第一节-平面点集与多元函数课件

§1平面点集与多元函数

§2二元函数的极限§3二元函数的连续第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数§2二元函数的极限§31第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数2一、平面点集坐标平面上满足某种条件

的点的集合，称为平面点集，并记作

常见平面点集全平面和半平面一、平面点集坐标平面上满足某种条件的点的集合，称为平面点集31.邻域:

以点X0=(x0,y0)为中心,以为半径的圆内部点的全体称为X0的邻域.即记Û(X0,)=U(X0,){X0

},称为

X0的去心邻域.如图特殊的平面点集1.邻域:以点X0=(x0,y0)为中心,以4X0X0U(X0,)Û(X0,)当不关心邻域半径时,简记为U(X0

)和Û(X0).X0X0U(X0,)Û(X0,)当不关5空心方邻域与集方邻域圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域的区别空心方邻域与集方邻域圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域的区别62.

内点:设E是一平面点集,X0=(x0,y0)E,若存在邻域U(X0,)E,则称X0为E

的内点.E的全体内点所成集合称为E的内部,记为D={(x,y)|x2+y2

1}如图2.内点:设E是一平面点集,X0=(x0,y07xyox2+y2=111D易知,圆内部的每一点都是D的内点.但圆周上的点不是D的内点.xyox2+y2=111D易知,圆内部的每一点都是8x+y=0xy0如图D又如z=ln(x+y)的定义域D={(x,y)|x+y>0}易见,直线上方每一点都是D的内点.但直线上的点不是D的内点.x+y=0xy0如图D又如z=ln(x+y)9若存在点的某邻域使得则称是集合的外点若存在点的某邻域使得则称是集合的外点103.边界点:设E是一平面点集,X0=(x0,y0)是平面上一个点.若X0的任何邻域U(X0,)内既有属于E的点,又有不属于E的点,则称X0为E

的边界点.E

的全体边界点所成集合称为E

的边界.记作E.如,例1中定义域D

的边界是直线x+y=0上点的全体.例2中定义域D

的边界是单位圆周x2+y2=1上的点的全体.如图3.边界点:设E是一平面点集,X0=(x0,y11xyo11x2+y2=1Dx+y=0xyoDE的边界点可以是E中的点,也可以不是E中的点.xyo11x2+y2=1Dx+y=0xyoD124.开集

设E是一平面点集,若E

中每一点都是E的内点.即E

intE,则称E

是一个开集.由于总有intE

E,因此,E

intE

E

=intE故也可说,比如,例1中D是开集,(D

=intD

),而例2中D不是开集.规定,,R2为开集.若E=intE,则称E是一个开集.4.开集设E是一平面点集,若E中每一点都是E13xyoE又比如,E如图若E不包含边界,则E为开集.若E包含边界,则E不是开集.xyoE又比如,E如图若E不包含边界,则E为开14结论:

非空平面点集E为开集的充要条件是E中每一点都不是E的边界点.即E不含有E的边界点.证:必要性.设E

为开集,XE,由开集定义知X为E的内点.故X不是E

的边界点.结论:非空平面点集E为开集的充要条件是E中每一点都15充分性.若E中每一点都不是E的边界点.要证E为开集.XE,由于X不是E的边界点.故必存在X的一个邻域U(X,),在这个邻域U(X,)内或者全是E中的点.或者全都不是E中的点,两者必居其一.由于XE,故后一情形不会发生.因此,U(X,)内必全是E中的点.故XintE,即,E

intE

,所以E是开集.充分性.若E中每一点都不是E的边界点.要证E165.连通集

设E是一非空平面点集,若X,YE.都可用完全含于E的折线将它们连接起来,则称E为连通集.如图XYE连通YXE不连通5.连通集设E是一非空平面点集,若X,YE.17从几何上看,所谓E是连通集,是指E是连成一片的.E中的点都可用折线连接.例1,2中的D都是连通集.如图x+y=0xyoxyo11x2+y2=1从几何上看,所谓E是连通集,是指E是连成一片的.186.开区域(开域)设E是一平面点集.比如,例1中D是开区域.如图.

E从几何上看,开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集.若E是连通的非空开集,则称E是开区域.6.开区域(开域)设E是一平面点集.比如,例1中197.闭区域(闭域)若E是开域,记称为闭区域.如图.

