复变函数论试题库问题详解

复变函数论试题库及问题详解复变函数论试题库及问题详解复变函数论试题库及问题详解合用标准文案?复变函数论?试题库?复变函数?考试一试题〔一〕一、判断题〔20分〕：1.假设f(z)在z0的某个邻域内可导，那么函数f(z)在z0剖析.2.有界整函数必在整个复平面为常数.假设{zn}收敛，那么{Rezn}与{Imzn}都收敛.4.假设f(z)在地域D内剖析，且f'(z)0，那么f(z)C〔常数〕假设函数f(z)在z0处剖析，那么它在该点的某个邻域内可以张开为幂级数6.假设z0是f(z)的m阶零点，那么z0是1/f(z)的m阶极点.limf(z)7.假设zz0存在且有限，那么z0是函数f(z)的可去奇点.8.假设函数f(z)在是地域D内的单叶函数，那么f'(z)0(zD).9.假设f(z)在地域D内剖析,那么对D内任一简单闭曲线Cf(z)dz0.C

()()().().()()()()()10.假设函数f(z)在地域D内的某个圆内恒等于常数，那么f(z)在地域D内恒等于常数.〔〕二.填空题〔20分〕1、|zz0|dz__________.〔n为自然数〕1(zz)n02.sin2zcos2z_________.3.函数sinz的周期为___________.f(z)14.z21，那么f(z)的孤立奇点有__________.设5.幂级数nzn的收敛半径为__________.0假设函数f(z)在整个平面上各处剖析，那么称它是__________.limznlimz1z2...zn7.假设n，那么nn______________.优秀文档合用标准文案z8.Res(en,0)________，其中n为自然数.z9.sinz的孤立奇点为________.zlimf(z)___10.假设z0是f(z)的极点，那么zz0.三.计算题〔40分〕：f(z)1(z1)(z2)，求f(z)在D{z:0|z|1}内的罗朗展式.1.设1dz.2.|z|1cosz3.f(z)3271d3}，试求f'(1i).设Cz，其中C{z:|z|wz14.z1的实部与虚部.求复数.证明题.(20分)1.函数f(z)在地域D内剖析.证明：若是|f(z)|在D内为常数，那么它在D内为常数.2.试证:f(z)z(1z)在割去线段0Rez1的z平面内能分出两个单值剖析分支,并求出支割线0Rez1登陆取正当的那支在z1的值.优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔二〕一.判断题.〔20分〕1.假设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在D内连续，那么u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.()2.cosz与sinz在复平面内有界.()3.假设函数f(z)在z0剖析，那么f(z)在z0连续.()4.有界整函数必为常数.()5.如z0是函数f(z)的本性奇点，那么limf(z)必然不存在.()zz06.假设函数f(z)在0可导，那么f(z)在z0剖析.()z7.假设f(z)在地域D内剖析,那么对D内任一简单闭曲线Cf(z)dz0.C()8.假设数列{zn}收敛，那么{Rezn}与{Imzn}都收敛.()9.假设f(z)在地域D内剖析，那么|f(z)|也在D内剖析.()10.存在一个在零点分析的函数f(z)使f(1)0且f(1)1,n1,2,....n12n2n().填空题.(20分)1.设zi，那么|z|__,argz__,z__2.设f(z)(x22xy)i(1sin(x2y2),zxiyC，那么limf(z)________.z1i3.dz_________.〔n为自然数〕|zz0|1(zz)n0幂级数nzn的收敛半径为__________.0假设z0是f(z)的m阶零点且m>0，那么z0是f'(z)的_____零点.函数ez的周期为__________.7.方程2z5z33z80在单位圆内的零点个数为________.8.设f(z)1，那么f(z)的孤立奇点有_________.z219.函数f(z)|z|的不剖析点之集为________.优秀文档合用标准文案10.Res(z41,1)____.z.计算题.(40分)求函数sin(2z3)的幂级数张开式.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的地域内取定函数z在正实轴取正实值的一个剖析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点zi处的值.3.计算积分：Ii1〕|z|dz，积分路径为〔1〕单位圆〔|z|i的右半圆.sinzdzz2(z)24.求2..证明题.(20分)1.设函数f(z)在地域D内剖析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在内剖析.2.试用儒歇定理证明朝数根本定理.优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔三〕.判断题.(20分).1.cosz与sinz的周期均为2k.()2.假设f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,那么f(z)在z0剖析.( )3.假设函数f(z)在z0处剖析，那么f(z)在z0连续.()4.假设数列{zn}收敛，那么{Rezn}与{Imzn}都收敛.()假设函数f(z)是地域D内剖析且在D内的某个圆内恒为常数，那么数f(z)在区域D内为常数.( )6.假设函数f(z)在z0剖析，那么f(z)在z0的某个邻域内可导.()7.若是函数f(z)在D{z:|z|1}上剖析,且|f(z)|1(|z|1),那么|f(z)|1(|z|1).〔〕8.假设函数f(z)在z0处剖析，那么它在该点的某个邻域内可以张开为幂级数.()9.假设z0是f(z)的m阶零点,那么z0是1/f(z)的m阶极点.()10.假设z0是f(z)的可去奇点，那么Res(f(z),z0)0.().填空题.(20分)1.设f(z)1，那么f(z)的定义域为___________.z21函数ez的周期为_________.3.n21n，那么limz__________.假设zni(1)n1nnn4.sin2zcos2z___________.dz5.|zz0|1(zz)n〔n为自然数〕_________.06.幂级数nxn的收敛半径为__________.n0设f(z)17.z21，那么f(z)的孤立奇点有__________.8.设ez1，那么z___.9.假设z0是f(z)的极点，那么limf(z)___.zz0优秀文档合用标准文案10.Res(ez,0)____.zn.计算题.(40分)11.将函数f(z)z2ez在圆环域0z内展为Laurent级数.2.试求幂级数n!zn的收敛半径.nnn3.算以下积分：ezdz，其中C是|z|1.Cz2(z29)4.求z92z6z28z20在|z|<1内根的个数..证明题.(20分)函数f(z)在地域D内剖析.证明：若是|f(z)|在D内为常数，那么它在D内为常数.