2023版中考数学复习满分大专题六综合与探究课件

满分大专题六

综合与探究

针对中考23题培优精讲本节满分大专题复习目标1.能在以一次函数、二次函数为背景的试题中，从运动的观点分析特殊图形的存在性问题.2.能借助几何直观寻找关键点，确定突破口.3.灵活掌握图形与坐标、图形的性质等核心主干知识，提升解决复杂问题的能力，在“开放与探究”中体会猜想验证是创新的重要方法.类型一线段及面积问题1名师一点通2典例精讲3满分训练名师一点通

一、线段问题二次函数背景下，线段问题的常用方法已在“提分小专题四——二次函数综合与探究”中进行了部分研究，现将解“将军饮马”型问题的方法补充总结如下：典型问题点P在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得△PCD

的周长最小点P在∠AOB

的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得PD+

CD最小点P，Q

在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC的周长最小构图方法结论P'P"

的长为△PCD周长的最小值P'C的长为PD+CD的最小值P'Q'+PQ的长为四边形PQDC的周长的最小值续表典例精讲

（原创）如图1，抛物线y

=x2+bx

+c与x轴相交于A，B两点与y轴相交于点C，点A的坐标为（-1，0），点C的坐标为（0，-3）.（1）求抛物线的函数表达式.（2）①若点F是该抛物线的对称轴上的一个动点，当△ACF的周长最小时，求点F的坐标.解：①如答图1，BC与抛物线的对称轴交于点F，连接AF.∵点A与点B关于对称轴对称，∴AF+CF=BF+CF.当B，F，C三点共线时，AF+CF取得最小值，即AF+CF=BC.∵AC为定值，∴此时△AFC的周长最小.∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴抛物线的对称轴为直线x=1.令y=0，得x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，∴B（3，0）.（2）②若点Q是该抛物线的对称轴上的一个动点，当BQ-CQ的值最大时，求点Q的坐标.解：②如答图2，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接AC并延长，交抛物线的对称轴于点Q，此时BQ=AQ且BQ-CQ的值最大，即BQ-CQ=AC.（3）如图2，若点P为抛物线上的一个动点.过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E.在第一象限内，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的4倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：存在.设点P的坐标为（m，m2–2m-3）（m>3），则点E的坐标为（m，m-3）.∴PE=m2–2m–3-（m-3）=

m2–3m,DE=m–3.满分训练

（2012山西第26题节选）综合与实践如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的函数表达式及B，D两点的坐标.解：当y

=0时，-x2+2x

+3=0，解得x1=-1，x2=3．∵点A在点B的左侧，∴A，B的坐标分别为（-1，0），（3，0）.当x

=0时，y

=3.∴C点的坐标为（0，3）.（2）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标.（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式.（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标.（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF.试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE=FD？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.

二次函数背景下，面积问题的常用方法已在“提分小专题四——二次函数综合与探究”中进行研究，现将二次函数背景下的方法总结如下：名师一点通

二、面积问题典例精讲

(2022福建)如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点.P是抛物线上一点，且在直线AB的上方.连接OB，AB，BP，AP．（1）求抛物线的函数表达式.（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标.满分训练

（1）求A，B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式.（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D.①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.解：存在.设点D的坐标为（m，-m-6），其中-6<m<0.∵点B，C的坐标分别为（2，0），（0，-6），∴BD2=（m-2）2+（m+6）2

，BC2=22+62=40，DC2=m2+m2=2m2.∵DE∥BC，∴当DE=BC时，以D，C，B，E为顶点的四边形是平行四边形.如答图1，当BD=BC时，□BDEC是菱形.∴（m-2）2+（m+6）2=40.解得m1=-4，m2=0（舍去）.∴点D的坐标为（-4，-2）.∴点E的坐标为(-6，-8).（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D.②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N.当S△DMN

=S△AOC时，请直接写出DM的长.点拨：如图析，设点D的坐标为（m，-m-6），其中-6<m<0.∵A（-6，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x=-2.∵直线BC的函数表达式为y=3x-6，直线l∥BC，∴设直线l的函数表达式为y=3x+b.∵点D的坐标为（m，-m-6），∴b=-4m-6.∴M（-2，-4m-12）.∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N，∴N（-2，-4）.∴MN=-4m-12+4=-4m–8.类型二平行四边形存在性问题方法参见：主书88页，平行四边形存在性问题”名师一点通“1典例精讲2满分训练典例精讲

