2023版中考数学复习满分大专题五综合与实践课件

满分大专题五

综合与实践

针对中考22题培优精讲本节满分大专题复习目标1.经历审题的过程，找到辅助线添加方法的切入点，体验不同类型的辅助线添加方法，探索出适合自己的辅助线的添加方法.2.会根据题目条件添加适当的辅助线，准确找到几何压轴题的审题切入点，掌握解决问题的通性通法，提高分析问题、解决问题综合能力.类型一

辅助线添加一、与中点有关的辅助线1名师一点通2典例精讲3满分训练名师一点通

与中点有关的辅助线典例精讲

综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，请直接写出EF与BF的数量关系，并简要写出证明思路．与中点有关的辅助线有哪些？思路一：构造中心对称全等三角形.方法一，如答图1，延长BF交AD的延长线于点H.①证明△DFH≌△CFB，得到FH=FB；②根据直角三角形斜边中线定理得到FB=FE.一题多解方法二，类似的方法，辅助线构造如示意图1.思路二：根据平行线分线段成比例及中点构造平行线.方法三，如答图2，过点F作FH∥AD.①利用平行线分线段成比例易得H为BE的中点；②由FH∥AD，BE⊥AD推出FH垂直平分EB，得到FB=FE.思路三：遇中点想办法构造直角三角形（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）或等腰三角形.方法四，如答图3，过点D作DH⊥BC，连接FH.①易证四边形EBHD是矩形，所以ED=BH，∠EDH=∠BHD=90°；②在Rt△DHC中，根据F为DC的中点，得FH=FD，所以∠FDH=∠FHD；③易得∠EDF=∠BHF，易证△DEF≌△HBF，所以FE=FB.方法五，类似的方法，辅助线构造如示意图2.思路四：中点、平行线可以想到把中点分成的两个三角形放到两个全等三角形中（直角三角形）.方法六，如答图4，过点F作FN⊥BC于N，延长NF交AD的延长线于点M.①易证△MFD≌△NFC，所以FM=

FN，易证四边形MEBN是矩形，所以ME

=

NB；②易证△FME≌△FNB，所以FE=FB.满分笔记满分训练

综合与实践问题情境：如图1，M是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），分别以AM和BM为斜边在AB同侧构造等腰直角三角形AMC和等腰直角三角形BMD，连接CD.取AB中点E，CD中点F，连接EF．猜想验证：（1）如图2，当点M与点E重合时，试判断EF与CD之间的数量关系，并说明理由.猜想验证：（1）如图2，当点M与点E重合时，试判断EF与CD之间的数量关系，并说明理由.延伸探究：（2）如图3，当点M与点E不重合时，问题（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.思路一：倍长中线构造中心对称全等，再利用双中点构造中位线求证.解：方法一，如答图，连接CE，延长CE至点G，使EG=

CE，则E是CG的中点，连接BG，GD.∵△ACM与△MDB是等腰直角三角形，∴BD=

MD，MC=

AC，∠BDM=∠MCA=90°.∴∠1

=∠A

=∠2=∠3

=

45°.∴∠CMD=

90°.∵E为AB的中点，∴AE=

BE.类似的方法还有很多，辅助线构造示意图如下：方法二

方法三

方法四思路三：构造等腰直角三角形，利用三线合一求解.点拨：方法六，如图析2，延长AC，BD相交于点G，连接EC，EG.思路四：构造中位线.点拨：方法七，如图析3-1，连接BC，取BC的中点G，连接EG，FG.（3）若AB=2，线段EF的长是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．类型一

辅助线添加二、与角平分线有关的辅助线1名师一点通2典例精讲3满分训练名师一点通

与角平分线有关的辅助线构造对称全等构造等腰三角形典例精讲

如图，在△AOB中，∠AOB=120°，OC是△AOB的角平分线，OA=7.5，OB=5，直接写出线段OC的长，并简要写出解题思路.解：CO=3.思路如下：思路一：角平分线+平行线构造等腰三角形.一题多解类似的方法还有很多，辅助线构造示意图如下：方法二方法三方法四方法五方法六思路二：面积法方法七，如答图2，过点A作AE⊥BO的延长线于点E，过点C分别作CM⊥AO于点M，CN⊥BO于点N.满分训练