E易见,例2中的D是闭区域.从几何上看,闭区域是连成一片的.包括边界的平面点集.(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.7.闭区域(闭域)若E是开域,记称为闭区域.如图.20易见,例1中D是无界集,它是无界开区域,而例2中D是有界集,它是有界闭区域.若存在r>0,使EU(O,r),则称E为有界集.否则称E为无界集.8.设易见,例1中D是无界集,它是无界开区域,而例2中219.聚点.设E是平面点集,X0是平面上一个点.若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E.则称X0是E

的一个聚点.从几何上看,所谓X0是E的聚点是指在X0的附近聚集了无限多个E中的点.即,在X0的任意近傍都有无限多个E中的点.9.聚点.设E是平面点集,X0是平面上一个点.若22X0如图X0如图231.聚点定义也可叙述为:若X0的任一邻域内至少含有E中一个异于

X0的点.则称X0为E的一个聚点.(自证).2.E的聚点X0可能属于E,也可能不属于E.3.E的内点一定是E的聚点.1.聚点定义也可叙述为:若X0的任一邻域内至少含有244.若E是开区域.则E中每一点都是E的聚点.即,区域中的任一点都是该区域的聚点.一般,集合E的边界点不一定是E的聚点.但若E是开集,则E的边界点一定是E的聚点,自证.4.若E是开区域.则E中每一点都是E的聚点.25定义若存在使得则称点是的孤立点.

孤立点必为界点.定义若存在使得则称点是的孤立点.

孤立点必为界点.26邻域,内点,边界点,开集,连通,有界,开区域,闭区域,聚点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间R3中去,且有类似的几何意义.它们还可推广到4维以上的空间中去,但不再有几何意义.邻域,内点,边界点,开集,连通,有界,开区域,27（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)

是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．（1）内点一定是聚点；说明：（2）边界点可能是聚点；例如，(0,0)既是边界点也是聚点．（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,28点集的直径两点的距离（或）

并有三角不等式点集的直径两点的距离（或）并有三角不等式29同时也有如下三角形不等式，即对上任何三点和都有例2证明：对任何恒为闭集

证明设为的任一聚点，要证.由聚点的定义，对任给，存在

同时也有如下三角形不等式，即对上任何三点和都有例2证明：对30.又是的界点，所以对任意，由于上既有的点，又有非的点，于是上既有的点，又有非的点，由的任意性，推知是的界点，即，这就证明了为闭集.

.又是的界点，所以对任意，由于上既有的点，又有非的点，于是上31二

中的完备性定理

1点列的极限

设为平面点列，为一固定，存在正整数，使时，有,则称点列收敛于点,记作或

点.若对任给的正数得当二中的完备性定理1点列的极限设为平面点列，为一32设则同样的，当以表示点与的距离时，也就等价于

设则同样的，当以表示点与的距离时，也就等价于332柯西收敛准则

定理16.1（柯西准则）平面点列收敛的充要条件是：对任意，存在,当时，对一切正整数,都有

2柯西收敛准则定理16.1（柯西准则）平面点列收敛34定理16.2(闭域套定理)设是1)

2)

则存在唯一点

3闭域套定理中的闭域列，满足：定理16.2(闭域套定理)设是1)2)则存在唯一点354聚点原理

定理16.3（聚点原理）设为有界在中至少有一个聚点.

无限点集，则推论：有界无限点列必存在收敛子列

4聚点原理定理16.3（聚点原理）设为有界在中至少有一个365有限覆盖定理

定理16.4（有限覆盖定理）设为有界闭域，为一开域族，它们覆盖（即），则在中必存在有限个开域，它们同样覆盖（即）

三二元函数的定义5有限覆盖定理定理16.4（有限覆盖定理）设为有界37第一节--平面点集与多元函数课件38类似地可定义三元及三元以上函数．点集D---定义域，---值域.x、y

---自变量，z---因变量.函数的两个要素:定义域、对应法则.类似地可定义三元及三元以上函数．点集D---定义域，--39与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.例1求的定义域．解所求定义域为与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算40二元函数的图形（如下页图）二元函数的图形（如下页图）41二元函数的图形通常是一张曲面.二元函数的图形通常是一张曲面.42例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:例如,图形如右图.例如,左图球面.单值分支:43例6

