2020高中数学 11 函数的奇偶性（含解析）1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE7-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业(十一）函数的奇偶性(建议用时:60分钟）［合格基础练］一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是（）A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝－eq\f（2,x）B[对于函数y＝｜x｜＋1，f(－x）＝｜－x|＋1＝|x|＋1＝f（x)，所以y＝|x|＋1是偶函数,当x〉0时，y＝x＋1，所以在（0，＋∞)上单调递增．另外函数y＝x3不是偶函数，y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减,y＝－eq\f(2，x)不是偶函数．］2．已知y＝f(x）,x∈（－a,a)，F（x）＝f（x)＋f(－x），则F(x)是（)A．偶函数 B．奇函数C．即是奇函数也是偶函数 D．非奇非偶函数A［F（－x）＝f(－x）＋f（x)＝F(x）．又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．］3。偶函数f(x）在区间［0,＋∞）上的图象如图，则函数f(x)的单调增区间为（）A．［1，＋∞） B．［－1，0］C．［－1，＋∞） D．［－1,0]和［1，＋∞)D［偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x）的增区间为[－1,0］和［1，＋∞）．]4．若函数f(x）＝eq\f（x,2x＋1x－a)为奇函数,则a＝()A．－eq\f(1，2) B．－1C．eq\f（1,2） D．1C[函数f（x）的定义域为eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(x≠－\f(1,2)，且x≠a））））。又f（x）为奇函数,定义域应关于原点对称,∴a＝eq\f（1,2）。］5．给出函数f(x）＝|x3＋1｜＋｜x3－1｜,则下列坐标表示的点一定在函数y＝f（x)的图象上的是（)A．（a，－f（a)) B．（a，f(－a))C．(－a，－f(a）) D．(－a，－f（－a）)B［∵f(x）为偶函数，∴f(－a）＝f(a）,∴(a,f(－a））一定在y＝f(x)的图象上．]二、填空题6．函数f（x）在R上为奇函数，且f（x)＝eq\r（x)＋1,x〉0，则当x〈0时，f（x)＝________.－eq\r（－x）－1［当x〈0，即－x〉0时，f(－x）＝eq\r(－x)＋1.∵f(x）为R上的奇函数，∴f（－x）＝－f(x),即－f(x)＝eq\r(－x)＋1，∴f(x)＝－eq\r(－x)－1，(x<0)．]7．已知f（x）＝x2017＋ax3－eq\f（b，x)－8，f(－2)＝10，则f（2)＝________。－26［f（－2）＝10，∴－22017－8a＋eq\f（b，2)－8＝10，∴－22017－8a＋eq\f(b,2）＝18,f(2）＝22017＋8a－eq\f（b,2)－8＝－18－8＝－26.］8．若函数f(x)是偶函数,g(x）是奇函数(f（x)，g(x)的定义域相同），且f(x）＋g(x）＝eq\f(1，x－1），则f（x）＝________.eq\f（1,x2－1)［∵f（x)＋g（x)＝eq\f（1,x－1），①以－x代替x,得f（－x）＋g（－x）＝eq\f(1,－x－1）。又f(x)为R上的偶函数,g（x）为R上的奇函数，∴f(x）－g(x）＝－eq\f（1，x＋1）.②由①＋②，得2f(x)＝eq\f(1,x－1）－eq\f（1,x＋1）＝eq\f(2,x2－1)。∴f(x）＝eq\f（1,x2－1）。］三、解答题9．判断下列函数的奇偶性．（1）f（x)＝3，x∈R；（2）f（x）＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3］；(3）f(x）＝｜2x－1｜－｜2x＋1｜;（4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2，,0，，x2－1，）)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(x〉0，,x＝0，,x<0。））［解](1)∵f(－x）＝3＝f(x)，∴f（x）是偶函数．（2）∵x∈[－3，3]，f（－x)＝5（－x）4－4(－x）2＋7＝5x4－4x2＋7＝f（x），∴f（x)是偶函数．（3)∵f（－x)＝|－2x－1|－｜－2x＋1｜＝－(|2x－1|－｜2x＋1｜)＝－f（x），∴f（x)是奇函数．（4)当x〉0时,f（x)＝1－x2，此时－x<0，∴f（－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x);当x<0时,f(x)＝x2－1，此时－x>0,f(－x）＝1－（－x）2＝1－x2，∴f(－x）＝－f（x)；当x＝0时，f（－0)＝－f(0）＝0.综上，对任意x∈R，总有f（－x)＝－f(x)，∴f(x）为R上的奇函数．10．设函数f（x）在R上是偶函数,在区间（－∞,0）上递增，且f(2a2＋a＋1）<f（2a2－2a＋3）,求a的取值范围．[解]由f（x）在R上是偶函数，在区间(－∞，0）上递增，可知f(x)在（0,＋∞)上递减．∵2a2＋a＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a＋\f（1，4）））eq\s\up8（2）＋eq\f（7,8）>0，2a2－2a＋3＝2eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（a－\f（1,2）))eq\s\up8(2）＋eq\f（5,2)〉0，且f（2a2＋a＋1)<f（2a2－2a＋3）,∴2a2＋a＋1>2a2－2a＋3，即3a－2〉0，解得a〉eq\f(2,3)。[等级过关练]1．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x＋1)．若f(a）＝－2，则实数a为（)A．－1 B．2C．－1或2 D．不存在A[假设a≥0，则f(a)＝a(a＋1)＝－2，即a2＋a＋2＝0，方程无解,所以a≥0不成立，因此a<0，则－a〉0,所以f(－a)＝－a(－a＋1），由奇函数f(－a)＝－f（a)，即f（－a)＝a2－a＝2,解得a＝－1或a＝2（舍)．]2．已知f（x）,g(x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g(x)＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g(1）＝(）A．－3 B．－1C．1 D．3C［∵f（x）－g(x）＝x3＋x2＋1,∴f(－x）－g(－x)＝－x3＋x2＋1。∵f（x）是偶函数，g（x)是奇函数，∴f（－x）＝f（x),g(－x）＝－g（x)．∴f(x)＋g（x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1）＋g（1)＝－1＋1＋1＝1.］3．已知函数y＝f（x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．0［由于偶函数的图象关于y轴对称,所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此四个交点中，有两个在x轴的负半轴上,另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0。]4．定义在R上的奇函数f（x),当x〉0时,f（x)＝2，则奇函数f(x)的值域是________．{－2,0，2｝［奇函数的图象关于原点对称，所以当x〈0时，f(x)＝－2，又定义域为R，所以f(0）＝0，因此函数的值域为｛－2，0，2｝．]5．已知f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x)＝x2＋3x＋2。若当x∈[1，3]时，n≤f(x)≤m恒成立，求m－n的最小值．[解］当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f（3,2)））eq\s\up8(2)－eq\f(1，4），∴当x∈［－3，－1]时，f（x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1