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第七章多自由度系统振动(二)§7-1瑞利能量法(Rayleigh)运动微分方程

介绍几种求解多度系统振动问题的近似方法两边前乘{x}的转置，得RI({x})称为第一瑞利商。当{x}取系统的各阶主振型{u}i时，瑞利商就相应地给出各阶固有频率ωi的平方：

如果{x}只是某阶主振型{u}i的近似假设，则可求出相应阶的固有频率的近似值。

由于实际系统低阶振型{u}i的近似假设，高阶振型难以作出合理假设，因此，第一瑞利商往往用于估算系统的基频ω1。

另外，由于系统在主振型振动中的最大动能与势能分别为：

故又称瑞利能量法。

若采用柔度矩阵[A]，则有：

RII({x})称为第二瑞利商。对任意假设振型{x}，可以证明：证：设n个特征值λ1<λ2

<··

·<λn，则

{u}1，{u}2，··

·,{u}n构成n维线性空间的一个完备基，即对任意向量{x}，都有取{u}i为归一化主振型，即有不等式RI({x})>RII({x})可改写成：下面只需证明RII({x})>λ1即可。〈例〉图示三自由度系统，求系统基频估值。解：易得质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵为：用两种假设振型求基频估值。(2)取静变形曲线作为假设振型(在3个质量块上同时加单位力得到的各质量块相对位移，即[A]中各列元素相加)，即取该系统基频为：§7-2邓克利法(Dunkerley)—迹法系统主振型方程为：

特征矩阵方程为：展开后，有由线性代数或矩阵论理论，有可用此式估算系统基频，且为下限估值。

若质量矩阵为对角阵，则

Aii是系统第

i个质量作用有单位力时系统的原地柔度系数(mi的位移)，当系统仅保留mi时，成为单自由度系统，此时有Aii是系统第

i个质量作用有单位力时系统的原地柔度系数(mi的位移)，当系统仅保留mi时，成为单自由度系统，此时有〈例〉图示三三自由由度系系统，，求系统统基频频估值值。解：系统矩矩阵为为：迹法邓克利利法§7-3里茨法法(Ritz)(或瑞利利－里里茨法法)求较低低几阶阶频率率与振振型思路：：先假假设若若干个个振型型并按按这些些振型型进行行最佳佳线性性组合合，再再用瑞瑞利法法求前前几阶阶模态态(固有频频率与与振型型)为求αj，将上上式对对各个个αj求偏导导，令令其等等于零零，得得里茨法法是在在Rayleigh法的基基础上上的改改进，，实际际上是是施加加了约约束，，因此此固有有频率率值偏偏大。。§7-4矩阵迭迭代法法①求最低频频率与与振型型利用此此式进进行迭迭代，，可求求最低低固有有频率率与振振型步骤如如下：：(a)任取{x}0，且以以某一一分量量为基基准1，则(b)比较{x}k与{x}k-1，若误差小于事先给定任意小值，则停止迭代，此时得到的为最大特征值。〈例〉图示三三自由由度系系统，，求系统统基频频估值值。解：系统矩矩阵为为：②求高阶频率与与振型型思路：：假设设振型型中不不含低低阶主主振型型若要求求第(r+1)阶特征征对，，则在在{x}中清除除前r阶主振振型分分量，，此时时只需需取[Q]r为r阶清洗洗(清扫)矩阵。。迭代公

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