是定义在上的函数，值域是全体非负整数

若二元函数的值域是有界集，则称该函数为有界函数；若值域是无界集，则称该函数为无界函数.例6是定义在上的函数，值域是全体非负整数若二元44元函数

四所有个有序数组的全体称为维向量空间，简称维空间，记作其中每个有序实数组称为中的一个点，个实数是这个点的坐标元函数四所有个有序数组的全体称为维向量空间，简称维空间，记45设是的一个子集，是实数集，是一个规律，如果对中的每一点，通过规律，在中有唯一的一个与此对应，则称是定义在上的一个元函数，它在的，并记此值为即

函数值是设是的一个子集，是实数集，是一个规律，如果对中的每一点，通过46小结作业：P921,2，3,4,5,6,7.一、平面点集三、二元函数的定义二

中的完备性定理

元函数

四小结作业：P921,2，3,4,5,47§1平面点集与多元函数

§2二元函数的极限§3二元函数的连续第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数§2二元函数的极限§348第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数49一、平面点集坐标平面上满足某种条件

的点的集合，称为平面点集，并记作

常见平面点集全平面和半平面一、平面点集坐标平面上满足某种条件的点的集合，称为平面点集501.邻域:

以点X0=(x0,y0)为中心,以为半径的圆内部点的全体称为X0的邻域.即记Û(X0,)=U(X0,){X0

},称为

X0的去心邻域.如图特殊的平面点集1.邻域:以点X0=(x0,y0)为中心,以51X0X0U(X0,)Û(X0,)当不关心邻域半径时,简记为U(X0

)和Û(X0).X0X0U(X0,)Û(X0,)当不关52空心方邻域与集方邻域圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域的区别空心方邻域与集方邻域圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域的区别532.

内点:设E是一平面点集,X0=(x0,y0)E,若存在邻域U(X0,)E,则称X0为E

的内点.E的全体内点所成集合称为E的内部,记为D={(x,y)|x2+y2

1}如图2.内点:设E是一平面点集,X0=(x0,y054xyox2+y2=111D易知,圆内部的每一点都是D的内点.但圆周上的点不是D的内点.xyox2+y2=111D易知,圆内部的每一点都是55x+y=0xy0如图D又如z=ln(x+y)的定义域D={(x,y)|x+y>0}易见,直线上方每一点都是D的内点.但直线上的点不是D的内点.x+y=0xy0如图D又如z=ln(x+y)56若存在点的某邻域使得则称是集合的外点若存在点的某邻域使得则称是集合的外点573.边界点:设E是一平面点集,X0=(x0,y0)是平面上一个点.若X0的任何邻域U(X0,)内既有属于E的点,又有不属于E的点,则称X0为E

的边界点.E

的全体边界点所成集合称为E

的边界.记作E.如,例1中定义域D

的边界是直线x+y=0上点的全体.例2中定义域D

的边界是单位圆周x2+y2=1上的点的全体.如图3.边界点:设E是一平面点集,X0=(x0,y58xyo11x2+y2=1Dx+y=0xyoDE的边界点可以是E中的点,也可以不是E中的点.xyo11x2+y2=1Dx+y=0xyoD594.开集

设E是一平面点集,若E

中每一点都是E的内点.即E

intE,则称E

是一个开集.由于总有intE

E,因此,E

intE

E

=intE故也可说,比如,例1中D是开集,(D

=intD

),而例2中D不是开集.规定,,R2为开集.若E=intE,则称E是一个开集.4.开集设E是一平面点集,若E中每一点都是E60xyoE又比如,E如图若E不包含边界,则E为开集.若E包含边界,则E不是开集.xyoE又比如,E如图若E不包含边界,则E为开61结论:

