人教版数学八年级下册全套课件

16.1二次根式1⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数的正的平方根叫做它的算术平方根。⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。用(a≥0)表示。0的算术平方根平方根是0a的平方根是温故知新2

正数有两个平方根且互为相反数；

0有一个平方根就是0；

负数没有平方根。1、平方根的性质：1、16的平方根是什么?算术平方根是什么？2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。思考350米a米

塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为______________米。塔座?米4下球体S

圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为____________.5如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是b-3表示一些正数的算术平方根．a叫被开方数你认为所得的各代数式有哪些共同特点？6请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识！72.a可以是数,也可以是式.3.形式上含有二次根号.4.a≥0,≥0.

5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.1.表示a的算术平方根.(双重非负性)8下列各式是二次根式吗?(m≤0),(x,y异号)在实数范围内,负数没有平方根91、判断下列代数式中哪些是二次根式？

⑴，

⑵

（3）（4），（5）10你能将上面的的这些代数式作为被开方数构造二次根式吗？3-211求下列二次根式中字母的取值范围：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零。121、x取何值时,下列二次根式有意义?132.已知a.b为实数，且满足

，你能求出a及a+b

的值吗？若=0，则=_____。3、已知有意义,那A(a,)在

象限.二∵由题意知a＜0∴点A(－,＋)144.当x分别取下列值时，求二次根式的值：

(1)x=0(2)x=1(3)x=‐1变式练习:若二次根式的值为3，

求x的值.15练习1：求下列二次根式中字母的取值范围：16本节知识概览（1）二次根式的概念（2）根号内字母的取值范围（3）二次根式的值17二次根式的乘法16.2二次根式的乘除（1）18

1.什么叫二次根式？2.两个基本性质:复习提问=aa(a≥0)-a(a＜0)==∣a∣(a≥0)19计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律1、×=____用你发现的规律填空,并用计算器验算(a≥0,b≥0)662020＝＝一般地,对于二次根式的乘法规定:20注意:a、b必须都是非负数！算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根(a≥0,b≥0)21(a≥0,b≥0)算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根22练习:计算解:23反过来：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般的：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．2425成立吗？为什么？非负数26计算：27化简二次根式的步骤：1.将被开方数尽可能分解成几个平方数.2.应用3.将平方项应用化简.283、如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式a2=a(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简1、把被开方数分解因式(或因数)；2、把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；化简二次根式的步骤：291.化简：2.化简:（1）（2）（3）（4）3.已知一个矩形的长和宽分别是，求这个矩形的面积。练习304：如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=10cm,BC=20cm.

求：AB.

AB

C解:答：AB长cm.3116.2二次根式的乘除（2）二次根式的除法321、知识与技能：理解

（a≥0，b>0）和

（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．332、过程与方法

：

通过学生练习活动，发现规律，由特殊运算归纳出一般的除法法则，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．分析计算或化简的结果提炼最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．3、情感态度与价值观：发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣，创设探究式与合作交流的的学习气氛341、引入新课（学生活动）请同学们完成下列问题：写出二次根式的乘法法则及逆运算等式．那么二次根式除法运算有什么规律呢？请观察下列各式计算结果：35做一做36新知讲解：16.2.2二次根式的除法观察以上运算我们发现：37除法法则即两个非负数的算术平方根的商等于这两数商的算术平方根。由此可得二次根式的除法法则：38动脑想一想师：怎么运用这个法则进行二次根式除法运算呢？39例题精讲除以一个数等于乘以这个数的倒数。能约分先约分后计算。开得尽的因数、因式放在根号外40动脑想一想做一做师：同学们学会了吗？请大家小试身手。巩固训练141教师评讲42精讲精炼43例题精讲44小试牛刀

巩固训练2化简时要注意1、运算符号。2、运用公式。3、约分与开方兼顾45分享硕果学生小组合作展示学习成果教师点评结果：分母中不含根式46分享硕果整式与整式结合，根式与根式结合47再接再厉变式目的：去掉分母中根号48再接再厉49观察上面计算题化简题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：

1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．在二次根式的运算中一般要把最后结果化成最简二次根式，并且分母中不含二次根式。50学而为之用现在来看本章引言：可得它们的半径之比是

