数学-课程导学第三章第五节

第五 两角和与差的正弦、余弦和正切公要点梳理·要点梳理·考纲点能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．知识一、两角和与差的三角函数公

sinαcosβ±cosαsintanα＋tanβ＝tanα－tanβ＝

cosαcosβ∓sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ.tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)tanα＋tan1－tanαtan 二、二倍角公sin2α＝2sinαcos costan

cos2α－sin2α2tanα

其公式变形为1－cos

1＋cos [辨析tanα＋tantan(α＋β)＝1－tanαtanβ可以变形tan＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角αβ都成立，正确吗？π提示αβα＋β＋kπ，k∈Z小题热sinα＝3cos 3333解析因为 2

2 23 3

＝3sintanα＝3，则cos2α的值等 sin解析cos2α

2sinαcosα＝2tan3cos2θ＝1sin4θ＋cos4θ的值3

解析sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θ

cosθ＝1－2sin2θ＝1－2(1－cos2θ)＝1－2×1－9 ＝5＝若α是锐角，

6 ＝cosα6值

tanβ

α∈(0π)，则

＝3解析∵α＝(α－β)＋β，∴tan tan（α－β）＋tan1－tan（α－β）tan

1

1＝1，又π∴α＝4π答案

考点突破·考点突破·考点角函数公式的基本应 例1已知函数

64 的值4

10

2

2

求cos(α＋β)的值【解析】(1)∵f(x)＝2sin1∴

6πf

12－

4＝

0

2

2 ＝5，∴2sinα＝13，2sinβ＋2即sinα＝5，cos 3.∴cos

sin

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsin 5

[规律方法 应用三角公式求值的注意事在应用三角函数公式求三角函数值时，要注意观察，找出已知式与待求式之间的联系，抓住已知，联系待◎变式训1(2015·哈尔滨模拟已知cos

4 4， ，

．2 2

3解法一3

2 2

＋

4所以sinθ＋

1－cos2θ＋4

，所cosθ θ

sin 2

4 32 32 5，所以sin2θ－

＝2sin

cos 5cosθ－sin55sinθ＝5>0，所以cos5

0—

2

＝5，所以 cos

答 考点二三角函数公式的逆用和变形应例2(1)cos4αsin4α＝2α0，π

22【

32

＝3⇒cos2α＝3， αcos2π－sin2αsin2π＝－ 3【答案

—15－2(2)在三角形ABC中，若tanA·tanB＝tanA＋tan＋1，则cosC的值 【解析】由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1tanA＋tan＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以tan1－tanAtan－tan(A＋B)＝1，又因为C∈(0，π)，所以2cosC＝2【答案】2

[规律方法 给角求值问题的三个变换技变角：分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆易错提醒]变式时常用的方法有常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组◎变式训2．已

＋π＋cosα

α值

6

＝5sinα3解

326sin326

＋cos

sinα＋2cos

＝

sin

cosα＝ 所

5 5

3sin5

3考点的变例 －π<α<－π，则 π

7π 【解析】

2

12

12 3 3

sin12

3 3cos2－12＋α＝sin12 【答案－232β(2)已知tan(αβ＝2tanβ

＝4，那4tan4

等

6π6【解析】

4

4

4 4

tan

）－

444

tan

4 4 4

【答案

tan [规律方法 角的变换技(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把◎变式训

[能力提升] 运算求解能力是思想能力和运算技能的结合，运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等，运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到 而调整运算的能力．典 【审题】α的范围及sinα，可cosα，进而可求出cos2α和sin2α公式、两角差的余弦公式即可求出sinπ＋α

55【解析】(1)因为 55 5所以cos ①(2分5 2 22 210 5

×5

②(4分5 5(2)由(1)sin2α＝2sinαcos4＝－5，(6分

5 5 5cos5

＝5，(8分所

6

6cos

6sin 3

＝－2

.(12分 【点评】①分析运算条件，确定合理的运算方向，解决了三角函数式的基本运算，求解时应注意三角函②对于这种形式的运算，要做到应用公式准确、计【变题(2014·兰州模拟)已知cos

＝7，2cos(α－β)＝13，且2tan2α的值求 解析(1)由cosα＝7，0<α< 3

2，得sinα