1.如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C

=90°，点E为CD的中点，点F在底边BC上，且∠FAE=∠DAE．（1）请直接写出∠AEF的度数.解：（1）∠AEF=90°.平行线、角分线和中点同时出现如何添加辅助线构造基本图形？（2）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C不是直角，点F在底边BC或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立？若都成立，请证明；若不都成立，请说明理由.如图析，延长AE交BC的延长线于点H先证明△ADE≌△HCE，再证△AFH是等腰三角形，利用三线合一求得∠AEF=90°方法（一）平行线夹中点延长构造中心对称全等平行线+角平分线→等腰必出现一题多解都成立.以图2为例证明．证明：如答图，延长AE交BC的延长线于点H.∵AD∥BC，∴∠D=∠ECH，∠DAE=∠H.∵E为DC的中点，∴DE=EC.∴△ADE

≌△HCE（AAS）.∴AE=HE.∵∠FAE=∠DAE，∴∠FAE=∠H.∴FA=FH.∴EF⊥AE.∴∠AEF

=90°．易证△HDE≌△FCE，得EH=EF，但根据AE=AE，∠EAF=∠EAH不能证明△AEF≌△AEH.易错点拨如图析2，过点EA作EH⊥AF如图析3，在FA上截取AH=

AD，连接EH先证△AHE

≌△ADE，再证△HEF

≌△CEF，易求∠AEF=

90°方法（二）截长补短2.如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点E．（1）若∠A=60°，则CE与BC之间的数量关系为

.（2）若∠A=90°，猜想CE与BC之间的数量关系并证明.证明如下：如答图1，过点E作EF∥AB交BC于点F．∵∠A=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形.∴∠ABC=∠ACB=45°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．（3）若∠A=∠D=90°，CD=2，求BE的长.如答图2，延长BA和CD，交点为G.∵BD平分∠ABC，BD⊥CG，∴∠G=∠BCG，GD=CD=2，CG=4.∵∠BAC=∠BDC=90°，∴∠G+∠GCA=90°，∠G+∠EBA=90°.∴∠GCA=∠EBA.又∵∠BAE=∠CAG=90°，AB=AC，∴△BAE≌△CAG，∴BE=CG=4.类型二

猜想与证明典例精讲

一、从特殊图形到一般图形综合与实践——四边形旋转中的数学“智慧”小组在课外活动中研究了一个问题，请帮他们解答．任务一：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD

=8，E，F

分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG．（1）请直接写出DF与CG之间的数量关系：

．解：（1）（2）如图2，当矩形AEGF绕点A旋转至点G落在边AB上时，试猜想DF与CG之间的数量关系，并说明理由.方法一：把四边形转化为三角形，旋转相似.关注特殊图形与一般图形的关系方法二：构造直角三角形计算求解.一题多解方法一，如答图1，连接AC.如图1，四边形ABCD和四边形AEGF都是矩形，E，F分别为AB，AD边的中点，AB=6，AD=8，∴DC=AB=6，BC=AD=8，GF=AE=AB

=3，EG=AF=AD=4，∠AFG=∠ADC=90°.

点拨：方法二，如图析，过点F作FP⊥AD，利用勾股定理分别求出DF，CG的长即可.（3）当矩形AEGF绕点A旋转至图3的位置时，（2）中DF与CG之间的数量关系是否还成立？请说明理由．观察图2与图3发现，图形位置发生变化，图形不变，字母不变，所以方法不变.解：成立.理由如下，如答图2，连接AC，AG.由（2）得AD=8，DC=6，AC=10，AF

=4，GF

=3，AG=5.∵△AGF∽△ACD，∴∠GAF=∠CAD.∴∠GAF

+∠FAC=∠CAD+∠FAC，即∠GAC=∠FAD.