怎样把这个式子化简呢？由此可得传播半径比只与高度有关51例题精讲例3把下列各式化成最简二次根式52回顾最简二次根式的条件化简。1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．53小数化成分数再去掉分母中根号54巩固训练55（-b）2=b2565758596061最简二次根式条件：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．二次根式的除法法则6216.3二次根式的加减63

二次根式计算、化简的结果符合什么要求？（1）被开方数不含分母；

分母不含根号；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.最简二次根式复习回顾64下列根式中，哪些是最简二次根式？复习回顾√×××××√√√65把下列各根式化简66（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）最简二次根式。复习回顾67

如图，学校要砌一个正方形花坛，已知外边的正方形边长为cm，里面的正方形的边长为cm，两个正方形的周长和为多少？两个正方形的周长和为：68

若两个正方形的面积分别为27cm2、12cm2，则两正方形的周长和为多少？两个正方形的周长和为：69观察以下是什么运算？如何计算？二次根式的加法.70如何计算呢？

分析：类似8a+4a=12a，我们可以根据乘法分配律的逆用来进行运算。探究解：71如何计算呢？

分析：题中二次根式不是最简二次根式，所以先要对其进行化简。再计算。解：72讨论仿照前两题，你能算出这个题吗？有什么发现？73观察计算:有什么发现？74（3）再把被开方数相同的二次根式进行合并。即把根号外系数或字母相加减,根指数和被开方数不变一化二找三合并二次根式加减法的步骤：（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中被开方数相同的二次根式；注意:被开方数不相同的二次根式(如与)不能合并75例题讲解计算:解：76计算:加减混合运算，应从左向右依次计算。探究77解：原式=别漏了“1”.化简78解：原式=79下列解答是否正确？为什么？

错在没有按照二次根式加减混算从左向右依次进行的运算顺序计算。80

运算不完全，能合并的没有合并。81问题：现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？7.5dm5dm（化成最简二次根式）（分配律）∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．82巩固练习计算:831.计算:842853.细心算一算)432276(32)3()4554513()54180)(2()723250811()25.028)(1(32aabababa--+--++--8617.1勾股定理87弦图这个图形里蕴涵着怎样博大精深的知识呢？它标志着我国古代数学的伟大成就！88BAC图甲图乙A的面积B的面积C的面积448SA+SB=SC图甲1.观察图甲，小方格的边长为1.⑴正方形A、B、C的面积各为多少？⑵正方形A、B、C的面积有什么关系？89ABC图乙SA+SB=SCABCSA+SB=SC图甲C902.观察图乙，小方格的边长为1.⑴正方形A、B、C的面积各为多少？91625⑵正方形A、B、C的面积有什么关系？448图甲图乙A的面积B的面积C的面积91AB图乙SA+SB=SCABCSA+SB=SC图甲abcabcC922.观察图乙，小方格的边长为1.91625⑵正方形A、B、C的面积有什么关系？448图甲图乙A的面积B的面积C的面积93ABCC图乙SA+SB=SCSA+SB=SC图甲abcabc3.猜想a、b、c之间的关系？a2+b2=c2943.猜想a、b、c之间的关系？a2+b2=c295aaaabbbbcccc用拼图法证明3.猜想a、b、c之间的关系？a2+b2=c296∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab

S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4·ab+c2

=c2+2ab∴a2+b2+2ab=c2+2ab∴a2+b2=c2a2+b2+2abc2+2ab97勾股定理

如果直角三角形两直角边分别为a，

b，斜边为c，那么

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.acb98毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯

“勾股定理”在国外，尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”．

相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做“百牛定理”．

毕达哥拉斯（毕达哥拉斯，前572～前497），西方理性数学创始人，古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年．99

在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾股100abcS大正方形＝c2S小正方形＝（b-a）2S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形弦图现在我们一起来探索“弦图”的奥妙吧！101赵爽弦图证明勾股定理cba=ac数形结合思想

等积变换ba102aabbcc总统证法:∴

a2+b2=c2103

勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方。cbac2=a2+b2a2=c2－b2b2=c2-a210486算一算AC2=AB2+BC2=62+82=100∴AC=√100=10ABC求图中直角三角形的未知边的长度。在Rt△ABC中，根据勾股定理，1052.求下列直角三角形中未知边的长:可用勾股定理建立方程.方法小结:8x171620x125x106