（2022怀化）如图，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB

交BC于点F.（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长.解：如答图，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q.∵B（3，0），C（0，3），∴OB=OC=3.∴∠OBC=∠OCB=45°.∵PQ∥y轴，PF∥AB，∴∠PQE=∠OCB=45°，∠PFE=∠OBC=45.（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C，B，G，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.解：存在.一题多解在二次函数背景下，探究平行四边形的存在性问题需要注意以下几点：1.分类标准：（1）平移法是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况；（2）解析法是以对角线为分类标准分为三种情况，根据相对顶点的坐标关系列方程求解；（3）“两定两动”一般运用平移法，“三定一动”一般运用解析法，但是具体问题具体分析.2.根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用平移法，可以使得计算过程简便.根据平行四边形的中心对称性，灵活运用解析法，可以使得解题更简单.3.一般情况下，“两定两动”中的两个动点一个在抛物线上，另一个在直线上，而这条直线可能是横线或者竖线或斜线（横线指x轴或平行于x轴的直线；竖线指y轴或平行于y轴的直线；斜线指与x轴和y轴都相交的直线）满分笔记满分训练

（1）请你直接写出点A，B，C的坐标.解：A（-2，0），B（6，0），C（0，-6）.（2）P在抛物线上，设点P的横坐标为m（0<m<6），当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值.（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.类型三等腰三角形及菱形存在性问题”一定两动“型1名师一点通2典例精讲3满分训练名师一点通

典型问题如图，平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B（“一定”），点D

是x

轴上一动点，点E是直线l上一动点（“两动”），当△BDE是等腰三角形时，求点D，E的坐标.基本思路分类讨论（可根据等腰三角形顶角顶点分类，也可根据腰分类）基本方法DB=DE（D为顶角顶点）EB=ED（E为顶角顶点）续表基本方法BD=BE（B为顶角顶点）续表总结等腰三角形的存在性问题，无论是“两动一定”还是“两定一动”，都是分三种情况（三个顶角）进行讨论的“.两定一动”时，用尺规作图（两圆一线）找点；“一定两动”时，通常有一个固定的角，先分析完整的动态过程，确定好三角形所在的象限，再抓住固定的角，在每一个象限内分情况讨论，一种情况是定角（或定角的邻补角）作为底角，另一种情况是定角（或定角的邻补角）作为顶角，具体情况根据情境中的动态范围确定.续表典例精讲

1.（原创）如图1，抛物线y

=-x2+bx

+c与x轴相交于A（-4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4）.

（1）求抛物线的函数表达式和点B的坐标

.

（2）如图2，点M是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线分别交直线AC和抛物线于点P，N，设点M的横坐标是m.当△CPN是等腰三角形时，求m的值.∵点P，N横坐标均为m，∴PM=m+4，MN=-m2-3m+4．∴PN=MN-PM

=-m2-3m+4-m-4

=-m2-4m.如答图1，过点P作PD⊥y轴于点D.∵OM=-m，∴PD=-m2.（2022百校三）综合与实践如图，二次函数y

=ax2+bx

+4的图象与

x轴分别交于点

A（−2，0），B（4，0），点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x

轴，交抛物线于点

P，交直线BC

于点F.（1）求二次函数的表达式.（3）试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.满分训练

1.（2016山西第23题节选）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-8与x

轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）.

（1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点B和点E的坐标.（2）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形.（1）求直线AD的表达式及点C的坐标.（2）当四边形AFPE的面积与△ADF的面积相等时，求m的值.（3）试探究点P在运动过程中，是否存在m使四边形AFPE是菱形.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.类型四直角三角形及菱形存在性问题”一定两动“型1名师一点通2典例精讲问题：如图1，平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B（B为定点，即“一定”），点D是x轴上一动点，点E是直线l上一动点（D，E为动点，即“两动”），当△BDE是直角三角形时，求点D，E

的坐标.思路：分类讨论（可根据直角三角形直角顶点分类，也可根据斜边分类），分为三种情况.名师一点通

方法：此题中∠DBE是固定的角，不可能等于90°，所以△BDE成为直角三角形分为以下两种情况.①∠DEB为直角（点E为直角顶点，BD为斜边，如图2）.②∠EDB为直角（点D为直角顶点，BE为斜边，如图3）.典例精讲