任务二：“智慧”小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在□ABCD中，∠B

=60°，AB=6，AD=

8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接CG．（4）“智慧”小组的同学发现DF与CG之间仍然存在着特定的数量关系.请写出这个特定的数量关系，并说明理由.解：（4）如答图3，延长EG交CD于点H，过点C作CK⊥GH于点K，则∠CKH=90°.由题意可知四边形ABCD与AEGF是平行四边形，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，∠B

=

60°.（5）如图5，当□AEGF绕点A旋转，其他条件不变时，“智慧”小组的同学发现DF与CG仍然存在着这一特定的数量关系.请你直接写出这个特定的数量关系.解：（5）.图形发生变化，但变换与矩形变换类似，参照任务一中思路求解即可.特殊与一般的关系：如图，借助特殊，探究一般，把共顶点的比例线段所在的四边形转化为相似三角形，分离基本图形，方法前后一致.满分训练

（原创）把正方形ABCD与正方形EFGH按如图1方式摆放，直角顶点F在斜边AC上，AC，EG的中点均为O，连接CG，BF，BO，显然点B，G，O在同一条直线上．（1）判断线段CG和BF的数量和位置关系．（直接写出结论，不需要证明）.

解：（1）CG

=

BF，CG⊥BF.点拨：如图析，根据SAS证明全等，8字角等证明CG⊥BF.

（2）将图1中的正方形EFGH绕点O旋转得到图2，此时（1）中的结论是否成立？说明理由.解：（2）成立，理由如下：如答图1，连接HF，BD，延长CG交BF于点M.∵四边形ABCD，EFGH是正方形，点O是AC，EG的中点，∴AC⊥BD，BO=

DO=

AO=

CO，HF⊥GE，HO

=

FO

=GO=

EO.∴∠COB=∠BOA=90°.∴∠COB+∠BOG=∠GOF+∠BOG，即∠COG=∠BOF.∴△COG≌△BOF（SAS）.∴CG=BF，∠OCG=∠OBF.又∵∠CNO=∠BNM，∴∠BMN=∠COB=

90°.∴CG⊥BF.（3）如图3，把题目条件改为菱形ABCD与菱形EFGH，其中∠ABC=∠EFG=2α，（1）中的数量关系仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出CG和BF之间的数量关系.典例精讲

二、从特殊位置到一般位置1.

综合与实践——探究图形中角之间的等量关系及相关问题．问题情境：正方形ABCD中，点P是射线DB上的一个动点，过点C作CE⊥射线AP于点E，点Q与点P关于点E对称，连接CQ，设∠DAP=

α（0°<

α

<135°），∠QCE=β．初步探究：（1）如图1，为探究α与β的关系，勤思小组的同学画出了当α满足0°<

α

<45°时的情形，射线AP与边CD交于点F.他们得出此时α与β的关系是β=2α.借助这一结论可得当点Q恰好落在线段BC的延长线上（如图2）时，α

=

°，β

=

°.30

60图形位置发生变化，字母不变，条件不变，方法不变.分离基本图形，得到全等三角形和相似三角形．深入探究：（2）如图3，敏学小组的同学画出当α满足45°<α<90°时的图形，AP与边BC交于点G.试猜想此时α与β之间的数量关系，并说明理由.解：（2）β

=2（90°-

α）.理由如下：如答图1，连接PC.∵点Q与点P关于点E对称，∴EP=

EQ.∵CE⊥AQ，∴CE垂直平分PQ.∴CP=CQ.∴∠QCE=∠PCE.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB=CD=DA，∠BAD=90°，∠ABD=∠CBD=45°.∵BP=BP，∴△ABP≌△CBP（SAS）.∴∠BAP=∠BCP

=∠BAD-∠DAP=90°-

α，AP=CP.∵∠ABG=

∠CEG=

90°，∴∠BAP+∠AGB=

90°，∠GCE+∠CGE=

90°.∵∠AGB=∠CGE，∴∠BAP=∠GCE.∴∠BCP=∠GCE=90°-α.