设f(z)是一整函数，并且假设存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使适合|z|R时|f(z)|M|z|n，证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔四〕.判断题.(20分)1.0剖析，那么f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.〔〕假设f(z)在z2.0可导，那么f(z)在z0剖析.〔〕假设函数f(z)在z3.函数sinz与cosz在整个复平面内有界.〔〕4.假设f(z)在地域D内剖析，那么对D内任一简单闭曲线C都有f(z)dz0.C〔〕5.假设limf(z)存在且有限，那么z0是函数的可去奇点.〔〕zz06.假设函数f(z)在地域D内剖析且f'(z)0，那么f(z)在D内恒为常数.〔〕7.若是0是f(z)的本性奇点，那么limf(z)必然不存在.〔〕zzz08.假设f(z0)0,f(n)(z0)0，那么z0为f(z)的n阶零点.〔〕假设f(z)与g(z)在D内分析，且在D内一小弧段上相等，那么f(z)g(z),zD.〔〕10.假设f(z)在0|z|内剖析，那么Res(f(z),0)Res(f(z),).〔〕二.填空题.(20分)1.设z1__,Imz___.，那么Rez1i2.假设limzn，那么limz1z2...zn______________.nnn函数ez的周期为__________.4.函数f(z)1的幂级数张开式为__________z215.假设函数f(z)在复平面上各处剖析，那么称它是___________.6.假设函数f(z)在地域D内除去有限个极点之外各处剖析，那么称它是D内的_____________.7.设C:|z|1，那么(z1)dz___.C优秀文档合用标准文案8.sinz的孤立奇点为________.z9.假设z0是f(z)的极点，那么limf(z)___.zz0Res(ez10.n,0)_____________.z.计算题.(40分)1.解方程z310.2.设f(z)ez，求Res(f(z),).2z13.zdz..|z|2(92)(zzi)114.函数f(z)ez1z有哪些奇点？各属何种类〔假设是极点，指明它的阶数〕..证明题.(20分)证明：假设函数f(z)在上半平面剖析，那么函数f(z)在下半平面剖析.2.证明z46z30方程在1|z|2内仅有3个根.优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔五〕.判断题.〔20分〕1.假设函数f(z)是单连通地域D内的剖析函数，那么它在D内有任意阶导数.〔〕假设函数f(z)在地域D内的剖析，且在D内某个圆内恒为常数，那么在地域D内恒等于常数.〔〕3.假设f(z)在地域D内剖析，那么|f(z)|也在D内剖析.〔〕4.假设幂级数的收敛半径大于零，那么其和函数必在收敛圆内剖析.〔〕5.0处满足Cauchy-Riemann条件，那么f(z)在z0剖析.〔〕假设函数f(z)在z6.假设limf(z)存在且有限，那么z0是f(z)的可去奇点.〔〕zz07.0可导，那么它在该点剖析.〔〕假设函数f(z)在z8.设函数f(z)在复平面上剖析，假设它有界，那么必f(z)为常数.〔〕假设z0是f(z)的一级极点，那么Res(f(z),z0)lim(zz0)f(z).〔〕zz010.假设f(z)与g(z)在D内分析，且在D内一小弧段上相等，那么f(z)g(z),zD.〔〕二.填空题.〔20分〕1.设z13i，那么|z|__,argz__,z__.2.当z___时，ez为实数.3.设ez，那么z___.1ez的周期为___.5.设C:|z|1，那么(z1)dz___.C6.Res(ez1,0)____.z7.假设函数f(z)在地域D内除去有限个极点之外各处剖析，那么称它是D内的_____________。8.函数f(z)12的幂级数张开式为_________.z1优秀文档合用标准文案9.sinz的孤立奇点为________.z10.1dz___.〔n为自设C是以为a心，r为半径的圆周，那么然数〕.计算题.(40分)z11.求复数的实部与虚部.2.z1计算积分：IRezdz，L在这里L表示连接原点到1i的直线段.3.求积分：I2d，其中0<a<1.012acosa24.应用儒歇定理求方程z(z)，在|z|<1内根的个数，在这里(z)在|z|1上剖析，并且|(z)|1..证明题.(20分)1.证明函数f(z)|z|2除去在z0外，各处不可以微.2.设f(z)是一整函数，并且假设存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使适合|z|R时|f(z)|M|z|n，证明:f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔六〕一、判断题〔30分〕：1.假设函数f(z)在z0剖析，那么f(z)在z0连续.〔〕2.假设函数f(z)在z0处满足Caychy-Riemann条件，那么f(z)在z0剖析.〔〕3.假设函数f(z)在z0剖析，那么f(z)在z0处满足Caychy-Riemann条件.〔〕4.假设函数f(z)在是地域D内的单叶函数，那么f(z)0(zD).〔〕5.假设f(z)在单连通地域D内剖析，那么对D内任一简单闭曲线C都有f(z)dz0.C〔〕6.假设f(z)在地域D内剖析，那么对D内任一简单闭曲线C都有f(z)dz0.〕C〔7.假设f(z)0(zD)，那么函数f(z)在是D内的单叶函数.〔〕8.假设z01的m阶极点.〔〕是f(z)的m阶零点，那么z0是f(z)9.若是函数f(z)在Dz:z1上剖析，且f(z)1(z1),那么f(z)1(z1).〔〕10.sinz1(zC).〔〕二、填空题〔20分〕1.假设znn2i(11)n，那么limzn___________.1nn2.设f(z)1，那么f(z)的定义域为____________________________.z21函数sinz的周期为_______________________.4.sin2zcos2z_______________________.幂级数nzn的收敛半径为________________.0假设z0是f(z)的m阶零点且m1，那么z0是f(z)的____________零点.7.假设函数f(z)在整个复平面各处剖析，那么称它是______________.函数f(z)z的不剖析点之集为__________.方程2z5z33z80在单位圆内的零点个数为___________.优秀文档合用标准文案10.公式eixcosxisinx称为_____________________.三、计算题〔30分〕1、lim2in.n622、设f(z)371d，其中Cz:z3，试求f(1i).zf(z)ezRes(f(z),i).、设，求3z214、求函数sinz3在0z内的罗朗展式.z65、求复数wz1的实部与虚部.z1i6、求e3的值.