5、不等式解法1(整式、分式、根式)

等式应不等捕解式与不等式应不等捕解式与不【一线名师精讲】基础知识串讲解不等式的基本原则：1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：分式不等式3、解1等号的分函数不等取并集

的解。、分式不等式的解法标准形式：>0，或皿或<0。f(x)f(x)解法要点：解分式不等式的关键是去分母，将分式不等式转化为整式不等式求解。若分母的正负可定，可直接去分母；若分母的正负不定，则按以下原则去分母：、根式不等式的解法标准形式：tf(x)>\；g(x);Jf(x)>g(x)；基本类型不等式的解法、整式不等式的解法

以及Jf(x)<g(x)。1、一元一次不等式标准形式：ax>b或ax<b(a工0).

解法要点：解根式不等式的关键是去根号，应抓住被开方数的取值范围以及不等式乘方的条解法要点：在不等式的两端同时除以a后，若

件这两大要点进行等价变换：a<0则不等号要反向。2、一元二次不等式I'f(x)>g(x)O标准形式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a>0)。解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行：(1)整形：将不等式化为标准形式。基本题型指要g(x)>0<f(x)>0或f(x)>g2(x)I♦题型一：解不含参数的不等式g(x)<0f(x)>0求根：求方程ax2+bx+c=0的根。写解：根据方程ax2+bx+c=0根的情况写出对应不等式的解集。当两根明确时，可由“大于0，两根外；小于0，两根内”的口诀写解，当0【例1】解下列不等式或不等式组f(x+3)(1-x)<0(1)]:2x<x2+2(2)(x-3)2(x+2)(4-x)<03)x2+2x—2<x3+2x-x2时，则可由函数y=ax2+bx+c的草图写解。3、一元高次不等式(可分解因式型)标准形式：a(x-x)(x-x)A(x-x)>0或a(x-x)(x-x)A(x-x)<0>0)。12n解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行：整形：将不等式化为标准形式。求根：求出对应方程的根。穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。即“奇过偶不过”。写解：数轴上方所对应曲线的区间为a(x-x)(x-x)A(x-x)>0的解，数轴下方所12n对应曲线的区间为a(x-x)(x-x)A(x-x)<012n

(4)(x-1)T‘x2-x-2>0思路导引：按规范化程序操作，化为标准形式后求解，可以有效的防止错误。解析：将(x+3)(1-x)<0化为标准形式(x+3)(x-1)>0，易得：x<-3,或x>1。由2x<x2+2得(x-1)2+1>0，所以xeR。综上所述，原不等式组的解集为4Ix<-3，或x>1｝。解析：由已知，(x-3)2(x+2)(x-4)>0，用数轴穿根法易得原不等式的解集为：误区警示：若不化为标准形式求解，易将解集错写为#I-2<x<4｝。另外，建议将这类等式与不等式的混合式中的“等式”单独求解，以防止漏掉x=3这类解。(x(x—1)卞x2—x—2>01)(3)思路导引：解分式不等式的关键是去分母。但本题分母正负不明，若直接去分母应分类讨论，较为复杂，使用移项通分化为标准形式的方法较好。解析：将土宣2<x化为标准形式’得:(x-2)(x2+x+1)00,(x-3)(x+1)因为x2+x+1>0恒成立，所以，(x-2)(x-3)(x+1)用数轴穿根法易得原不等式的解集为：4I-1<x<2,或x>3｝。(4)思路导引：解根式不等式关键是抓住乘方的条件，对原不等式实施等价转换，去除根号。解析：原不等式等价于：或(x-1”2-x-2=0(2)由(1)得：F2-x-2>0，解得x>2；x-1>0由(2)得x=2，或x=-10所以，原不等式的解集为｛Ix>2,或x=-1｝o误区警示：请找出下面解法的错误：由<x2-x-2>0，得x-1>0，所以，原不等式的解为x>10点评：解等式与不等式的混合型不等式，最好将等式与不等式分开求解，以避免错误。♦题型二：解含参数的不等式不少同学都怕解含参数的不等式，究其原因，关键是没有把握住解题技巧0其实，解含有参数的不等式在总思路上与解普通不等式完全相同，当参数不影响式子的变形时，与解普通不等式没有差异，在参数影响式子的变形时，就需弄清参数的取值范围或者予以分类讨论，才能顺利的解出不等式0【例2】解下列关于x的不等式：ax+2>0tx2+2>(2+1)x\：31ogx-2<2logx-1(a>0,a工1)aa思路导引：本题在求解x时必须去除系数a，由于a的范围不明，无法直接变形，若将a按变形的要求分为正、负、零三类，则在每一小类中式子就能顺利变形了0解析：由已知，ax>-202、当a>0时，x>-；a2、当a<0时，x<-；a、当a=0时，0>—2恒成立，xeR0TOC\o"1-5"\h\zf2'故，原不等式解集当a>0时为fxIx>-2［，、a_当a<0时为fxIx<-一>，当a=0时为R。、a“(2)思路导引：解含参数的二次不等式通常是在以下三个地方实施分类讨论：一是平方项系数有参数时需分正、负、零讨论，二是判别式△有参数时的需分正、负、零讨论，三是两根有参数时需根据他们的大小关系分类讨论。本题中的不等式即(x-1)(tx-2)>0，在求解过程中参数会在两个地方影响式子变形：一是平方项系数t的正、负、零，二是对应的二次方程的根21与-是否存在、谁大谁小。此时，同一字母t形t成了不同的分类，可将t在0、2处分段统筹安排进行分类(如图)0解析：原不等式即(x-1)(tx-2)>0o当t<0时，可以化为(x-1)(-tx+2)<0，22易知一<1，所以一<x<10tt当t=0时，原不等式即-2x+2>0，所以x<102当0<t<2时，易知一>1，可得x<1，t或x>—0t当t=2时，原不等式即2(x-1)2>0，所以xeR，且x工1022当t>2时，易知一<1，可得x<2，tt或x>10综上所述，原不等式的解集当t<0时，为<xI—<x<1>；当t=0时，为lxIx<；当t