例1

.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.(1)已知：a=6，ｂ=8，求c；

(2)已知：a=40，c=41，求b；

(3)已知：c=13，b=5，求a；

(4)已知:a:b=3:4,c=15,求a、b.例题分析(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;(2)可用勾股定理建立方程.方法小结107２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12米,则AB为()ABCA.5米B.12米C.10米D.13米1312?A试一试:108例：在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m

，求AC长．1m2mACBD在Rt△ABC中，∠B=90°,由勾股定理可知：109练习：1、求下列图中字母所表示的正方形的面积=625225400A22581B=1441102、求下图中字母所代表的正方形的面积。225400A6253.求下列图中表示边的未知数x、y的值.81144xy144169111ABCD7cm4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。49112一判断题.1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13()2.ABC的a=6,b=8,则c=10()二填空题1.在

ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,则ABC面积为_____,斜边为上的高为______.244.8ABCD1131．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=900，∠DBC=900

，AD=3，AB=4，BC=12，求CD；114选一选

已知△ABC的三边分别是a，b，c，若∠B=Rt∠，则有关系式（）A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.a2-b2=c2D.b2+c2=a2BABC115

若a=5，b=12，则c=___________.试一试在Rt△ABC中，当c是斜边时，c2=

a2+b2当b是斜边时，b2=

a2+c213或√1191165或４、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为

.43ACB43CAB117数学的和谐美118３、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为()A2、4、6Ｃ4、6、8BＢ6、8、10Ｄ8、10、12119１、本节课我们经历了怎样的学习过程？

经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。２、本节课我们学到了什么？

通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。３、学了本节课后你有什么感想？

很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育。120二填空题1.在

ABC中,C=90°,(1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.(2)若a=9,b=40,则c=______.2.在

ABC中,C=90°,若AC=6,CB=8,则ABC面积为_____,斜边为上的高为______.6841244.8121试一试：

在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC1223、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲,它高出水面1米,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米,问这里水深多少?x+1BCAH12?┓xx2+22=(x+1)21232.如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（）

A.7mB.8mC.9mD.10m8mABC8m2m1247.观察下列表格：……列举猜想3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+25……13、b、c132=b+c请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.即b=

，c=

8485125课后探索

做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。12617.2勾股定理的逆定理127回顾：勾股定理的内容是什么？结合右图，用符号语言表示勾股定理：∵∠C=90°∴a2+b2=c2128古埃及人曾用下面的方法得到直角129古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。130动手画一画

用直尺和圆规分别画出边长分别为6cm、8cm、10cm以及2.5cm、6cm、6.5cm的两个三角形.问：（1）这两个三角形的三边长都有什么关系？（2）这两个三角形都是直角三角形吗？用三角板或量角器检验一下.（3）由（1）和（2），喜欢动脑筋的你能猜想到什么结论吗？131勾股定理的逆命题

如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命题132互逆命题的定义：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。怎样得到一个命题的逆命题？把一个命题的题设和结论交换一下，即可得到它的逆命题133(1)两条直线平行，内错角相等．说出下列命题的逆命题．逆命题:内错角相等，两条直线平行.

逆命题:相等的角是对顶角.(3)对顶角相等．一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题.（真命题）（假命题）（真命题）（真命题）(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.(真命题)(假命题)134勾股定理的逆命题

如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命题135

探究：已知:△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，△ABC一定是直角三角形吗？如果是，怎样证明？证明思路：先画一个Rt△A′B′C′,使∠C′=90°

B′C′=a,C′A′=b再证△ABC≌△A′B′C′136∵∠C′=90°∴A′B′2=a2+b2∵a2+b2=c2∴A′B′2=c2∴A′B′=c∵边长取正值∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）∴∠C=∠C′=90°BC=a=B′C′CA=b=C′A′AB=c=A′B′证明:画一个Rt△A′B′C′,使∠C′=90°

,B′C′=a,C′A′=b在△ABC和△A′B′C′中∴△ABC是直角三角形（直角三角形的定义）137勾股定理的逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理（性质定理）

