f(x)

xn ，

1(n2)

1,收敛半径为1，收敛域[-1，12分

n1

n(n

n 1n(nf'(x)

n1

xn1 11(nx x

x),(0xf(x)f'(t)dt1x 10x 1

x0x(3x=0级数为0，x=1，级数为1，x=-1,级数为1—2ln2(3分）4、解：

u z=xz

lnx（3

2

xylnxx

1（5分）zzy z xy zxzz三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe判别法等（应写出具体的内容4分）(n(nn1 1lim )ne1（4D’Alembert（1）n nn

n

n12、解：xp1exdx1xp1exdxxp1exdx（2分）,对1xp1exdx，由于xpxp1ex(x)故0 0 1 0>0时1xp1exdx（4分xp1exdxx2xp1ex(x4分)故对一切的pxp1exdx0 1 1收敛,综上所述p>0,积分收敛3、解：Sn

(x)

收敛于x（4分）lim sup Sx21n2nx(x21n2

(xx0所以函数列一致收敛性）四、证明题（每小题10分,共20分）x x x x 12 n2 1 11、证明:3 4 n n x

xn2（6）x x 2 3

n1

x 23 n1 n1 2

n1 2n2

1 发散，由比较判别法知级数发散n1x2y2|xy|2、证明:x2y2|xy|

（4分）

lim xyx2y2(x2y2

=0所以函数在（0，0）3分)又lim

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