2020高中数学 9 计算导数（含解析）2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE7-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业（九）（建议用时:60分钟)［基础达标练］一、选择题1．下列结论正确的是(）A．若y＝cosx,则y′＝sinxB．若y＝sinx，则y′＝－cosxC．若y＝eq\f(1,x)，则y′＝－eq\f(1，x2)D．若y＝eq\r（x)，则y′＝eq\f(\r（x)，2)C［∵(cosx）′＝－sinx，∴A不正确；∵(sinx）′＝cosx,∴B不正确；∵（eq\r(x))′＝eq\f（1,2\r（x）），∴D不正确．]2．在曲线f（x)＝eq\f（1,x）上切线的倾斜角为eq\f（3，4)π的点的坐标为（)A．(1，1） B．(－1，－1）C．(－1，1) D．（1,1）或（－1，－1）D[切线的斜率k＝taneq\f（3，4)π＝－1，设切点为（x0，y0)，则f′（x0）＝－1,又f′(x）＝－eq\f(1,x2)，∴－eq\f(1，x\o\al(2,0））＝－1，∴x0＝1或－1，∴切点坐标为（1，1)或（－1,－1)．故选D.]3．对任意的x,有f′（x）＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为(）A．f(x）＝x3 B．f(x）＝x4－2C．f(x)＝x3＋1 D．f（x）＝x4－1B[由f′（x）＝4x3知f（x）中含有x4项,然后将x＝1代入选项中验证可得，选B.]4．已知曲线y＝x3在点(2，8）处的切线方程为y＝kx＋b,则k－b＝（)A．4 B．－4C．28 D．－28C［∵y′＝3x2,∴点(2，8)处的切线斜率k＝f′(2）＝12．∴切线方程为y－8＝12（x－2）,即y＝12x－16，∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28。］5．若f（x）＝sinx，f′（α）＝eq\f(1,2）,则下列α的值中满足条件的是()A.eq\f（π，3） B.eq\f(π,6）C。eq\f(2，3）π D.eq\f（5，6)πA[∵f（x)＝sinx,∴f′（x)＝cosx.又∵f′（α）＝cosα＝eq\f(1,2），∴α＝2kπ±eq\f(π，3)（k∈Z)．当k＝0时，α＝eq\f(π,3)。］二、填空题6．曲线y＝2lnx在点(1，0)处的切线方程为________．y＝2x－2[∵y＝2lnx，∴y′＝eq\f(2，x)，当x＝1时，y′＝2．∴曲线y＝2lnx在点（1,0）处的切线方程为y＝2x－2．］7．直线y＝eq\f（1,2）x＋b是曲线f（x)＝lnx（x＞0）的一条切线,则实数b＝________.ln2－1［设切点坐标为(x0，y0），则y0＝lnx0.∵y′＝(lnx)′＝eq\f（1，x）,∴f′（x0)＝eq\f（1，x0）,由题意知eq\f（1，x0)＝eq\f(1，2），∴x0＝2,y0＝ln2．由ln2＝eq\f（1，2）×2＋b,得b＝ln2－1．]8．已知函数y＝f(x）的图像在M(1,f（1）)处的切线方程是y＝eq\f（1,2）x＋2，则f（1)＋f′(1)＝__________。3[依题意知，f（1)＝eq\f（1，2)×1＋2＝eq\f（5,2)，f′（1)＝eq\f(1,2），∴f（1)＋f′(1）＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2）＝3。]三、解答题9．求下列函数的导数．（1)y＝xeq\r(x)；（2）y＝eq\r(5,x3）；(3)y＝log2x2－log2x；（4）y＝－2sineq\f（x,2)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f（x,4)）).[解](1）y′＝(xeq\r（x））′＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（xeq\s\up12(eq\f(3，2））））eq\s\up12(′）＝eq\f(3，2）xeq\s\up12(eq\f(3，2)－1）＝eq\f(3，2）eq\r（x)。(2)y′＝(eq\r（5,x3））′＝（xeq\s\up12(eq\f（3,5)))′＝eq\f（3,5)xeq\s\up12（eq\f（3,5）－1）＝eq\f（3,5）xeq\s\up15（－eq\f(2，5))＝eq\f(3，5\r(5，x2））.(3)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝（log2x）′＝eq\f(1,xln2）。（4)∵y＝－2sineq\f(x,2)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－2cos2\f（x，4)）)＝2sineq\f（x，2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2cos2\f（x，4）－1))＝2sineq\f(x,2）coseq\f（x，2）＝sinx,∴y′＝（sinx)′＝cosx。10．若曲线y＝xeq\s\up12(－eq\f（1,2)）在点（a，aeq\s\up12(－eq\f(1，2))）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,求a的值．[解]y′＝－eq\f（1,2）xeq\s\up12(－eq\f(3，2)),所以曲线y＝xeq\s\up12（－eq\f（1,2)）在点（a，aeq\s\up12(－eq\f（1，2）））处的切线方程为y－aeq\s\up12(－eq\f(1，2)）＝－eq\f（1，2）aeq\s\up12（－eq\f（3，2))(x－a）．由x＝0得y＝eq\f(3，2)aeq\s\up12(－eq\f(1,2）），由y＝0得x＝3a，所以eq\f(1，2）·eq\f（3，2）aeq\s\up12(－eq\f(1,2）)·3a＝18，解得a＝64.［能力提升练]1．设f0(x）＝sinx，f1（x)＝f0′(x)，f2（x）＝f1′(x），…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2016(x)＝(）A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosxA[f0（x)＝sinx，f1(x）＝f0′（x）＝(sinx）′＝cosx，f2（x）＝f1′（x）＝（cosx）′＝－sinx,f3(x)＝f2′(x）＝(－sinx）′＝－cosx，f4（x）＝f3′（x）＝(－cosx)′＝sinx,所以4为最小正周期,故f2016(x)＝f0（x）＝sinx．］2．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线,则实数k的值为（）A．eq\f(1,e) B．－eq\f(1，e）C．－e D．eD[y′＝ex,设切点为（x0，y0)，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝keq\s\up8（x0），，y0＝eeq\s\up8（x0)，，k＝eeq\s\up8(x0)，))∴eeq\s\up8(x0)＝eeq\s\up8（x0)·x0,∴x0＝1，∴k＝e.］3．已知函数f(x)＝tanx，则f（x)的图像在点eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π，3），\r(3)）)处的切线方程为________．4x－y＋eq\r(3）－eq\f（4π，3)＝0［f′（x）＝eq\f（1,cos2x）,∴f′eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，3)))＝4，即所求切线的斜率为4，故切线方程为y－eq\r（3）＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f（π，3)）），即4x－y＋eq\r（3）－eq\f(4π,3)＝0。］4．点P是f(x）＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________．eq\f(3\r（2）,8）[与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为（x0，y0)，则f′(x0）＝2x0＝1，∴x0＝eq\f（1,2），y0＝eq\f（1，4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）,\f（1,4)))到直线y＝x－1的距离最短．∴d＝eq\f（\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（\f（1,2)－\f（1,4)－1））,\r（12＋12))＝eq\f(3\r(2）,8）.］5．求证：曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形面积为常数．[证明］由xy＝1，得y＝eq\f(1，x),所以y′＝－eq\f(1，x2)。在曲线xy＝1上任取一点Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x0，\f(1,x0）））,则过点P的切线的斜率k＝－eq\f(1，x\o\al（2，0))，切线方程为y－eq\f(1，x0）＝－eq\f（1，x\o\al(2，0）)（x－x0),即y＝－eq\f（1,x\o\al(2,0))x