∴∠QCE=∠PCE=

2∠GCE=

2（90°-α），即β=2（90°-α）.拓展延伸：（3）请你进一步探究：①当90°<

α<135°时，α与β之间的数量关系为

.解：①β=

2（α

-90°）点拨：当90°<α

<135°时，α与β之间的数量关系为β

=2（α

-90°），证明思路与（2）类似.图形位置发生变化，基本图形未发生变化.②已知正方形ABCD的边长为2，在点P运动过程中，当α

=

β时，PQ的长为

.点拨:当0°<α

<45°时，β

=2α，不合题意.当45°<

α

<90°时，β

=2（90°-α），∵α

=β，解得α

=β

=60°，计算即可.当90°<α<135°时，β

=2（α

-

90°），∵α=β，∴α

=β

=180°，不合题意.解：②

借助特殊探究一般——思前想后；图形位置在变方法不变——分离图形.独立思考：（1）如图1，当点P在对角线BD上，点E在CD边上时，BP与CE之间的数量关系是

.问题情境：在综合与实践课上，数学老师提出了一道思考题：如图，在正方形ABCD中，P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰直角三角形APE，使得∠APE

=90°，AP=

PE，且点E恰好在射线CD上.

满分训练

探索发现：（2）当点E在正方形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由.

探索发现：（2）当点E在正方形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由.

问题解决：（3）如图4，在正方形ABCD中，AB

=

，当P是对角线BD的延长线上一动点时，连接BE，若BE

=

，求△BPE的面积.

类型三

图形的平移典例精讲

综合与实践问题情境：如图1，□ABCD中，∠A

=60°，AB⊥

BD，AB

=1.操作发现：（1）如图2，将图1中的△ABD沿着射线BD的方向平移得到△A'B'D'，点A，B，D的对应点分别为点A'，B'，D'，连接A'B，CD'.菱形

①当△ABD沿着射线BD的方向平移

个单位长度时，四边形A'BCD'的形状是

.②当△ABD沿着射线BD的方向平移

个单位长度时，四边形A'BCD'的形状是矩形.（2）如图3，将图1中的△ABD沿着射线BC的方向平移得到△A″B″D″，点A，B，D的对应点分别为点A″，B″，D″，连接A″B，CD″.在平移的过程中，四边形A″BCD″能否成为菱形？若能，求出平移的距离；若不能，说明理由.拓展延伸：（3）请你参照以上操作，将图1中的△ABD在同一平面内进行两次平移，得到△A‴B‴D‴，点A，B，D的对应点分别为点A‴，B‴，D‴，连接A‴B，CD‴，使得四边形A‴BCD‴为正方形.在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，不必证明.连接A‴B，D‴C，此时四边形A‴BCD‴为正方形.1.（2022百校一）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题.如图1，在正方形ABCD中，AB=2，分别以AB，CD为边在正方形ABCD内部作等边三角形ABE

与等边三角形CDF，线段AE与DF交于点G，线段BE与CF交于点H.猜想GE与GF的数量关系，并加以证明.满分训练

数学思考：（1）请解答老师提出的问题.解：（1）GE

=

GF.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=

CD，∠BAD=∠CDA=90°.∵△ABE与△CDF都是等边三角形，∴∠BAE=∠CDF=60°.∵∠BAE+∠GAD=90°，∠CDF+∠GDA=90°，∴∠GAD=∠GDA=30°.∴AG=

DG.∵△ABE与△CDF都是等边三角形，∴AB=

AE，DC=

DF.∴AE=

DF.∴AE-

AG=

DF-

DG.∴GE=

GF.深入探究：（2）试判断四边形EGFH的形状，并加以证明.解：（2）四边形EGFH是菱形.证明：∵△ABE与△CDF都是等边三角形，∴∠E

=∠F

=60°.由（1）知∠GAD=∠GDA=30°.∴∠AGF=∠GAD+∠GDA=60°.∴∠E

=∠AGF，∠AGF=∠F.∴FG∥HE，GE∥FH.∴四边形EGFH是平行四边形.由（1）得，GE=

GF，∴四边形EGFH是菱形.问题拓展：（3）将△CDF从图1的位置开始沿射线CD的方向平移得到△C'D'F'，连接AF'，EC'.当四边形AF'C'E是矩形时，得到图2.请直接写出平移的距离.解：（3）2.如图1，△ABC