四、证明题〔20分〕1、方程z79z66z310在单位圆内的根的个数为6.2、假设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在地域D内剖析，v(x,y)等于常数，那么f(z)在D恒等于常数.3、假设z0是f(z)的m阶零点，那么z0是1的m阶极点.f(z)优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔七〕一、判断题〔24分〕1.假设函数f(z)在z0剖析，那么f(z)在z0的某个领域内可导.〔〕2.假设函数f(z)在z0处剖析，那么f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件.〔〕3.若是z0是f(z)的可去奇点，那么limf(z)必然存在且等于零.〔〕zz04.假设函数f(z)是地域D内的单叶函数，那么f(z)0(zD).〔〕5.假设函数f(z)是地域D内的剖析函数，那么它在D内有任意阶导数.〕〔6.假设函数f(z)在地域D内的剖析，且在D内某个圆内恒为常数，那么在地域D内恒等于常数.〔〕7.假设z0是f(z)的m阶零点，那么z01的m阶极点.〔〕是f(z)二、填空题〔20分〕1.假设znsin1i(11)n，那么limzn___________.1nn2.设f(z)z，那么f(z)的定义域为____________________________.z21函数ez的周期为______________.4.sin2zcos2z_______________.5.幂级数n2zn2的收敛半径为________________.0假设z0是f(z)的m阶零点且m1，那么z0是f(z)的____________零点.7.假设函数f(z)在整个复平面各处剖析，那么称它是______________.函数f(z)z的不剖析点之集为__________.9.方程3z8z33z80在单位圆内的零点个数为___________.z10.Res(en,0)_________________.z三、计算题〔30分〕优秀文档合用标准文案1i221、求1i.222f(z)3271d，其中Cz:z3，试求f(1i).z3、设f(z)ez，求Res(f(z),0).z2z4、求函数在1z2内的罗朗展式.(z1)(z1)5、求复数wz1的实部与虚部.z1dx6、利用留数定理计算积分：2，(a1).a0cosx四、证明题〔20分〕1、方程24z79z66z3z310在单位圆内的根的个数为7.2、假设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在地域D内剖析，f(z)等于常数，那么f(z)在D恒等于常数.3、假设z0是f(z)的m阶零点，那么z0是1的m阶极点.f(z)五、计算题〔10分〕求一个单叶函数，去将z平面上的上半单位圆盘z:z1,Imz0保形照射为w平面的单位圆盘w:w1优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔八〕一、判断题〔20分〕1、假设函数f(z)在z0剖析，那么f(z)在z0连续.〔〕2、假设函数f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件，那么f(z)在z0处剖析.〔〕3、若是z0是f(z)的本性奇点，那么limf(z)必然不存在.〔〕zz04、假设函数f(z)是地域D内剖析，并且f(z)0(zD)，那么f(z)是地域D的单叶函数.〔〕5、假设函数f(z)是地域D内的剖析函数，那么它在D内有任意阶导数.〔〕6、假设函数f(z)是单连通地域D内的每一点均可导，那么它在D内有任意阶导数.〔〕7、假设函数f(z)在地域D内剖析且f(z)0，那么f(z)在D内恒为常数.〔〕8.存在一个在零点剖析的函数f(z)使f(1)0且f(1)1,n1,2,.〔〕n12n2n9.若是函数f(z)在Dz:z1上剖析，且f(z)1(z1)，那么f(z)1(z1).〔〕sinz是一个有界函数.〔〕二、填空题〔20分〕1、假设znn2i(11)n，那么limzn___________.1nn2、设f(z)lnz，那么f(z)的定义域为____________________________.3、函数sinz的周期为______________.4、假设limzn，那么limz1z2zn_______________.nnn5、幂级数nzn5的收敛半径为________________.n06、函数f(z)1的幂级数张开式为______________________________.1z2、假设C是单位圆周，n是自然数，那么1ndz______________.7C(zz0)8、函数f(z)z的不剖析点之集为__________.9、方程15z5z34z280在单位圆内的零点个数为___________.优秀文档合用标准文案10、假设f(z)1，那么f(z)的孤立奇点有_________________.z21三、计算题〔30分〕1、求ez1sinzdz1dzz12iz3(z1)(z4)2、设f(z)3271d，其中Cz:z3，试求f(1i).CzezRes(f(z),).、设f(z)，求1z2z10在2z4、求函数2(z1)(z2)z15、求复数w的实部与虚部.

内的罗朗展式.四、证明题〔20分〕1、方程15z75z66z310在单位圆内的根的个数为7.2f(z)u(x,y)iv(x,y)在地域D内连续，那么二元函数u(x,y)与v(x,y)都在D、假设函数内连续.4、假设z0是f(z)1的m阶极点.的m阶零点，那么z0是f(z)五、计算题〔10分〕求一个单叶函数，去将z平面上的地域z:04保形照射为w平面的单位圆盘argz5w:w1.优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔九〕一、判断题〔20分〕1、假设函数f(z)在z0可导，那么f(z)在z0剖析.〔〕2、假设函数f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件，那么f(z)在z0处剖析.〔〕3、若是z0是f(z)的极点，那么limf(z)必然存在且等于无量大.〔〕zz04、假设函数f(z)在单连通地域D内剖析，那么对D内任一简单闭曲线C都有f(z)dz0.C〔〕5、假设函数f(z)在z0处剖析，那么它在该点的某个领域内可以张开为幂级数.〔〕6、假设函数f(z)在地域D内的剖析，且在D内某一条曲线上恒为常数，那么f(z)在地域D内恒为常数.〔〕7、假设z0是f(z)的m阶零点，那么z0是1的m阶极点.〔〕f(z)8f(z)在Dz:z1上剖析，且f(z)1(z1)，那么f(z)1(z1).〕、若是函数〔9、limez.〔〕z、若是函数f(z)在z内剖析，那么max{f(z)}max{f(z)}.