TOC\o"1-5"\h\z|20<t<2时，为<xIx<1,或x>—>；当t=2时，、t‘为｛xIxeR,且x丰1｝；当t>2时，为<xIx<2，或x>1>。、t.误区警示：本题易漏掉t=0和t=2两种特殊情况的讨论。另外，在t<0时，解集易错为Jxlx<2（3）思路导引：本题关键是抓住根式不等式的解题特点,对不等式进行乘方处理,去除根号。若令logax=t进行换元，会使书写变得更简便。C4-解析：按根式不等式的解题思路,易知原不等式等价于3logx-2>OAAAAAAAA⑴式等价于a<3logx-2<(2logx-1)2AAA(2)aa2logx-1>0AAAAAAAA(3)a2由⑴得l°gax>",要抓住以下两个要点：一是按其正向题型“解不等式”变化，试解原不等式；二是利用已知的解集（或解集的部分信息）去逆向推测它们与参数的关系。两个要点结合，就会比较容易找到所求参数的方程或不等式，从而求出它们的值（或范围）。【例3】已知不等式ax2+bx+2>0（1）若不等式的解集为（-~，3），求a+b；（2）若不等式的解集为R,求a、b应满足的条件。（1）思路导引：从解集的形式可知：原不等式必为二次不等式；再从解不等式的角度来看，原不等式的解集可由方程ax2+bx+2=0的二根来得出，但二根不方便写出，自然会想到用韦达定理列式解题。解析：由题意，方程ax2+bx+2=0的二根为-丄和丄，23aa<0b2一4ax2>03由(2)得logx<,或logx>1,a4a由由(3)得logax>丄.a2所以，1b+=一―3a23由此得—<logx<,或logx>1,3a4a当a>1时，易求得原不等式的解集为23、｛xIa3<x<a4，或x>a｝；当0<a<1时，易求得原不等式的解集为｛xIa4<x<a3，或0<x<a｝。误区警示：在乘方去除根号的过程中，要注意不等式乘方的条件以及根号内式子的取值范围，保证不等式的变形为等价变形。点评：从本例的解答过程可以看出，解含参数的不等式关键是抓住以下两个要点来处理不等式中的参数：一是由“参数是否影响不等式变形”来确定该不该对参数进行分类讨论，二是由“参数是怎样影响不等式变形”来确定怎样对参数进行分类讨论。♦题型三：已知不等式的解集求参数值（或范围）已知不等式的解集求参数值（或范围）是一类很常见也很重要的题型。由于该题型解法较为灵活，我们在解题时若不能把握住它的解题规律，往往会觉得变化莫测而无可适从。解答本题型关键是112x—=—23a易解得a=-12，b=-2，所以，a+b=-14。误区警示：不能遗漏条件b2-4ax2>0和a<0。（2）思路导引：原不等式ax2+bx+2>0的系数a、b范围未定，可能形成二次型、一次型、常数型三类不等式。因为原不等式的解集为R,故原不等式只能为二次型、常数型不等式。解析：1）当a=b=0时，原不等式为2>0，其解集显然为R，符合题意。2）当a工0时，因为原不等式解集为R，所以，a>0<b2-4ax2<0化简得a>0,且b2<8a。综上所述，a、b应满足的条件为：a=b=0；或a>0且b2<8a。点评：已知二次不等式的解集求参数值可分为两种类型：若解集为“两根内外”型，一般用韦达定理求解；若解集为R或©,则通常用数形结合11解题。易解得(5)的解为1<x<1-a例4】若不等式组x2-解题。易解得(5)的解为1<x<1-a例4】若不等式组2x2+(5+2k)x+5k<0的整数解只有一2,求实数k的取值范围。思路导引：本题的解题思路与已知不等式的解集求参数值相似,只是要注意不等式组的解集应是各个不等式解集的交集。x2-x-2>OAAAAAAAA(1)2x2+(5+2k)x+5k<OAAAA(2)由(1)解得x>2,或x<-1。由(2)得(2x+5)(x+k)<0。因为一2是不等式组的解，故[2x(-2)+5](-2+k)<0，得k<2,所以一k>-—,(2)的解为一—<x<-k。