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命题逆定理定理（判定定理）138定理与逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.回想一下：我们学过哪几对互逆定理？139想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?互逆定理一定是互逆命题，但是互逆命题不一定是互逆定理。140例1判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝5,b＝12,

c＝13(2)a＝13,b＝16,

c＝14分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方。解：∵52＋122＝25＋144＝169132＝169∴52＋122＝152∴这个三角形是直角三角形141

下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(3)a:b:c=3:4:5___________;是是不是∠A=900∠C=900(2)a=1b=1c=_________;

像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.1421、请你写出三组勾股数；2、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么?143小结：1、勾股定理的逆定理2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题、互逆定理.4、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系：区别：（1）二者的题设和结论正好相反；（2）前者是直角三角形的性质定理，后者是直角三角形的判定定理；（3）二者的作用不同。联系：二者互为逆定理3、已学过的直角三角形的判定方法：（1）直角三角形的定义；（2）勾股定理的逆定理144

拓广延伸直角b145理由：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°∴AB2＝AC2＋BC2

＝32+42=25(勾股定理）又∵AD2

＝122

＝144∴AD2＋BA2＝144＋25＝169又BD2

＝132

＝169∴

AB2＋AD2＝BD2∴∠BAD＝90°（勾股定理的逆定理）∴AD⊥AB2、如图：∠C=90°,AC=3,BC=4,BD=13，问：AD与AB互相垂直吗？为什么？341213答：AD⊥AB1463.已知：△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，则AC边上的高为

解：作AB边上的高BD∵AD2

＋BD2

＝62＋82＝100AC2＝102＝100∴AB2+BC2=AC2∴∠ABC=90°4.814718.1.1

平行四边形的性质（1）148新课引入1、如图，你能观察到图中有我们学过的

______________________

____.

2、举出生活中常见的平行四边形的一些其它例子，有____________________平行四边形、长方形、三角形、梯形、正方形伸缩门、竹篱笆、防护栏等149学习目标1、掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质；

2、会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题.

1501、

叫做平行四边形.2、平行四边形用“_____”表示，如图，平行四边形记作：

.有两组对边分别平行的四边形ABCD知识点一平行四边形的概念

新课讲解151知识点二平行四边形的性质：平行四边形的对边

；平行四边形的对角

.

相等相等已知：如图，四边形ABCD为平行四边形.求证：AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D.1243平行四边形的性质152知识点二1243证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠1=

，∠3=

.在△ABC和△CDA中

__________________________(公共边)_____________∴△ABC≌

（）.∴AB=

，AD=

，∠B=

.∵∠1+∠4_____∠2+∠3∴∠BAD=∠BCD∠2∠4∠1=∠2AC=AC∠3=∠4△ADCASACDBC∠D=153知识点二试一试不添加辅助线直接运用平行四边形的定义证明其对角相等.已知：如图，四边形ABCD为平行四边形.求证：∠A=∠C，∠B=∠D.154知识点二证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC,AB∥CD∴∠A+∠B=180°;∠C+∠B=180°∴∠A=180°-∠B;∠C=180°-∠B∴∠A=∠C同理∠B=∠D155知识点二在□ABCD中，（1）已知AB=5，BC=3，求它的周长；练一练解：如图，∵平行四边形对边相等∴AB的对边应是CD，

BC的对边应是AD，

∴平行四边形的周长=2x（AB+BC）

=2x（5+3）

=16DCAB156知识点二（2）已知∠A=38°，求其余各内角的度数.

解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD,又∵∠A=38°∴∠D=180°-∠A=180°-38°=142°又∵平行四边形的对角相等∴∠C=∠A=38°∠B=∠D=142°DC

AB157知识点二结论已知平行四边形一个内角的度数，那么其它内角的度数也_______确定（填“能”或“不能”）.能158知识点三例1如图，在□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F.求证AE=CF.证明：∵在□ABCD中∴∠A=∠C∴AD=BC又∵DE⊥AB，BF⊥CD∴∠AED=∠CFB=90°两条平行线之间的距离DFCAEB159知识点三在△AED和△CFB中∠AED=∠CFB∠A=∠CAD=BC∴△AED≌△CFB（AAS）∴AE=CF结论

两条平行线之间的任何两________都相等.两条平行线中，______________________————————————————————，叫做这两条平行线之间的距离.