〔〕101z1z1二、填空题〔20分〕1、假设znsin1ni(12)n，那么limzn___________.1n2、设f(z)1，那么f(z)的定义域为____________________________.sinz3、函数sinz的周期为______________.4、sin2zcos2z_______________.5、幂级数nzn的收敛半径为________________.n06、假设z0是f(z)的m阶零点且m1，那么z0是f(z)的____________零点.7、假设函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外，各处剖析，那么称它是______________.8、函数f(z)z的不剖析点之集为__________.9、方程20z811z33z50在单位圆内的零点个数为___________.优秀文档合用标准文案10、Res(2ez,1)_________________.z1三、计算题〔30分〕2in1、lim6n2、设f(z)3271z:z3，试求f(1i).Czd，其中C3、设f(z)ez，求Res(f(z),i).z214、求函数z在1z2内的罗朗展式.(z1)(z2)5、求复数wz1的实部与虚部.z16、利用留数定理计算积分x2x2dx.x410x29四、证明题〔20分〕1、方程z79z66z310在单位圆内的根的个数为6.2、假设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在地域D内剖析，u(x,y)等于常数，那么f(z)在D恒等于常数.7、假设z0是f(z)的m阶零点，那么z01的m阶极点.是f(z)五、计算题〔10分〕求一个单叶函数，去将z平面上的带开地域z:Imz保形照射为w平面的单位圆2盘w:w1.优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔十〕一、判断题〔40分〕：1、假设函数f(z)在z0剖析，那么f(z)在z0的某个邻域内可导.〔〕2、若是z0是f(z)的本性奇点，那么limf(z)必然不存在.〔〕zz03、假设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)在D内连续，那么u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.〔〕4、cosz与sinz在复平面内有界.〔〕5、假设z0是f(z)的m阶零点，那么z0是1/f(z)的m阶极点.〔〕6、假设f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，那么f(z)在z0剖析.〔〕7、假设limf(z)存在且有限，那么z0是函数的可去奇点.〔〕zz08、假设f(z)在单连通地域D内剖析，那么对D内任一简单闭曲线C都有f(x)dz0.〔〕C9f(z)是单连通地域D内的剖析函数，那么它在D内有任意阶导数.、假设函数〔〕10、假设函数f(z)在地域D内剖析，且在D内某个圆内恒为常数，那么在地域D内恒等于常数.〔〕二、填空题〔20分〕：1、函数ez的周期为_________________.2、幂级数nzn的和函数为_________________.n03、设f(z)1，那么f(z)的定义域为_________________.z214、nzn的收敛半径为_________________.n05、Res(ez,0)=_________________.zn三、计算题〔40分〕：1、zdz.(9z2)(zzi)2、求Res(eiz2,i).1z优秀文档合用标准文案1n1ini.3、224、设u(x,y)ln(x2y2).求v(x,y)，使得f(z)u(x,y)iv(x,y)为剖析函数，且满足f(1i)ln2。其中zD〔D为复平面内的地域〕.5z45z10，在z1内根的个数.、求优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔十一〕一、判断题.〔正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分〕1．当复数z0时，其模为零，辐角也为零.〔〕2．假设z0是多项式P(z)anznan1zn1a0(an0)的根，那么z0也P(z)是的根.〔〕3．若是函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)M，那么f(z)为一常数.〔〕4．设函数f1(z)与f2(z)在地域内D剖析，且在D内的一小段弧上相等，那么对任意的zD，有f1(z)f2(z).〔〕5．假设z是函数f(z)的可去奇点，那么Resf(z)z二、填空题.〔每题2分〕1．i2i3i4i5i6_____________________.2．设zxiy0，且argz,2argarctyan________________.x

.〔〕yarctan，当x0,y0时，x23．函数w1将z平面上的曲线(x1)2y21变成w平面上的曲线______________.z4．方程z4a40(a0)的不同样的根为________________.5．(1i)i___________________.6．级数[2(1)n]z2的收敛半径为____________________.n07．cosnz在zn〔n为正整数〕内零点的个数为_____________________.8f(z)6sinzz(z6)的零点z0的阶数为_____________________.．函数3369．设a为函数f(z)(z)的一阶极点，且(a)0,(a)0,(a)0，那么(z)f(z)_____________________.Reszaf(z)10．设a为函数f(z)的m阶极点，那么Resf(z)_____________________.zaf(z)三、计算题〔50分〕优秀文档合用标准文案1．设u(x,y)1ln(x2y2)。求v(x,y)，使得f(z)u(x,y)iv(x,y)为剖析函数，且2满足f(1i)1ln2.其中zD〔D为复平面内的地域〕.〔15分〕22．求以下函数的奇点，并确定其种类〔关于极点要指出它们的阶〕.〔10分〕1〔1〕tan2z；〔5ez1〔5分〕分〕〔2〕z.e13．计算以下积分.〔15分〕〔1〕zz19dz〔8分〕，4(z21)4(z42)3〔2〕d〔7分〕.1cos204．表达儒歇定理并谈论方程z75z4z220在z1内根的个数.〔10分〕四、证明题〔20分〕1．设f(z)u(x,y)ivx(,y)是上半复平面内的剖析函数，证明f(z)是下半复平面内的解析函数.〔10分〕2．设函数f(z)在zR内剖析，令M(r)maxf(z),(0rR)。证明：M(r)在区zr间[0,R)上是一个上升函数，且假设存在r1及r2〔0r1r2R〕，使M(r1)M(r2)，那么f(z)常数.〔10分〕优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔十二〕二、判断题。〔正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分〕1．设复数z1x1iy1及z2x2iy2，假设x1x2或y1y2，那么称z1与z2是相等的复数。〔〕2．函数f(z)Rez在复平面上各处可微。〔〕3．sin2zcos2z1且sinz1,cosz1。〔〕4．设函数f(z)是有界地域D内的特别数的剖析函数，且在闭域DDD上连续，那么存在M0，使得对任意的zD，有f(z)M。〔〕5．