复变函数与积分变换

第一 解析函数的概三、小结与思一、复变函数的导数与微导数的定义设函w

fz定义于区D,

为D中的一点,z0z不出D的范如果极

f

z)

f(z0

存在那末就称的导数,

fz在z0可导.这个极限值称为

fz记作

(z0)

z

f

z)

f(z0)在定义中应注意z0z

z0(即

0)的方式是任意的即z0z在区域D内以任意方z0时

(z0

z)

f(z0都趋于同一个数如果函数

fz在区域

D内处处可导我们fz在区域内D可导例 求

(z)

f(z)

f(z

z)

f(z)lim(z

z)2

z2lim(2zz0(z2)

z)2z

2z.例 讨论

(z)

Imz的可导性 f

f(z

z)

f(z)

Im(z

z)

ImIm

Im

Im

Im

iy)

x

x当点沿平行于实轴的

0)而使

0时lim

f(z

z)

f(z)

z0

x0xy0

当点沿平行于虚轴的

0)而使

0时lim

f(z

z)

f(z)

1,z0

y0xx0

z0时,故f(z)

Imz在复平面上处处例 问

(z)

x

2yi limz0

f(z

z)

f(z)

(xx)

2(y

y)i

x2

x

z y

x

xox设z

z沿着

轴的直线趋向于

x

limx

x

x0设z

z沿着平行

y轴的直线趋向于

x2yi

x

x

yzyzoyx所以f(z)

x

2yi的导数不存在可导与连续f(z)z0处可导则在z0处一定连续但f(z)z0处连续不一定在z0处可导. 根据在z0可导的定义

使得当

|时f(z0f(z0z)f(z0

(z0

(z)

f

z)

f(z0)

f(z0

(z)因为

(z0

z)

f(z0)

f(z0)z

(z)z,

f

z)

f(z0),即f(z)

z0连续

[证毕求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实数中导数的定义在形式上完全一致并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样因而到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则

其中c为复常数

(zn

nzn1,

其中n为正整数(3)

f(z)

g(z)

f(z)

g(z).

f(z)g(z)

f(z)g(z)

f(z)g(z).f(z)

f(z)g(z)f(z)g(z)

g(z)

g2(z)

(g(z)

f[g(z)]

f(w)g(z).

其中w

g(z)(7)

f(z)

(w)

其中w

fz)与

(w)两个互为反函数的单值函数

且(w微分的概念复变函数微分的概念在形式上与一元函数的微分概念完全一致定 设函数w

f(z)

z0可导,w

f

z)

f(z0)

f(z0)z

(z)z,

(z)

(z)z

z的高阶无穷小

(z0zw

fz的改变量w线性部分f(z0)

称为函w

f(z)在点

z0的微分记 dw

f(z0)z.

如果函数在可微

的微分存在则称函数

f(z)特别地

fz

dw

dz

f(z0)

dw

f

)z

f

dz,

f(z0)

z函数w

f(z)

z0可导与在z0可微是等价如果函

f(z)在区域D内处处可,则称f(z)在区域D内可微二、解析函数的解析函数的定如果函数

f(z

z0的邻域内处处可导那末称

fz

解析如果函数

f(z)在区域D内每一点解析则称f(z)在区域D内解析

(z)是区域D内的一个解析函数(全纯函数或正奇点的定如果函数f(z在

为f(z根据定义可知函数在区域内解析与在区域内可导是等价的但是函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要得多例 研究函

f(

z2

g(z)

x2yih(z)z2的解析性解由本节例1和例3知f(z)

z2在复平面内是解析的g(z)

x2

处处不解析下面讨

h(z)

z2的解析性

z)

h(z0)zzz2200

z)

z0

z

z 0

z)

h(z0

z0

沿直y

k(x

x0趋于z0z

xx

1i 1i

11由于k的任意性z

1ki不趋于一个确定.1ki

z)

h(z0)不存在hz)

z2

0处可导而在其他点都不可导,根据定义,它在复平面内处处不例 研究函数w1的解析性z 因为

1在复平面内除z

0处处可导且dw

1z2所以w在复平面内z0为它的奇点例 研究函

f(

zRe(z的可导性与解 (1)

f(0

z)

f

z

f

zRe(z

0处可导(2)

f(z

z)f(z)(zz)Re(zz)

zRe(z) z

z)

Re(z)]

z)令

iyf(z

z)f(z)

xx xx0

f(z

z)

f(z)x,y0

f(z

z)

f(z)zx,所以

f(z

z)

f(z不存在即当z

f(z不可导

0处可导而在其他点都不可导,根据定义

研究函数w1的解析性z答案处处不可导,处处不定(1

D

z

()和、差、积、商(D内解析.设函

gh

面上的区

D内解函数 (

内解.如果在D内的每一个在

的对值h都属于

那末复合函

[

fwg

析以上定理的证明,可利用求导法则根据定理可知所有多项式在复平面内是处处解析的任何一个有理分式函数P(z)Q(z)

在不含分母零的点的区域内是解,使分母为零的点是它的奇点.三、小结与思概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及注意:复变函数的导数定义与一元实变