2020高中数学 4 演绎推理（含解析）1-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE8-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业(四）（建议用时：40分钟)[基础达标练］一、选择题1．下面几种推理中是演绎推理的为()A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B．猜想数列eq\f（1,1×2），eq\f（1，2×3）,eq\f（1,3×4)，…的通项公式为an＝eq\f(1，nn＋1）（n∈N＋)C．半径为r的圆的面积S＝πr2,则单位圆的面积S＝πD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋（y－b）2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为（x－a)2＋（y－b)2＋(z－c）2＝r2［解析］A，B为归纳推理,D为类比推理,C为演绎推理．［答案]C2．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b,画线部分是演绎推理的（)A．大前提 B．小前提C．结论 D．三段论[解析]结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．［答案］B3．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提），而y＝logeq\f（1，3）x是对数函数（小前提）,所以y＝logeq\f（1，3）x是增函数（结论)．”上面推理错误的是()A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错［解析]大前提y＝logax是增函数错误，当0〈a〈1时,函数y＝logax是减函数．[答案]A4．在△ABC中，E，F分别为AB,AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为(）A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥CB［解析］三段论中的大前提是指一个已知的一般性结论,本题中指：三角形的中位线平行于第三边，故选A.［答案]A5．定义运算“⊗”为：a⊗b＝ab＋a2＋b2，若1⊗m〈3，则m的取值范围是（）A．（－2,1) B．(－1，2）C．（－2，－1） D．（1,2)[解析]依题意，1⊗m〈3，即m＋1＋m2〈3，整理得m2＋m－2〈0，解得－2<m<1,所以m的取值范围是（－2,1)．［答案]A二、填空题6．以下推理过程省略的大前提为________．因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.［解析］由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为:若a≥b,则a＋c≥b＋c。［答案］若a≥b，则a＋c≥b＋c7．命题：“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”．学生小夏这样证明：设a，b与平面α分别相交于A,B，连接AB，∵a⊥α，b⊥α，AB⊂α， ①∴a⊥AB，b⊥AB， ②∴a∥b. ③这里的证明有两个推理，即①⇒②和②⇒③.老师认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是________．［解析］②⇒③时，大前提错误,导致结论错误．［答案]②⇒③8．“如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC>BC， ①所以AD>BD， ②于是∠ACD>∠BCD。 ③则在上面证明的过程中错误的是________（填序号）．［解析］由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD〉BD”,而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．[答案］③三、解答题9．用三段论证明通项公式为an＝cqn（c，q为常数，且cq≠0)的数列{an}是等比数列．[证明］设an，an＋1是数列中任意相邻两项,则从第二项起,后一项与前一项的比是同一个常数的数列叫等比数列，(大前提)因为eq\f（an＋1，an)＝eq\f(cqn＋1,cqn)＝q(常数)，（小前提)所以｛an}是等比数列．(结论）10．已知a〉0且函数f(x）＝eq\f（2x,a)＋eq\f（a，2x)是R上的偶函数，求a的值．[解］由于f（x）是偶函数，所以f（－x）＝f（x）对x∈R恒成立，即eq\f（2－x，a)＋eq\f（a，2－x）＝eq\f(2x,a)＋eq\f(a,2x），所以eq\f(1,a·2x）＋a·2x＝eq\f(2x,a）＋eq\f(a,2x),整理得eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(a－\f（1,a)））(2x－2－x）＝0，必有a－eq\f(1,a)＝0.又因为a>0，所以a＝1.[能力提升练］1．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x）在(a，b）内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′（x）>0恒成立．因为f（x）＝x3在（－1,1）内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′（x）＝3x2〉0恒成立．以上推理中(）A．大前提错误 B．小前提错误C．结论正确 D．推理形式错误[解析]f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在（a,b)内，f′(x)≥0恒成立，故大前提错误，选A。[答案]A2．设是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有ab∈A，则称A对运算封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零）四则运算都封闭的是()A．自然数集 B．整数集C．有理数集 D．无理数集[解析］A错，因为自然数集对减法不封闭；B错,因为整数集对除法不封闭;C对,因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错，因为无理数集对加、减、乘、除法（除数不等于零)四则运算都不封闭．[答案]C3．若f（a＋b)＝f(a)f(b）(a，b∈N＊），且f(1）＝2，则eq\f(f2，f1）＋eq\f（f4，f3)＋…＋eq\f（f2020，f2019）＝________。［解析]∵f（a＋b)＝f(a）f（b)（a，b∈N＊）(大前提）．令b＝1，则eq\f（fa＋1,fa)＝f（1)＝2(小前提）．∴eq\f（f2,f1）＝eq\f(f4，f3）＝…＝eq\f(f2020，f2019)＝2(结论），∴原式＝2＋2＋…＋eq\o（2,\s\do4(1010个））＝2020.[答案］20204．设数列｛an｝的首项a1＝a≠eq\f（1,4），且an＋1＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）an，n为偶数，，an＋\f(1，4），n为奇数.)）记bn＝a2n－1－eq\f(1，4),n＝1,2，3，…。(1)求a2,a3；（2)判断数列｛bn}是否为等比数列，并证明你的结论．[解](1)a2＝a1＋eq\f（1，4）＝a＋eq\f(1,4),a3＝eq\f（1，2)a2＝eq\f(1,2）a＋eq\f（1，8）.（2)∵a4＝a3＋eq\f（1,4)＝eq\f（1，2)a＋eq\f（3，8)，∴a5＝eq\f（1,2)a4＝eq\f（1,4)a＋eq\f(3，16）.∴b1＝a1－eq\f(1，4)＝a－eq\f(1，4）≠0，b2＝a3－eq\f（1，4）＝eq\f(1,2)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,4））)，b3＝a5－eq\f（1，4）＝eq\f(1，4)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(a－\f(1,4)）)。猜想{bn}是公比为eq\f(1，2)的等比数列．证明如下：∵bn＋1＝a2n＋1－eq\f(1，4）＝eq\f(1,2）a2n－eq\f（1,4）＝eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a2n－1