2020高中数学 10 等差数列的性质（含解析）5

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE7-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业（十)等差数列的性质（建议用时：60分钟）[基础达标练]一、选择题1．在等差数列{an｝中，a1＋a9＝10,则a5的值为()A．5B．6C．8D．10A[由等差数列的性质,得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10,即2a5＝10，∴a5＝5.］2．数列｛an｝满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9,则log6(a5＋a7＋a9）的值是(）A．－2B．－eq\f(1，2)C．2D．eq\f（1，2)C［∵an＋1－an＝3,∴{an｝为等差数列，且d＝3。a2＋a4＋a6＝9＝3a4，∴a4＝3，a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d）＝3(3＋3×3）＝36，∴log6（a5＋a7＋a9)＝log636＝2。]3．在等差数列{an｝中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝（）A．5B．8C．10D．14B[由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.]4．已知等差数列{an｝的公差为d（d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于（）A．8B．4C．6D．12A［因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8。］5．下列说法中正确的是（）A．若a，b,c成等差数列，则a2，b2,c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列,则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b,c成等差数列,则a＋2,b＋2,c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列,则2a，2b，2c成等差数列C[因为a,b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4,即2(b＋2）＝(a＋2）＋（c＋2），所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．]二、填空题6．若三个数成等差数列,它们的和为9，平方和为59,则这三个数的积为________．－21［设这三个数为a－d，a，a＋d,则eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a－d＋a＋a＋d＝9,,（a－d)2＋a2＋（a＋d)2＝59。))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（a＝3，，d＝4））或eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（a＝3，，d＝－4.)）∴这三个数为－1，3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21。]7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为________．1或2[∵a，b,c成等差数列,∴2b＝a＋c,∴Δ＝4b2－4ac＝（a＋c)2－4ac＝(a－c）2≥0。∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2。]8．在通常情况下,从地面到10km高空，高度每增加1km，气温就下降某一个固定数值．如果1km高度的气温是8。5℃，5km高度的气温是－17。5℃，则2km,4km,8km高度的气温分别为________、________、________．2℃－11℃－37℃[用｛an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8。5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8。5＋4d＝－17。5，解得d＝－6。5，∴an＝15－6。5n.∴a2＝2,a4＝－11，a8＝－37，即2km，4km，8km高度的气温分别为2℃，－11℃,－37℃.］三、解答题9．已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．[解]∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9,即（a4－2d)(a4＋2d)＝9，（5－2d)（5＋2d）＝9，解得d＝±2.若d＝2,an＝a4＋(n－4）d＝2n－3；若d＝－2,an＝a4＋（n－4)d＝13－2n.10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．［解］设这四个数为a－3d，a－d,a＋d，a＋3d（公差为2d）,依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d）＝－8,即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1,∴d＝1或d＝－1。又四个数成递增等差数列，所以d〉0，∴d＝1，故所求的四个数为－2，0，2,4。[能力提升练］1．已知等差数列{an｝满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(）A．a1＋a101〉0 B．a2＋a101〈0C．a3＋a99＝0 D．a51＝51C[根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因为a3＋a99＝2a51＝0，故选C.］2．在等差数列｛an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq\f（1,3）a11的值为()A．14B．15C．16D．17C［设公差为d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－eq\f(1，3)a11＝(a8＋d）－eq\f(1,3)（a8＋3d）＝eq\f（2,3)a8＝16.]3．若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m,b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2,则eq\f(d1，d2)的值为________．eq\f(4，3）［n－m＝3d1，d1＝eq\f（1，3)(n－m）．又n－m＝4d2,d2＝eq\f（1，4）(n－m)．∴eq\f(d1,d2）＝eq\f（\f（1,3）（n－m），\f(1,4)(n－m））＝eq\f(4,3）.]4．《九章算术》“竹九节"问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升,则第5节的容积为________升．eq\f(67，66）[设自上而下各节的容积构成的等差数列为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8,a9。则eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝3，，a7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13，22),，d＝\f(7,66），））故a5＝a1＋4d＝eq\f（67，66).]5．两个等差数列5，8，11,…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？[解］设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn}，c1＝11，又等差数列5，8，11，…的通项