1.（原创）综合与实践如图1，抛物线y

=-ax2+bx

+3与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，直线BD交抛物线于点E，点D的坐标为（0，4），点P是直线BD上方抛物线上的一动点，连接PE，PB.（1）求抛物线的函数表达式.（2）当△PBE的面积最大时，求点P的坐标.（3）如图2，在（2）的条件下，点Q是射线DO上一动点，连接PQ，射线PQ与直线BD交于点F，当△DFQ是直角三角形时，求点Q的坐标.解：∵∠FDQ为固定的角，不可能等于90°，∴△DFQ为直角三角形分两种情况：（4）在（3）的情况下，平面内是否存在点M，使得以点D，F，Q，M为顶点的四边形为矩形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.2.综合与实践（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出射线OP的函数表达式.（2）如图2，将△ABC从图1的位置开始沿x轴向右平移，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点依次为A′，B′，C′，线段A′C′与线段BC交于点D，线段B′C′与射线OP交于点E，射线CC′与射线OP交于点F.设△ABC平移的距离为m（0<m<8）.（2）①求线段C′E的长.（用含m的式子表示）（2）②在△ABC平移的过程中，是否存在m使△C'DE为直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由.类型五

45°角及正方形存在性问题1名师一点通2典例精讲3满分训练名师一点通

问题背景如图，AB是平面直角坐标系中一条直线.请在y轴的正半轴上找一点Q，在直线AB上找一点D，使∠QBD

=45°基本图形基本方法第一步：利用分类讨论思想，分点Q在AD上方和在AD下方两种情况；第二步：先作垂线构造等腰直角三角形；第三步：如图1或图2，过直角顶点构造全等模型，解决问题续表典例精讲

（2）如图2，点D为线段AC上的一个动点，连接BD，以点D为直角顶点，BD为直角边，在x轴的上方作等腰直角三角形BDE，当点E在y轴上时，求点D的坐标.（3）在（2）的基础上，请在平面内找一点M，使四边形BDEM是正方形，请直接写出点M的坐标.2.如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（-1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．（1）求该抛物线的表达式.（2）如图2，点P是抛物线上第一象限内的点，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的基础上，在平面内找一点M，使以点A，F，P，M为顶点的四边形是正方形，请直接写出点M的坐标.满分训练

2020/第23题（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式.（2）如图2，若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M.PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标.（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，求点Q的坐标.一题多解类型六

全等三角形存在性问题1名师一点通2典例精讲3满分训练名师一点通

类型共边型共顶点型当一个三角形固定时已知△ABC，BC平移得到AD1△ACD1沿AC翻折得到△ACD2△ABC沿AC翻折得到△ACD3已知△ADP，点P固定△ADP沿DP翻折得到△BDP△BDP关于点P中心对称得到△Q3MP△ADP关于点P中心对称得到△Q1MP△ADP沿DM向下平移得到△Q2PM△Q2PM沿PM翻折得到△Q4PM全等三角形的存在性问题通常有两种类型：当两个三角形都不固定时（1）若存在等线段，考虑夹它的两角对应相等（ASA）或其余两边对应相等（SSS）；（2）若存在等角，考虑夹它的两边对应相等（SAS）或再找一角一边对应相等（ASA，AAS）续表典例精讲

1.如图，抛物线y=x2+4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.点B关于直线AC的对称点为D.点E的坐标为（0，5），连接BC，DE.（1）求A，B，C三点的坐标.解：（1）把x=0代入y=x2+4x+3，得y=3.∴点C的坐标是（0，3）.当y=0时，x2+4x+3=0.解得x1=-3，x2=-1.∴点A的坐标是（-3，0），点B的坐标是（-1，0）.（2）在直线DE上是否存在点M，使得△CMA≌△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.（2）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2.点P为抛物线y1上对称轴右侧的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R.当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请求出点P的坐标．满分训练

如图1，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC.点D是线段BC上的一个动点（不与B，C重合），过点D作DE⊥x轴于点E.设点D的横坐标为m（0<m<4）.（1）求抛物线的表达式及点C的坐标.（2）线段DE的长用含m的式子表示为

.4-m（3）以DE为边作矩形DEFG，使点F在x轴负半轴上，点G在第三象限的抛物线上.①如图2，当矩形DEFG为正方形时，求m的值.②如图3，当点O恰好是线段EF的中点时，连接FD，FC.试探究坐标平面内是否存在一点P，使以P，C，F为顶点的三角形与△FCD全等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.类型七

相似三角形存在性问题1典例精讲2满分训练典例精讲

（2）M为线段OA上一动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．连接BN，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标.2.（2022十堰模拟）综合与探究已知抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）交x轴于A（-1，0），B（4，0），交y轴于点C．（1）求抛物线的函数表达式.（2