平行线段

一条直线上的任意一点到另一条直线的距离

DFCAEB160知识点三思考

两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？

联系：两条平行线间的距离可以转化点到直线的距离，再转化点与点之间的距离。区别：（1）两点之间的距离就是两点连线线段长

（2）直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离

（3）两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离.1611、___叫做平行四边形.2、平行四边形的性质：_______________________________________.3、两条平行线之间的任何两条_______都相等.两条平行线中，___________

______

___________________，叫做这两条平行线之间的距离.4、学习反思：_________________________________________.有两组对边分别平行的四边形

平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等平行线段

一条直线上的任意一点到另一条直线的距离

1621、平行四边形的对边

且

；平行四边形的对角

__，邻角

_.

平行相等相等互补2、ABCD中，若∠B=60°，则∠A＝

,∠C＝

,∠D＝

.120°60°120°1633、如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形。转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？解：AD和BC的长度相等证明：由题可知，AB//CD,AD//BC∴四边形ABCD是ABCD∴AD=BC16418.1.1

平行四边形的性质（2）165新课引入1、画一个口ABCD，在这个图形中有那些线段相等？这体现了平行四边形的哪些性质？解:如图,图中相等的线段有:AB=CD,AD=BC这体现了平行四边形的对边相等的性质1662、再画出口ABCD的对角线AC和BD，它们交于点O.你还能得到图形有哪些线段相等？解：如图，先证△AOB≌△COD可得到OA＝OC，OB＝OD1671.掌握平行四边形对角线互相平分的性质;2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．学习目标168新课讲解知识点一

平行四边形的性质平行四边形的性质：平行四边形的对角线

.互相平分169知识点一

平行四边形的性质已知：如图，在口ABCD中，对角线AC，BD交于点O.求证：OA=

，OB=

.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥_____，AB=_____(平行四边形的性质)∴∠1=∠2，∠3=∠4（）在△AOB和△COD中

____________________________________

∴_________________()∴OA=

，OB=

.（全等三角形的对应边相等）ODOCCDCD两直线平行，内错角相等∠2=∠1∠4=∠3AB＝CD△AOB≌△CODASAOCOD170知识点二平行四边形性质的应用例2如图，在口ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及口ABCD的面积．解：∵四边形ABCD是

，∴BC=AD=

，CD=

=

.∵AC⊥BC，∴ΔABC是

三角形.∴AC=

==6又OA=OC∴OA=_____=3，∴S口ABCD=

·

=8×6=48AOCBD平行四边形8AB10直角ACBCAC171知识点二

平行四边形性质的应用

1、如图，在口ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？练一练172知识点二

平行四边形性质的应用练一练1、①解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC＝10OA＝AC＝4OD＝BD＝7∴＝AD+OA+OD＝10+4+7＝21②∵AB=CDBC=BCBD-AC=14-8=6∴△DBC的周长较长，长6173知识点二

平行四边形性质的应用2、如图，口ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点0且与AB，CD分别相交于点E，F.求证OE=OF.练一练EF174知识点二

平行四边形性质的应用2、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA=OC(平行四边形的性质)∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）在△AOE和△COF中

∠AOE=∠COF﹙对顶角相等﹚

OA=OC∠EAO=∠FCO∴△AOE≌△COF(ASA)∴OE=OF（全等三角形的对应边相等）练一练1751、平行四边形的性质：平行四边形的对边

；平行四边形的对角

.2、平行四边形的性质：平行四边形的对角线

.3、学习反思：___________________________.相等相等互相平分1761、平行四边形的两条对角线把它分成的四个三角形（）A、都是等腰三角形B、都是全等三角形C、都是直角三角形D、是面积相等的三角形2、口ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，则对角线AC长为（）

A、5cmB、15cmC、6cmD、16cmDA1773、在口ABCD中，AC和BD交于点O，AB=4，△AOB的周长为16，求AC+BD的长度.解∵＝16，AB＝4∴OA+OB＝16－4＝12∵四边形ABCD是平行四边形∴AC＝2OA，BD＝2OB∴AC+BD＝2OA+2OB

＝2（OA+OB）＝2×12＝241784、判断对错（1）在口ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．（