假设函数f(z)是特其他整函数，那么f(z)必是有界函数。〔〕二、填空题。〔每题2分〕1．i2i3i4i5i6_____________________。2．设zxiy0，且argz,y0,y0时，2arctan，当xarctyan________________。x2argx3．假设f(z)11)，那么其关于变量z的表达式为__________。x(1y2)iy(1y2x2x24．nz以z________________为支点。5．假设lnzi，那么z_______________。26．dz________________。z1z7．级数1z2z4z6的收敛半径为________________。8．cosnz在zn〔n为正整数〕内零点的个数为_______________。9．假设za为函数f(z)的一个实质奇点，且在点a的充分小的邻域内不为零，那么za是1的________________奇点。f(z)f(z)10．设a为函数f(z)的n阶极点，那么Res_____________________。zaf(z)优秀文档合用标准文案三、计算题〔50分〕1．设地域D是沿正实轴割开的z平面，求函数w5z在D内满足条件511的单值连续剖析分支在z1i处之值。〔10分〕2．求以下函数的奇点，并确定其种类〔关于极点要指出它们的阶〕，并求它们留数。〔15分〕〔1〕f(z)Lnz的各剖析分支在z1各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数〔10分〕z21〔2〕求Resezzn1。〔5分〕z03．计算以下积分。〔15分〕〔1〕z7dz〔8分〕，1)3(z2z2(z22)〔2〕x2dx(a0)〔7分〕。(x2a2)24．表达儒歇定理并谈论方程z66z100在z1内根的个数。〔10分〕四、证明题〔20分〕1．谈论函数f(z)ez在复平面上的剖析性。〔10分〕2．证明：1znezd(zn)2。2iCn!nn!此处C是围绕原点的一条简单曲线。〔10分〕优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔十三〕一、填空题．〔每题２分〕１．设zr(cosisin)，那么1_____________________．z２．设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)，Au0iv0，z0x0iy0，那么limf(z)A的充zz0要条件是_______________________．３．设函数f(z)在单连通地域D内剖析，那么f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分f(z)dz_________________________．C４．设za为f(z)的极点，那么limf(z)____________________．za５．设f(z)zsinz，那么z0是f(z)的________阶零点．６．设f(z)1，那么f(z)在z0的邻域内的泰勒展式为_________________．12z７．设zazab，其中a,b为正常数，那么点z的轨迹曲线是_________________．８．设zsinicos，那么z的三角表示为_________________________．66９．4zcoszdz___________________________．0ez，那么f(z)在z0处的留数为________________________．１０．设f(z)z2二、计算题．１．计算以下各题．〔９分〕(1)cosi；(2)ln(23i);(3)33i2．求解方程z380．〔７分〕３．设ux2y2xy，考证u是调解函数，并求分析函数f(z)uiv，使之f(i)1i．〔８分〕４．计算积分．〔10分〕(1)(x2iy)dz，其中C是沿yx2由原点到点z1i的曲线．C1iy)ix2]dz，积分路径为自原点沿虚线轴到i，再由i沿水平方向向右到1i．(2)[(x0５．试将函数f(z)1分别在圆环域0z1和1z2内张开为洛朗级(z1)(z2)优秀文档合用标准文案数．〔８分〕６．计算以下积分．〔８分〕(1)5z2dz；(2)sin2zz2z(z1)22(zdz．z4z1)７．计算积分x24dx．〔８分〕1x８．求以下幂级数的收敛半径．〔６分〕(1)nzn1；(2)(1)nzn．n1n1n!2９．谈论f(z)z的可导性和剖析性．〔６分〕三、证明题．１．设函数f(z)在地域D内剖析，f(z)为常数，证明f(z)必为常数．〔５分〕２．试证明azazb0的轨迹是素来线，其中a为复常数，b为实常数．〔５分〕优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔十四〕一、填空题．〔每题２分〕１．设zr(cosisin)，那么zn___________________．２．设函数f(z)u(x,y)iv(x,y)，Au0iv0，z0x0iy0，那么limf(z)A的充zz0要条件______________________．３．设函数f(z)在单连通地域D内剖析，那么f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分f(z)dz_________________________．C４．设za为f(z)的可去奇点，limf(z)____________________．za５．设f(z)z2(ez21)，那么z0是f(z)的________阶零点．６．设f(z)1，那么f(z)在z0的邻域内的泰勒展式为_________________．12z７．设zazab，其中a,b为正常数，那么点z的轨迹曲线是_________________．８．设zsinicos，那么z的三角表示为_________________________．1i___________________________．９．zezdz0１０．设f(z)z2sin1，那么f(z)在z0处的留数为________________________．z二、计算题．１．计算以下各题．〔９分〕1i(1)Ln(34i)；6;(3)(1i)1i(2)e2．求解方程z320．〔７分〕３．设u2(x1)y，考据u是调停函数，并求剖析函数f(z)uiv，使之f(2)i．〔８分〕1iy)ix2]dz，其中路径为〔１〕自原点到点1i的直线段；４．计算积分0[(x(2)自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1i．〔10分〕５．试将函数f(z)1在z1的邻域内的泰勒张开式．〔８分〕(z2)６．计算以下积分．〔８分〕(1)sinzdz；(2)z22dz．z2(z)2z4z2(z3)2优秀文档合用标准文案７．计算积分2d．〔６分〕053cos８．求以下幂级数的收敛半径．〔６分〕(1)(1nzn(2)(n!)2ni)；nnz．n1n1９．设f(z)my3nx2yi(x3lxy2)为复平面上的剖析函数，试确定l，m，n的值．〔６分〕三、证明题．１．设函数f(z)在地域D内剖析，f(z)在地域D内也剖析，证明f(z)必为常数．〔５分〕２．试证明azazb0的轨迹是素来线，其中a为复常数，b为实常数．〔５分〕优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔三〕参照答案一.判断题1．×２．×３．√４．√５．√6．√７．√８．√９．√10．√.二.填空题.2in11.zzi,且zC;2.2ki(kz);3.1ei;4.1;5.;0n16.1;7.i;8.z(2k1)i;三.计算题.21211zn2z(1)1.解zezz2!z2n0n!.cn!(nn1nn1)1)2.解limnlim(n1)!nlim(ncn1nnnnn所以收敛半径为e.3.解令f(z)ez,那么Resf(z)ez2(z229z0z9)z0z故原式2iResf(z)2i.z094.解令f(z)z92z6z22,(z)8z.那么在C:z1上f(z)与(z)均剖析,且f(z)6