22由此可知，原不等式组的解为(I)x<-15z-—<x<-15z-—<x<-kI2或〔5,-—<x<-kI2因为k<2，所以-k>-2，故(I)的整数解为一2。而原不等式组的整数解只有一2,所以(II)应该没有整数解，所以-k<3,即k>-3。综上所述，-3<k<2。【阅卷老师评题】【例5】(1996年全国高考)解不等式loga(1-丄)>1.ax命题目的：本题综合考查了对数不等式、分式不等式、二次不等式的解法，以及分类讨论的思想和运算能力。考情分析：该题本身的能力要求并不高，但在解答的过程中却多次涉及易错点，故当年考生的得分率较低，区分度达。思路导引：因为对数函数的单调性与a有关，故应对a分类讨论去除对数符号，将原不等式化为分式不等式，然后再化为整式不等式求解。解析：(I)当a>1时，原不等式等价于：因a>1，故只需解(2)式，由此得因为1-a<0,所以x<0,由(3)可得(II)当0<a<1时，原不等式等价于：由(4)得，x>1或x<0,由(5)得，丄>1-a>0，故x>0,x所以1<x<1-a综上所述：当a>1时，不等式的解集为{xI—<x<0};当0<a<1时，不等式的解集为1-a{x11<x<}.1-a点评：解不等式要注意不等式变形的等价性，对常见的易错点应熟记于心，这样才能有效地避免错误。此外，在解题时注意充分使用已知条件，常常会得到简便解法。如解不等式(2)(5)时利用a的范围判断出x的正负后，就能很方便的去分母了。本题也可由1一丄>0得出x<0,或％>1后，分xx<0和x>1两类解答。【例6】(2004年上海高考)记函数f(x)=\2-4x+1的定义域为A,g(x)=lg[(x—a—1)(2a—x)](a<1)的定义域为B。求A；若B匸A,求实数a的取值范围.命题目的：本小题主要考查集合的有关概念，考查二次不等式、分式不等式、对数不等式的解法，以及分析问题和推理计算能力。考情分析：此题型在各地高考中经常出现。本题难度较小，得分率较高，但有的考生在求a的范围时没充分使用a>1的条件，引起解题过程复杂或出错。解析：(1)由2—%+3>0,得-_1>0,解得x+1x+1x<—1或x>l,艮卩A=(—g,—1)U[1,+g)(2)由(x一a一1)(2a一x)>0,得(x一a一1)(x一2a)<0.因为a<1,所以a+1>2a，故B=(2a,a+1)。由B匸A知：2a>l或a+l<—1,解得a>=或aW-2。2因为a<1,所以丄<a<1或a<—2,2故当B匸A时，实数a的取值范围是(一g,—2]U[|,1).22【好题优化训练】基础巩固1、*x2-5x+6>x-1的解集为()(A)(-g,l)(B)(2,+g)(C)[1，5)(D)Y,寸)答案：D解析:取x=0可排除B、C；取x=1可排除A。故选D。明显会影响不等式的解集，故需分类讨论：a=0时，原不等式即-2x+4<0，解得x>2o220<a<1时，一>2，不等式的解为2<x<-。aaa=1时，原不等式为(x-2)2<0，xw①。a>1时，-<2，不等式的解为—<x<2。aaa<0时，原不等式可化为(-ax+2)(x-2)>0，22易知-<2，所以不等式的解为x<-，或x>2。aa2、满足丄<2与丄>-3的x的取值范围是()xx(A)-<x<丄(B)x>丄22(C)x<-丄(D)x>丄，或x<-丄323答案：D解析:解不等式组或验证排除。3、解不等式"2x-1>x-2答案：<x丨丄<x<5>、2_解析:原不等式等价于(I)；力-1-0，x—2<02x-1>0或(II)]x-2>02x-1>(x-2)2由(I)解得-<x<2，2由(II)解得2<x<5所以，原不等式的解集为；x丨丄<x<5；。2点评：若令x-1=t，则该不等式可化为一个关于t的二次不等式求解。4、解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4<0。