）（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（

）（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．（

）（4）平行四边形是轴对称图形．（

）×√√×17918.1.2

平行四边形的判定（1）180新课引入有一块平行四边形的玻璃块，假如不小心碰碎了一部分，聪明的技师拿着细绳很快将原来的平行四边形画了出来，你知道他用的是什么方法吗？1811.2.学习目标掌握平行四边形的判定方法

培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题

182知识点一1、平行四边形的性质：(1)从边看：两组对边

____；两组对边

____；(2)从角看：两组对角

____；四组邻角

；(3)从对角线看：对角线

__.2、平行四边形性质的逆命题(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）(2)两组对边分别相等的四边形是

；(3)两组对角

__的四边形是

；(4)对角线

__的四边形是

.猜想：这些逆命题成立吗？可否成为平行四边形的判别方法？分别相等分别相等分别平行分别互补互相平分平行四边形分别相等平行四边形平行四边形互相平分新课讲解知识点一：

平行四边形的判定定理183证明：在△AOD和△COB中

______________________（对顶角相等）

___________∴_________________()∴∠OAD=∠______AD∥_____.

同理AB∥_____.∴四边形ABCD是

_____（平行四边形的定义）.知识点一3、利用三角形全等，根据平行四边形的定义来证明以上命题（4）.已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且OA=

,OB=

.求证：四边形ABCD是

.OCOD平行四边形∠AOD=∠COBOA=OCOD=OB△AOD≌△COBOCBBCDC平行四边形SAS184知识点一4、根据平行四边形的定义证明以上命题（2）.已知：如图，在四边形ABCD中，AB=_，AD=

.求证：四边形ABCD是

.证明：连接AC，在△ABC和△CDA中

________________________

____________（公共边）∴_________________()∴∠BAC=∠______，∠BCA=∠______∴AB∥_____,AD∥_____.∴四边形ABCD是

_____（平行四边形的定义）.

想一想以上命题（3）怎么证明？CDCB平行四边形AB=CDCB=ADAC=CA△ABC≌△CDASSSDCADACDCBC平行四边形ABCD185知识点二知识点二：平行四边形的判定定理的应用

例3

如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.ABCDEFO证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OB=ODOA=OC∵OE=OA－AEOF=OC－CFAE=CF∴OE=OF∴四边形BFDE是平行四边形思考你还有其它证明方法吗？把过程写在下面：186知识点二练一练如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA，OC的中点.求证：BE=DF.ABCDEFO证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OCAB=CDAB∥CD∴∠EAB=∠FCD∵点E、F分别是OA、OC的中点∴AE=CF∴△ABE≌△CDF∴BE=DF1871、平行四边形的判定定理：（1）__________________________________；（2）__________________________________；（3）__________________________________；（4）__________________________________；2、根据平行四边形的定义来证明平行四边形的判定定理.3、平行四边形的判定定理的应用.两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1881、如图（1），在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___

cm，CD=___

cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__

_cm，DO=__

_cm时，四边形ABCD为平行四边形．2、如图（2），AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.图中互相平行的线段有：_________________________.（1）ACDEFB（2）8454AB∥DC∥EF，ＡＤ∥BC，DE∥CF

18918.1.2

平行四边形的判定（2）190新课引入1、（1）分别从对边、对角、邻角、对角线回顾平行四边形的性质；（2）分别从对边、对角、对角线回顾平行四边形的判定方法.2、思考：取两根等长的木条AB、CD，将它们平行放置，再用两根木条BC、AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？19112学习目标掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法；会综合运用平行四边形的判定方法和性质来证明问题．192新课讲解知识点一平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是

．平行四边形193已知：如图，在四边形ABCD，AB∥CD,AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证法一：如图一，连接AC，∵AB∥CD,∴∠1=∠

.又AB=CD,AC=CA,∴△ABC≌

()∴BC=

()∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.ADBC122△CDA

SASAD全等三角形的对应边相等194已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证法二：如图，连接AC,BD交于点O.∵AB∥CD,∴∠1=∠

.又∠AOB=∠COD,AB=CD,∴△AOB≌

()∴AO=

,BO=

.∴四边形ABCD是平行四边形.()ADBC12o2△CODAASCODO对角线互相平分的四边形是平行四边形195练一练:为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的道理吗？196例4已知：如图，在ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.