19.;10..(n1)!1nlim(1e.)1.9(z)8,故由儒歇定理有N(f,C)N(f,C).即1在z1内,方程只有一个根.四.证明题.1.证明证明设在D内f(z)C.令f(z)u2u2v2c2.iv,那么f(z)两边分别对x,y求偏导数,得uuxvvx0(1)uuyvvy0(2)因为函数在D内剖析,所以uxvy,uyvx.代入(2)那么上述方程组变成uuxvvx0消去ux得,(u2v2)vx0.vuxuvx.01)u2v20,那么f(z)0为常数.2)假设vx0,由方程(1)(2)及C.R.方程有ux0,uy0,vy0.所以uc,vc.(c,c为常数).1212所以f(z)c1ic2为常数.优秀文档合用标准文案2.证明取rR,那么对所有正整数kn时,f(k)k!f(z)k!Mrn(0)k1dzrk.2zrz于是由r的任意性知对所有kn均有f(k)(0)0.ncnzn,即f(z)是一个至多n次多项式或常数.故f(z)k0优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔四〕参照答案一.判断题.1．√２．×３．×４．×５．×6．√７．×８．×９．√10．√.二.填空题.1.1,1;2.;3.2ki(kz);4.(1)nz2n(z1);5.整函数;22n06.亚纯函数;7.0;8.z0;9.;1.10.(n1)!.计算题.1.解:z31zcos2kisin2kk0,1,233z1cosisin13i3223z2cosisin1z3cos5isin513i33222.解Resf(z)ezeeze1.,Resf(z)z1z1z12z1z1z12故原式2i(Resf(z)Resf(z))i(ee1).z1z13.解原式2iResf(z)2iz.2zi9zzi511zez14.解ez1z=z(ez1)，令z(ez1)0，得z0,z2ki，k1,2,lim(11)limzez1lim1ez而z0ez1zz0(ez1)zz0ez1zezlimez1ezzez2z0为可去奇点z0ez当z2ki时，(k0),zez10(ez1)zz2kiez1zezz2ki0z2ki为一阶极点.而四.证明题.1.证明设F(z)f(z),在下半平面内任取一点z0,z是下半平面内异于z0的点,考虑limF(z)F(z0)limf(z)f(z0)limf(z)f(z0).zz0zz0zz0zz0zz0zz0而z0,z在上半平面内,已知f(z)在上半平面分析,所以F(z0)f(z0),从而F(z)f(z)在下半平面内剖析.2.证明令f(z)6z3,(z)z4,那么f(z)与(z)在全平面剖析,优秀文档合用标准文案且在C1:z2上,f(z)15(z)16,故在z2内N(f,C1)N(,C1)4.在C2:z1上,f(z)3(z)1,故在z1内N(f,C2)N(f,C2)1.所以f在1z2内仅有三个零点,即原方程在1z2内仅有三个根.?复变函数?考试一试题〔五〕参照答案一.判断题.1．√２．√３．×４．√５．×6．×７．×８．√９．√10．√.二.填空题.1.2,,13i;2.a2ki(kz,a为任意实数);33.(2k1)i,(kz);4.2ki,(kz);5.0;6.0;7.亚纯函数;8.(1)nz2n(z1);9.0;10.2in10n.n01三.计算题.1.解令zabi,那么wz122a(1bi)12a(1)b21122(a22a(2.2z1z1(a1)b1)b1)bz112(a1)z1)2b2.故Re()2b2,Im(2bz1(a1)z1(a1)2.解连接原点及1i的直线段的参数方程为z(1i)t0t1,故Rezdz1i)t](1i)dt(1i)11iRe[(1tdt.c002dz.当a3.令zei,那么d0时iz(za)(1az),12acosa21a(zz1)a21dzz1,且在圆z1内f(z)只以za为一级极点,故Iz1(za)(1az)(za)(1az)i在z1上无奇点,故Resf(z)11,(0a1),由残数定理有1azza1a2zaI12iResf(z)22,(0a1).iza1a4.解令f(z)z,那么f(z),(z)在z1内剖析,且在C:z1上,(z)1f(z),所以在z内,N(f,C)N(f,C)1,即原方程在z1内只有一个根.1四.证明题.1.证明因为u(x,y)x2y2,v(x,y)0,故ux2x,u2y,vxvy0.y这四个偏导数在z平面上各处连续,但只在z0处满足C.R.条件,故f(z)只在除了优秀文档合用标准文案0外各处不可以微.2.证明取rR,那么对所有正整数kn时,f(k)k!f(z)k!Mrn(0)zk1dzrk.2zr于是由r的任意性知对所有kn均有f(k)(0)0.n故f(z)cnzn,即f(z)是一个至多n次多项式或常数.k0?复变函数?考试一试题〔六〕参照答案一、判断题：1.√2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.×二、填空题：1.1ei2.z6.m1阶7.整函数8.9.010.欧拉公式三、计算题：2i1151.解：因为9361,66故lim(2i)n0.62.解：1i23,f(z)1f()d2iCz3271Czd.所以f()2i271)(3故f(z)2i(3z27z1)f(1i)2i(6z7)1i2i(136i)2(613i).ez1ez(1z1)3.解：z22ziiRe((z),i)ei.sf24.解：sinz3(1)n(z3)2n1,n0(2n1)!sinz3(1)nz6n3.z6n0(2n1)!优秀文档合用标准文案5．解：设zxiy,那么w22xy