答案：原不等式的解集当a=0时，为#Ix>2)；当I0<a<1时，为\xI2<x<—>；当a=1时为、a“©；当a>1时，为<x丨一<x<2；；当a<0时，a5、不等式2x2+2mx+m<1对一切实数x均成立,4x2+6x+3求m的取值范围。答案：(1，3)。解析:已知分母恒正，故原不等式可化为：2x2+2mx+m<4x2+6x+3，即2x2+(6-2m)x+(3-m)>0，由题意，该式对一切实数x恒成立。所以，△=(6一2m)2一8(3一m)<0，容易解得1<m<3。技能培训6、不等式』3x-4->0的解集为：。答案：[3,+8)。'3x-4>0解析:原不等式等价于卜-3>0，3x—4>x—3解得x>3。7、设f(x)=x2-ax+1。若方程f(x)=0没有正根,则a的取值范围为。答案：(-◎2)o解析:因为方程f(x)=0没有正根，由图易知；A=a2—4>0<an，-<0〔2>=-+1.或A=a2—4<0o解得：a<2o8、若关于x的不等式w%、丿■;ar/+a>0的解(I)x2+4x+3是-3<x<-1，或x>2，则a的值为()A)A)2B)-2D)D)解析：原不等式即(ax-2)(x-2)<0，a的范围(C)-(C)(—8,—+)(C)(—8,—+)13(D)(—8,—石)Y(1,+8)jxI2<x<a—2a—1jxIx>2，答案：B解析：原不等式即(x+a)(x+1)(x+3)>0，由其解集易知a=-2。9、若f(x)=(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0对于一切实数x恒成立，则m的取值范围是()(A)(1,+x)(B)(―也―1)答案：C亠—fm+1<0解析：由已知，<(m—1)2—12(m+1)(m—1)<013解得x<——。10、解关于x的不等式a(x—1)>1(a工1)。x—2答案：不等式的解集当a<0时为]xI<x<2.、a—1‘a—2当0<a<1时为<xI2<x<>；当a=0时为①；[a—1J当a>1时，为<xIx>2，或x<—_2>。a—1解析：原不等式可化为(a—°x+(2—a)>0，所x—2以(x—2)[(a—1)x+(2—a)]>0。a—2(1)当a<0时，a—1<0,<2，原不等式的a—1解集为jxI2<x<2]；a—1a—2⑵当0<a<1时，二J>2，原不等式的解集为(3)当a=0时，原不等式为0>1，所以xw①；(4)当a>1时，^二彳<2，所以原不等式的解集为a—1a—2或x<a—111、某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件。税务部门对市场销售的商品征收附加费，为了既增加国家收入又有利于活跃市场，必须合理确定征收的税率。根据调查分析，若政府对商品M征收的税率为p%时，每年销售减少10p万件，试问：(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少96万元，求p的取值范围。在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，因如何确定p值若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定p值答案：⑴2<p<6。(2)p=2。(3)p=4。解析：(1)税率为p%时，销售量为80—10p万件，销售金额为80(80—10p)万元(0<p<8)。由题意易得：]80(80—10p)-p%-96，解得2<p<6。销售金额最大即80(80—10p)最大，由(1)可知，2<p<6，所以，当p=2时，最大销售金额为4800万元。由(1)知易知，销售金额为80(80—10p)，故税金为80(80—10p)-p%=—8(p—4)2+128，因为0<p<8，所以，p=4时，国家所得税金最多，为128万元。12、若不等式ax2+bx+c>0的解集为(a,P)，且0<a<卩，求不等式cx2+b