≌

△DEF，且点B，E重合，点C，F重合，∠A=90°，AB=3，AC=4.（1）如图2，将△DEF沿射线CB方向平移，连接AE，AF，当AE∥DF时，AE和AC有什么数量关系？判断四边形AEDF的形状，说明理由，并求出△DEF的平移距离.（2）如图3，将△DEF沿射线CB方向平移，当点D落在射线AB上时，DB和DE有什么数量关系？说明理由并求出△DEF的平移距离.（3）如图4，将△DEF沿射线BC方向平移，过点D作DG∥AB交射线BC于点G，连接AG，判断四边形ABDG的形状，并说明理由.解：（3）四边形ABDG是平行四边形.理由如下：∵DG∥AB，∴∠DGB

=∠ABG.∵∠ABG=∠DEG，∴∠DGB=∠DEG.∴DG=

DE.∵DE=

AB，∴DG=

AB.∴四边形ABDG是平行四边形.（4）在（3）的条件下，当四边形ABDG为矩形时，直接写出△DEF平移的距离.解：（4）类型四

图形的对称典例精讲

1.

（2021山西第22题·13分）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题:如图1，在□ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题.2021/第22题实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将□ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图2，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明.图形折叠，能得到哪些结论？要证明线段长度相等，有几种方法？分析思路一：先证明四边形DGBF是平行四边形，再证明G为AB的中点.方法一：如图析1.图析1分析方法二：如图析2，连接CC'交FB于点N.分析思路二：构造全等，证明AG=

BG.方法三：如图析3，在DG上截取DM

=

C'G，连接AM.问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将□ABCD沿过点B的直线折叠，如图3，点A的对应点为A'，使A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N.该小组提出了一个问题:若此□ABCD的面积为20，AB=5，BC=

，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积.请你思考此问题，直接写出结果.解：（3）综合与实践问题情境：如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点E，F分别是AD，BC上的动点，且AE=

CF，将矩形ABCD纸片分别沿BE，DF折叠，点A，C的对应点分别为点A'，C'.操作探究：（1）如图1，当四边形EBFD是菱形时，求AE的长.满分训练

解：（1）∵四边形EBFD是菱形，∴EB=

BF=

FD=

DE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A

=90°.由折叠可得AE=

A'E，设AE=

A'E=x，则BE=

DE=8-

x.∵在Rt△ABE中，∠A

=90°，∴AB2+AE2

=

BE2.∴62+

x2=（8-

x）2，解得x=

.（2）如图2，若点A'，C'均落在对角线BD上，点G，H分别是AD，BC上的动点，GC

=

GH，当GH经过点A'时，求CH的长.拓展探究：（3）如图3，连接A'C'，当A'C'∥AB时，AE的长为

.一题多解（4）在（3）的基础上，直接写出线段A'C'的长度.解：（4）一题多解类型五

图形的旋转典例精讲

1.

（2022山西第22题·13分）综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8.直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N.2022/第22题猜想证明：（1）如图1，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由.由点M和点D分别是AB，BC的中点能得到什么结论？判定四边形AMDN是矩形的方法有哪些？分析

要证四边形AMDN是矩形，已知两个角是直角，只要证明第三个角是直角即可.思路一：利用中位线，证明∠AMD

=90°.分析

思路二：利用相似，证明∠AMD

=90°.分析

思路三：利用等腰三角形三线合一，证明∠AMD=90°.方法四：如图析，连接AD.解：四边形AMDN为矩形.理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点，∴MD∥AC.∴∠AMD+∠A

=180°.∵∠A

=90°，∴∠AMD=90°.∵∠EDF=90°，∴∠A

=∠AMD=∠MDN=90°.∴四边形AMDN为矩形

.问题解决：（2）如图2，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长.一题多解（3）如图3，在三角板旋转过程中，当AM

=

AN时，直接写出线段AN的长.解：（3）1.