z1x1iy(x2y21)2yi.z1z1iy(x1)2y21Imw2y2.y2,(x2y1)6．解：eicos()isin()1(13i).3332四、1.证明：设f(z)9z6,(z)z76z31,那么在z1上，f(z)9,(z)1618,即有f(z)(z).依照儒歇定理，f(z)与f(z)(z)在单位圆内有同样个数的零点，而f(z)的零点个数为6，故z79z66z310在单位圆内的根的个数为6.2.证明：设v(x,y)abi，那么vxvy0,因为f(z)uiv在内D剖析，所以(x,y)D有uxvy0,uyvx0.于是u(x,y)cdi故f(z)(ac)(bd)i，即f(z)在内D恒为常数.3.证明：因为z0是f(z)的m阶零点，从而可设f(z)(zz0)mg(z)，其中g(z)在z0的某邻域内剖析且g(z0)0，于是111f(z)(zz0)mg(z)由g(z0)0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)1在内D1剖析，故0，所以g(z)z0为1的m阶极点.f(z)?复变函数?考试一试题〔七〕参照答案一、判断题：1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.×二、填空题：1.ei2.z13.2i4.15.1优秀文档合用标准文案6.m1阶7.整函数8.9.0110.(n1)!三、计算题：1.解：(1i)2(1i)2ii0.222.解：1i23,f(z)1f()d2iCz327z1d.C所以f()2i271)(3故f(z)2i(3z27z1)f(1i)2i(6z7)1i2i(136i)2(613i).ezzn3.n0n!111,解：z2z2z2z2所以Res(f(z),0)1.4.解：z12111)(z2)z1z21z(zz(11)2z因为1z11,z1.2，从而2z所以在1z2内有z1(1nzn1n1)zn)].(z1)z(2)z)()[(z(20zn02n0nz1x1iy(x2y21)2yi.5．解：设zxiy,那么wz1iy(x1)2y2z1优秀文档合用标准文案Rewx2y21Imw2y2.(x2y2,(x2y1)1)6.解：设zei，那么ddz,cos1(z1)，dizdz2z2idz220acosz1iz2az1z1z22az1za1，故奇点为z0a21a2d4Resf(z)4120acos2a21a21.zz0四、证明题：1.证明：设f(z)24z7,g(z)9z66z3z21,那么在z1上，f(z)24,g(z)961117,即有f(z)g(z).依照儒歇定理知在z1内f(z)与f(z)g(z)在单位圆内有同样个数的零点，而在z1内f(z)的零点个数为7，故24z79z66z3z210在单位圆内的根的个数为7.2.证明：设f(z)u2v2c，那么2uux2vvx0,2uuy2vvy0.f(z)在地域D内剖析，从而有uxvy,uyvx将此代入上上述两式得uuxvuy0,uuyvux0.所以有ux0,uy0,于是有vx0,vy0.即有uc1,vc2,f(z)c1ic2故f(z)在地域D恒为常数.3.证明：因为z0是f(z)的m阶零点，从而可设f(z)(zz0)mg(z)，优秀文档合用标准文案其中g(z)在z0的某邻域内剖析且g(z0)0，于是111(zz0)mg(z)f(z)由g(z0)0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)01在内D1剖析，故，所以g(z)1的m阶极点.z0为f(z)五、计算题解：依照线性变换的保对称点性知i关于实轴的对称点i应该变到w0关于圆周的对称点w，故可设wkzii?复变函数?考试一试题〔八〕参照答案一、判断题：1.√2.×3.√4.×5.√6.√7.√8.×9.√10.×二、填空题：1.1ei2.z0，(iz)2k0,n1z.510.k=02i,n1三、计算题：1.解：因为ez1sinz在z1剖析，所以ez1sinzdz0z111dz1(zdz1而4)2iz3(z1)(z4)2iz3(z1)3所以ez1sinzdz1dz1.z12iz3(z1)(z4)32.解：1i23,f(z)1if( )d2CzC3271d.z所以f()2i271)(3故f(z)2i(3z27z1)优秀文档合用标准文案f(1i)2i(6z7)1i2i(136i)2(613i).3.解：f(z)ezez(11)z2121zz1e,e1,Res(fz( ),1)sRfez(( ),1)22所以Res(f(z),)(ee1)e1e.2224.解：z101111z1211111z12122122(z1)(z2)z1z2zz11zz2因为2z，从而11,21zz2所以在2z内有z10111z1112n22(n11)nn1n(2)( )1z2)]2( )z2[2z(1111(z1)z(2)zn0zn0zn0z5．解：设zxiy,那么wz1x1iy(x2y21)2yi.z1z1iy(x1)2y2Rewx2y21,Imw2y2.(x2y2(x2y1)1)6．解：设zeix,那么dzieixdxizdxsinx02

(z1)2izdx12dxsin2x202sin2x112izdzdz21izz24iz14iz11zz1z2在z1内

z2

只有z(32)i一个一级极点4iz1Res[f(z),(32)i]i23dx2ii所以2x233.02sin优秀文档合用标准文案四、证明：1.证明：设f(z)15z7,g(z)5z6z56z31,那么在z1上，f(z)15,g(z)13,即有f(z)g(z).依照儒歇定理知在z1内f(z)与f(z)g(z)在单位圆内有同样个数的零点，而在z1内f(z)的零点个数为7，故15z75z6z56z310在单位圆内的根的个数为72.证明：因为f(z)u(x,y)iv(x,y)，在D内连续,所以(x0,y0)D,0,0.当xx0,yy0时有f(x,y)f(x0,y0)u(x,y)u(x0,y0)i[v(x,y)v(x0,y0)]1{[u(x,y)u(x0,y0)]2[v(x,y)v(x0,y0)]2}2,从而有u(x,y)u(x0,y0),v(x,y)v(x0,y0).即与在连续，由(x0,y0)D的任意性知u(x,y)与v(x,y)都在D内连续3.证明：因为z0是f(z)的m阶零点，从而可设f(z)(zz0)mg(z)，其中g(z)在z0的某邻域内剖析且g(z0)0，于是111f(z)(zz0)mg(z)由g(z0)0可知存在z0的某邻域D1，在D1内恒有g(z)0，所以1在内D1剖析，故g(z)z01的m阶极点.为f(z)54五、解：1.设z4，那么将地域{z:0argz}保形照射为地域{z:0arg}5优秀文档合用标准文案2.设weii,那么w将上半平面保形变换为单位圆w1.i所以所求的单叶函数为5iz4iwe5.z4i优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔九〕参照答案一、判断题〔20分〕1、×2、×3、√4、√5、√6、√7、√8、√9、×10、√二、填空题〔20分〕1、ezi、zk,k0,1,2,、2、、1234156、m17、整函数8、c9、810、e三、计算题〔30〕1、解：2i51,lim(2i)n0.66n62、解：1i23,f(z)1f()d2iCz3271d.z所以f()2i271)(3故f(z)2i(3z27z1)f(1i)2i(6z7)1i2i(136i)2(613i).3、解：ezez.f(z)i)(zz21(zi)Res(f(z),i)iei,Res(f(z),i)iei.224、解：z12111)(z2)z1z21z(zz(1)z12因为1z2，从而11,z1.z2所以在1z2内有z11n(zn1n1)zn)].(z1)z(2)zn0( ))[(z(2zn02n05、解：设zxiy,那么wz1x1iy(x2y21)2yi.z1z1iy(x1)2y2优秀文档合用标准文案Rewx2y21Imw2y2.