2020高中数学 4 平面的基本性质（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE9-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业（四)(建议用时：60分钟）[合格基础练］一、选择题1．下面是四个命题的叙述（其中A，B表示点,a表示直线，α表示平面)，其中叙述方式和推理都正确的是(）A．Aα,Bα，∴ABαB．∵A∈α，B∈α，∴AB∈αC．∵Aα，aα,∴AaD．∵ABα，∴AαC[A错，应写为A∈α，B∈α；B错，应写为ABα；C对．D错,A有可能在α内．]2．空间四点A,B,C，D共面而不共线,那么这四点中(）A．必有三点共线 B．必有三点不共线C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线B[如图(1）（2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确,如图(1)中A，B，D不共线．(1）(2)]3．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点MA．A，M，O三点共线B．A,M，O，A1四点共面C．A,O，C，M四点共面D．B,B1，O,M四点共面D[因为A，M，O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A，M，O三点共线，从而易知A4．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是()ABCD[答案］D5．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是()ABCDA[图形A中，连结MN，PQ，则由正方体的性质得MN∥PQ。根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形A正确．分析可知图形B、C、D中这四点均不共面．］二、填空题6．经过空间任意三点可以作________个平面．一个或无数[若三点不共线，只可以作一个平面;若三点共线，则可以作出无数个平面．］7．设平面α与平面β相交于l,直线aα,直线bβ，a∩b＝M，则M________l.∈[因为a∩b＝M,aα，bβ，所以M∈α,M∈β。又因为α∩β＝l,所以M∈l.]8．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是________．共线［∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝CD。∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈ABβ，∴O∈直线CD,∴O，C,D三点共线．]三、解答题9。如图所示，点A平面BCD，E，F,G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH与FG交于点K，求证：点K在直线BD上．［证明］∵EH∩FG＝K，∴K∈EH，K∈FG.∵E∈AB，H∈AD，∴EH平面ABD，∴K∈平面ABD.同理，K∈平面BCD.又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴K在直线BD上．10．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E,F，B［证明]因为D1,E，F三点不共线,所以D1，E，F三点确定一个平面α.由题意得,D1E与DA共面于平面A1D且不平行,如图．分别延长D1E与DA相交于G，所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.同理设直线D1F与DC的延长线交于H，则H∈平面α又点G,B，H均在平面AC内,且点E是AA1的中点,AA1∥DD1，所以AG＝AD＝AB,所以△AGB为等腰直角三角形，所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.又∠ABC＝90°，所以G,B，H共线于GH，又GH平面α，所以B∈平面α,所以D1，E,F，B共面．［等级过关练]1．下列命题中是假命题的为(）A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α,则lαB．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β,则α∩β＝ABC．若lα，A∈l，则A∈αD．若A,B,C∈α，A，B,C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合C[C中A是l和α交点时，A∈α.]2．平面α∩平面β＝l,点M∈α，N∈α，点P∈β且Pl,又MN∩l＝R，过M,N,P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝（）A．l B．PRC．PN D．PMB［如图，MNγ，R∈MN，∴R∈γ.又R∈l，∴R∈β.又P∈γ，P∈β,∴β∩γ＝PR.］3．如图所示,已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点,平面α经过D，E两点,若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．P∈DE［因D，E两点都在α内，也都在平面ABC内,故DE是平面ABC与平面α的交线．又∵P在α内，也在平面ABC内，故P点在平面ABC与平面α的交线DE上．]4．正方体ABCD。A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么过P，Q，正六边形[如图所示，取C1D1的中点E，连结RE，REPQ，∴P，Q，E，R共面．再取BB1，DD1的中点F，G。∵PF∥AB1∥QR且GE∥C1D∥QR，∴GE∥PF,综上E，G，F，P，Q，R共面，又∵QP＝PF＝FR＝ER＝EG＝GQ＝eq\f(\r(2）,2)AB,∴截面图形为正六边形．]5．在棱长是a的正方体ABCD。A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线(1)画出交线l；(2）设l∩A1B1＝P，求PB1的长；(3)求点D1到l的距离．[解](1）如图，延长DM交D1A1的延长线于点Q，则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点．连结QN，则直线QN就是两平面的交线（2）∵M是AA1的中点，MA1∥DD1，∴A1是QD1的中点．又∵A1P∥D1N，∴A1P＝eq\f(1,2)D1N。∵N是D1C1的中点,∴A1P＝eq\f（1，4）D1C1＝eq\f（a,4)，∴PB1＝A1B1－A1P＝eq\f（3，4）a。（3)过点D1作D1H⊥PN于点H，则D1H的长就是点D1到l的距离．∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝eq\f(a,2)，∴QN＝eq\r（QDeq\o\al（