以图形旋转为主线的探究题中，审题的关键点是“抓联系，找出不变结论；抓瞬间，发现特殊位置的结论”.具体可归纳为以下过程：2.求解有关三角形的线段长度时，如果三角形具备唯一性（三角形中已知条件满足判定三角形全等的条件），则此三角形可求解.此时我们可以综合运用勾股定理、锐角三角函数、相似三角形等性质进行求解.满分笔记（2022潍坊）综合与实践情境再现：（1）甲、乙两个含45°角的直角三角尺按如图1方式放置，甲的直角顶点放在乙斜边上高的垂足O处.将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图2位置.小莹用作图软件按图2作出示意图，并连接AG，BH，如图3所示，AB交HO于点E，AC交OG于点F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE=

OF.请你证明：AG=

BH．满分训练

解：（1）证明：已知△OBE

≌△OAF，∴BE

=

AF，OE=

OF，∠BEO=∠AFO.∴∠BEH=∠AFG.∵OH=

OG，∴OH-

OE=OG-

OF，即EH=FG.∴△BHE≌△AGF（SAS）.∴BH=

AG.

解：（2）DG⊥BH.证明如下，由（1）知△BHE≌△AGF，∴∠BHE=∠AGF.∵∠HOG=90°，∴∠AGF+∠GPO=90°.∴∠BHE+∠GPO=90°.∵∠GPO=∠HPD，∴∠BHE+∠HPD=90°.∴∠HDP=90°.∴DG⊥BH.

（2）迁移应用：如图4，延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，猜想并证明DG与BH的位置关系．（3）拓展延伸：如图5，小亮将图2中的甲、乙两个含45°角的直角三角尺换成含30°角的直角三角尺，按图5作出示意图，并连接HB，AG，如图6所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．（4）如图6，若Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=10.当OA平分∠HOG时，请直接写出两块三角板的重叠面积.类型六

图形变换综合典例精讲

综合与实践——旋转+平移问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD>90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．操作发现：（1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α

=∠BAC，得到如图2所示的△AC'D，分别延长BC和DC'交于点E，则四边形ACEC'的形状是

.菱形（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α

=2∠BAC，得到如图3所示的△AC'D，连接DB，C'C，得到四边形BCC'D，发现它是矩形.请你证明这个结论.∠BAC与∠C'AC有什么特殊的关系？要判定四边形BCC'D是矩形有哪些方法？分析

要证四边形DBCC'是矩形，联想矩形的三种判定方法.思路一：三个角是90°的四边形是矩形.分析

思路二：一个角是90°的平行四边形是矩形.如图析1，过点A作AE⊥C'C.分析

思路三：对角线相等的平行四边形是矩形.如图析2，连接DC，BC'.证明：如答图1，过点A作AE⊥

CC'于点E.由旋转得AC'

=

AC，∴∠CAE=∠C'AE=

∠α

=∠BAC.∵在图1中，四边形ABCD是菱形，∴BA=

BC.∴∠BCA=∠BAC.∴∠CAE=∠BCA.∴AE∥BC.同理，AE∥DC'.∴BC∥DC'.又∵BC=

DC'，∴四边形BCC'D是平行四边形.又∵AE∥BC，∠CEA=90°，∴∠BCC'=180°-∠CEA=90°.∴平行四边形BCC'D是矩形.实践探究：（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC

=10cm，然后提出一个问题：将△AC'D沿着射线DB方向平移acm，得到△A'C"D'，连接BD'，CC"，使四边形BCC"D'恰好为正方形，求a的