证明：∵

四边形ABCD是平行四边形，∴

AD∥

，AD=

．∵

E、F分别是AD、BC的中点，∴

DE∥BF，且DE=AD，BF=BC．∴

DE=

．∴四边形BEDF是平行四边形（

的四边形是平行四边形）．BCBCBF一组对边平行且相等思考：对于这道题你还有其它的证明方法吗？分析：证明四边形EBFD的一组对边平行且相等.

197

如图，在平行四边形ABCD中，BD是它的一条对线，过A、C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD．E、F为垂足.

求证：四边形AFCE是平行四边形．AF

E

D

CB证明∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=

,AD//BC∠ADE=∠

.

又AE⊥BD，CF⊥BD,∴AE∥CF∠AED=∠

=

°.∴△ADE≌△

()∴AE=

,()∴四边形ABCD是平行四边形.()BCCBFCFB90CBFAASCF全等三角形的对应边相等一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1981、平行四边形的判定定理：（1）__________________________________；（2）__________________________________；（3）__________________________________；（4）__________________________________；（5）_________________________________.2、平行四边形的判定定理的应用.3、学习反思：_____________________________

两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形1991、判断题：⑴相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形.(

)⑵两组对角分别相等的四边形是平行四边形.(

)⑶一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.(

)⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.(

)⑸对角线相等的四边形是平行四边形.(

)⑹对角线互相平分的四边形是平行四边形.()√√

×√

×√

2002、已知：如图，AC∥ED，点B在AC上，且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形，并说明理由．解：图中的平行四边形有EDBA和EDCB.理由是:同理可证四边形EDCB是平行四边形∵AC∥ED(

)∴ED∥______

又ED=______(

)∴四边形EDBA是平行四边形()已知一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

ABAB已知20118.2.1

矩形202新课引入1、平行四边形的性质有：平行四边形的对边______________；对角_______；邻角______；对角线__________________.2、平行四边形的判定方法有：两组对边____________两组对边____________一组对边____________的四边形是平行四边形两组对角____________对角线______________平行且相等相等互补互相平分

分别相等

分别相等

平行且相等

分别相等

互相平分

203平行四边形矩形边两组对边

__两组对边

__两组对边

__两组对边

_角两组对角

__四个角都是

_

对角线互相

_____互相

且____

平行相等平行相等相等相等平分平分相等新课引入20412学习目标理解矩形定义.

掌握矩形的性质.3掌握矩形的判定方法.205新课讲解知识点一矩形的定义和性质1、矩形的定义：

的平行四边形是矩形.

有一个角是直角2、矩形的性质（1）矩形是特殊的

形，它具有

形的一切性质.即边：

；角：

；对角线：

.（2）矩形还有以下特殊性质:①

②

.

有一个角是直角平行四边

平行四边

矩形的对边平行且相等

矩形的对角相等

矩形的对角线互相平分

矩形的四个角都是直角

矩形的对角线相等

206练一练

求证：矩形的对角线相等.已知ABCD是矩形，

求证AC=BD.

ＯABDC

证明：

∵ABCD是矩形,

∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=CD.

∵BC=CB,

∴△ABC≌△DCB.

∴AC=BD.207知识点二矩形性质的应用如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O.根据矩形的性质，AO=

=

=

=AC=

.由此我们得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线

斜边的

.ＯABDC

BOCODOBD等于一半208例1

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=60°，AB=4,求矩形对角线的长.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD

且

.∴OA=OB,又∠AOB=60°，∴△OAB是

三角形.∴OA=OB=

.∴AC=BD=2

=

.知识点三ＯABDC

相等

互相平分

等边

AB

AB

2×4＝8

2092、矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？知识点三答：是，有两条对称轴。210练一练

1、一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一个交角为120°.求这个矩形的边长（结果保留小数点后两位）.知识点三解：∵∠AOB=120°，∴∠AOD=180°-∠AOB=60°

∵AC=BD=8

又∵AC,BD互相平分，∴AO=BO.

∴△AOD是等边三角形。

∴AD=AO=1/2AC=4

∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°

在△ABD中，由勾股定理，得

AB=√（BD²-AD²）=√48≈6.93211矩形的判定定理知识点四：1、（定义）

的平行四边形是矩形.符号语言，如图，在口ABCD中，∵∠

＝90°∴口ABCD是