非空平面点集E为开集的充要条件是E中每一点都不是E的边界点.即E不含有E的边界点.证:必要性.设E

为开集,XE,由开集定义知X为E的内点.故X不是E

的边界点.结论:非空平面点集E为开集的充要条件是E中每一点都62充分性.若E中每一点都不是E的边界点.要证E为开集.XE,由于X不是E的边界点.故必存在X的一个邻域U(X,),在这个邻域U(X,)内或者全是E中的点.或者全都不是E中的点,两者必居其一.由于XE,故后一情形不会发生.因此,U(X,)内必全是E中的点.故XintE,即,E

intE

,所以E是开集.充分性.若E中每一点都不是E的边界点.要证E635.连通集

设E是一非空平面点集,若X,YE.都可用完全含于E的折线将它们连接起来,则称E为连通集.如图XYE连通YXE不连通5.连通集设E是一非空平面点集,若X,YE.64从几何上看,所谓E是连通集,是指E是连成一片的.E中的点都可用折线连接.例1,2中的D都是连通集.如图x+y=0xyoxyo11x2+y2=1从几何上看,所谓E是连通集,是指E是连成一片的.656.开区域(开域)设E是一平面点集.比如,例1中D是开区域.如图.

E从几何上看,开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集.若E是连通的非空开集,则称E是开区域.6.开区域(开域)设E是一平面点集.比如,例1中667.闭区域(闭域)若E是开域,记称为闭区域.如图.

E易见,例2中的D是闭区域.从几何上看,闭区域是连成一片的.包括边界的平面点集.(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.7.闭区域(闭域)若E是开域,记称为闭区域.如图.67易见,例1中D是无界集,它是无界开区域,而例2中D是有界集,它是有界闭区域.若存在r>0,使EU(O,r),则称E为有界集.否则称E为无界集.8.设易见,例1中D是无界集,它是无界开区域,而例2中689.聚点.设E是平面点集,X0是平面上一个点.若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E.则称X0是E

的一个聚点.从几何上看,所谓X0是E的聚点是指在X0的附近聚集了无限多个E中的点.即,在X0的任意近傍都有无限多个E中的点.9.聚点.设E是平面点集,X0是平面上一个点.若69X0如图X0如图701.聚点定义也可叙述为:若X0的任一邻域内至少含有E中一个异于

X0的点.则称X0为E的一个聚点.(自证).2.E的聚点X0可能属于E,也可能不属于E.3.E的内点一定是E的聚点.1.聚点定义也可叙述为:若X0的任一邻域内至少含有714.若E是开区域.则E中每一点都是E的聚点.即,区域中的任一点都是该区域的聚点.一般,集合E的边界点不一定是E的聚点.但若E是开集,则E的边界点一定是E的聚点,自证.4.若E是开区域.则E中每一点都是E的聚点.72定义若存在使得则称点是的孤立点.

孤立点必为界点.定义若存在使得则称点是的孤立点.

孤立点必为界点.73邻域,内点,边界点,开集,连通,有界,开区域,闭区域,聚点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间R3中去,且有类似的几何意义.它们还可推广到4维以上的空间中去,但不再有几何意义.邻域,内点,边界点,开集,连通,有界,开区域,74（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)

是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．（1）内点一定是聚点；说明：（2）边界点可能是聚点；例如，(0,0)既是边界点也是聚点．（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,75点集的直径两点的距离（或）

并有三角不等式点集的直径两点的距离（或）并有三角不等式76同时也有如下三角形不等式，即对上任何三点和都有例2证明：对任何恒为闭集

证明设为的任一聚点，要证.由聚点的定义，对任给，存在

同时也有如下三角形不等式，即对上任何三点和都有例2证明：对77.又是的界点，所以对任意，由于上既有的点，又有非的点，于是上既有的点，又有非的点，由的任意性，推知是的界点，即，这就证明了为闭集.

.又是的界点，所以对任意，由于上既有的点，又有非的点，于是上78二

中的完备性定理

1点列的极限

设为平面点列，为一固定，存在正整数，使时，有,则称点列收敛于点,记作或

点.若对任给的正数得当二中的完备性定理1点列的极限设为平面点列，为一79设则同样的，当以表示点与的距离时，也就等价于

设则同样的，当以表示点与的距离时，也就等价于802柯西收敛准则

定理16.1（柯西准则）平面点列收敛的充要条件是：对任意，存在,当时，对一切正整数,都有

2柯西收敛准则定理16.1（柯西准则）平面点列收敛81定理16.2(闭域套定理)设是1)

2)

则存在唯一点

3