(x2y2,(x2y1)1)6、解：设f(z)z2z2,那么f(z)在Imz0内有两个一级极点z13i,z2i，z410z29Res(f(z),3i)37i,Res(f(z),i)1i,4816所以，依照留数定理有z2z2dz2i(37i1i).z410z2948166四、证明题〔20分〕1、证明：设f(z)9z6,(z)z76z31,那么在z1上，f(z)9,(z)1618,即有f(z)(z).依照儒歇定理，f(z)与f(z)(z)在单位圆内有同样个数的零点，而f(z)的零点个数为6，故z79z66z310在单位圆内的根的个数为6.2、证明：设u(x,y)abi，那么uxuy0,因为f(z)uiv在内D分析，所以(x,y)Duxvy0,uyvx0.有于是v(x,y)cdi故f(z)(ac)(bd)i，即f(z)在内D恒为常数.3、证明：因为z0是f(z)的m阶零点，从而可设f(z)(zz0)mg(z)，其中g(z)在z0的某邻域内剖析且g(z0)0，于是111f(z)(zz)mg(z)0由g(z0)0可知存在z的某邻域D1，在D1内恒有g(z)01在内D1剖析，故，所以0g(z)1的m阶极点.z0为f(z)五、计算题〔10分〕优秀文档合用标准文案解：1、设zi,那么将地域{z:2Imz}保形变换为地域{:0Imz}.222、设te,那么t将地域{:0Imz2}保形变换为地域D{t:0argt}.23st,那么s将D保形变换为上半平面,,所求的单叶函数为、设2所以weisieit2ieie2ieie2zi.sit2ie2ie2zi优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔十〕参照答案一、判断题〔40分〕：1.√2.√3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.√二、填空题〔20分〕：1.2i2.z3.zi4.15.1(1z)21)!(n三、计算题〔40分〕1.解：f(z)z在z2上剖析，由cauchy积分公式，有9z22zzdz922izdz5z2(9z2)(zi)z2zi9z2zi2.解：设f(z)eiz，有Res(f,i)ei2ie1z22i2nn3.解：1i1i(cosisin)n(cosisin)n224444cosnisinncosnisinn2cosn444444.解：u2x，u2yy2xx2y2yx2(x,y)(x,y)2y2xv(x,y)uydxuxdycx2dxdyc(0,0)(0,0)y2x2y2y2xdycyc0x2y22arctanxf(1i)u(1,1)iv(1,1)ln2i(2arctan1c)ln2故c2，v(x,y)2arctany2x5.解：令f(x)5z，g(z)z41那么f(x)，g(z)在z1内均剖析，且当z1时f(z)5z41z41g(z)由Rouche定理知z45z10根的个数与5z0根的个数同样.故z45z10在z1内仅有一个根.优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔十一〕参照答案一、1．×2．√３．×４．√５．√二、1．12．３．u1４．u122５．zk4a(cos2k4isin2k4)(k0,1,2,3)６．1７．2n21８．1539.(a)10.m(a)三、1．解：ux2,uyx2y22xyxyv(x,y)(x,y)uydxuxdyC(0,0)(x,y)ydxxdyC(0,0)x2y2x2y2y2xdyCarctanyC.0xy2x又f(1i)u(1,1)iv(11i(arctan1C)1ln2ln2.2arctany2故C,(,).4x42.解:(1)tan2zsin2z奇点为z(2k1),k0,1对任意整数k,cos2z2z(2k1)为二阶极点,z为本性奇点.2(2)奇点为z01,zk2ki,(k0,1)z1为本性奇点,对任意整数k,zk为一级极点,z为本性奇点.3.(1)解:f(z)z19共有六个有限奇点,且均在内C:z4,(z21)4(z42)3由留数定理,有z4f(z)dz2i[Res(f,)]优秀文档合用标准文案将f在z的去心邻域内作Laurent张开f(z)z19z8(112)4z12(124)3zz11z(112)4(124)3zzz41(1410)(16)zz2z4z4z84zz3所以Res(f,)C11z4f(z)dz2i(2)解:令zei,那么Id11cos220

.d01cos214zdz2C:z1i(z46z21)2u那么4zdz2du,故再令z422i(z6z1)i(u6u1)I122du2du2C:z1i(u26u1)iCu26u1由留数定理,有I2iRes(f,38)12422i44.解：儒歇定理：设c为一条围线，假设函数f与均在c内部及c上剖析且(z)f(z)，zc，那么f(z)(z)与f(z)在c内部的零点个数同样.令f(z)5z4,g(z)z7z22那么f(z),g(z)在z1内剖析且当z1时f(z)572272g(,z)zzzz2由儒歇定理z75z4z220的根个数与5z40根个数同样优秀文档合用标准文案故z75z4z220在z1内有4个根.四、1.证明:f(z)u(x,y)iv(x,y)u*iv*u*u(x,y),v*v(x,y)u*ux,u*uy,v*v,v*vyxyxxy由f(z)u(x,y)iv(x,y)在上半平面内剖析,从而有uxvy,uyvx.所以有ux*vy*,uy*vx*故f(z)在下半平面内剖析.2.证明:(1)r1r2,0r1r2R那么M(r1)maxf(z)maxf(z)zr1zr1M(r2)maxf(z)maxf(z)zr2zr2故M(r2)M(r1),即M(r)在[0,R)上为r的上升函数.(2)若是存在r1及r2(0r1r2R)使得M(r1)M(r2)那么有maxf(z)maxf(z)zr2zr1于是在r1zr2内f(z)恒为常数,从而在zR内f(z)恒为常数.优秀文档合用标准文案?复变函数?考试一试题〔十二〕参照答案一、判断题.1.×2.×3.×4.√5.×二、填空题.1.12.()3.f(z)14.0,zz5.in219.本性10.三、计算题.1argz2ki1.解：wkz5e5k0,1,2,3,由511得1e2ki5从而有k2144133)1iw2(1i)210e5i210(cosisin44542.解：〔1〕f(z)Lnz的各剖析分支为fk(z)lnz2k，(k0,1,).z21z21z1为f0(z)的可去奇点，为fk(z)的一阶极点(k0,1,)。Res(f0(z),1)0Res(fk(z),1)ki(k1,2,)〔2〕ResezRes1zn1zn1zn1n0n!n!z0z03.计算以下积分解：〔1〕f(z)z711)3(z22)132(z2z(1(1z2)2)zRes(f,)C11f(z)dz2i[Res(f,)]2iz2〔2〕设f(z)z2z2a2)2(zai)2(zai)2(z2令(z)z2，(z)2aizai)2(zai)3(z优秀文档合用标准文案(ai)2(ai2)1那么Res(f,ai)(2ai)3i1!4af(z)dz2iRes(f,ai)Imz02ax2dx(x2a2)22a4