线性代数与空间解析几何-第三章

3.23.2一、一、内二、外三、一、内向量a与b

ababa,其中abaababa,

的夹角内积又称为2aaa记为2a向量的内积具有以下性质 2

a

a

a

cos

a,a

a00;a(a)(b)

a

ci

j

k的内积i2

j2k

ijj设向

a=(a1,a2,

b=(b1,b2,则a

b=a1b1+a2b2+若||

a

a

a a

aaabbbaaabbb

a,

aa

||||b

ee若

||a||||b a,b

,则称a与b正交（或垂直），记为2

b.aababa1b1a2b2a3b3例1

23,||a

||a

求解||a求

||2

(baa

222

2aa

b||a

||b

2a

650

2a2ab 2 ||ab

b2

2

2ab ||a||||b

2ab650

2a40||

b||例

(2,2,1),b(1,3,3),ac accd(ac)b(ab)c,求Prjdcd

(6

812)(1,3,3)

(2

6Prjd||d||cosc,dc||d

c

||||dc

259||c 例3.内积的物理意一质点在力F 的作用下从点A移动到B，力F所做W||

cos

F,sssF.ss

F F

对ab

bcos

a,

两边取绝对值ab

(a

(aa)(b证明三角不等

ab

ab二、外a与

的外

a

是一个向量

||sina,b

ab与a，b所确定的平面垂直ccabaab符合右手系外积又称为向量积外积的性aa aa0,0

a//ba(a)

(a

外积的几何意

||||||||b||sina,bbha||a|| bha=以a，b为邻边的平行四边形面积基向量的外i

k

j

i

k

jj

k

k

i

i

j利用坐标计设a(a1a2a3b(b1b2b3),ab(a1ia2ja3k)(b1ib2jb3k

a1b3

a3b1

a3b2

a2 1求与a

2

4k，bi

j2k都直的单位向量解

cab

10c||c

cc

52 5, .j .j

k||c 2在顶点为A(1,1,2)、B(5,6,2)C(1,3,1)的三角形中，求AC边上的高BD

DD三角形ABC的面积 S12

AC

AB||2

252||

1

42

S1||AC2

BD 5

例3设单位向量OA与三个坐标轴夹角相等，B是点M(1,-3,2)关于N(-1,2,1)的对称点.求OAOB.解设是OA的方向角，OA=(cos,cos,cos)可cos2+cos2+cos2=3cos2cos13OA(13

1,1 M1,3, N1,2, Bx

y,z设点B的坐标是(x,y,z),则点N是MB的中点，x12

y2

z2

x

y

zOB=(-3,7, OAOB3

3

三、混合定义设已知三个向量abc数量(ab称为这三个向量的混合积，记

[a

a设a

a2

a3k

b

b2

b3kcc1ic2

c3k [abc](ab)

这是这是 abba [abc](ab) b1 混合积的几何意义与向量的合 cab[abc](ab)c是这cab的一个数，它

a表示以向量a、

、c棱的平行六面体的体积caac(b) caac

b,ac ac

b)c

(bc)

(ca)b.

[abc] 例 已知[abc]2， 计算[(ab(bc)](ca). [(ab)(bc)](ca)[abac

(ab)c(ac)c0c(bc)

c(ab)a(ac)c

0a(bc) 0

(ab)

b)

6已知不在一平面上的四点Ax1,y1z1)B(x2

y2z2)、Cx3

y3z3)、Dx4

y4z4,ABCD的体积解 何知，四面体的体积等于以向量ABAC、A