结构动力学讲义3

第二章（续）

单自由度系统的振动12/4/20221

强迫振动：结构在动荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动（forcedvibration）。由方程：可以得到单自由度体系强迫振动的微分方程：§1.1单自由度系统简谐荷载作用下

的受迫振动12/4/20222其中,和的定义与自由振动时相同。12/4/202231、无阻尼受迫振动方程解设单自由度体系承受简谐荷载：是简谐荷载的圆频率，是简谐荷载的最大值，称为幅值。可得（无阻尼）：12/4/20224方程的解由两部分组成，即齐次解和特解。设特解的形式为：求得：特解为：12/4/20225微分方程的齐次解：全解：

振动由两部分组成：第一部分按荷载频率振动，为纯粹的强迫振动；第二部分按自振频率振动，为外力引起的自由振动。

由初始条件确定

12/4/202262、动力系数（1）实际上，由于有阻尼力存在，自由振动项将随时间的推移而逐渐消失，该项称为瞬态响应（transientresponse）。（2）自由振动消失之前的这一段时间内的响应称为过渡阶段，这段过渡时间的长短取决于阻尼的大小。12/4/20227（3）阻尼小，过渡时间就长；阻尼大，过渡时间就短。（4）过渡时间结束后，只按荷载频率振动的阶段称为平稳阶段，对应的响应称为稳态响应(stationaryresponse)。（5）在振动计算中，通常都不考虑自由振动部分尚未完全衰减掉时的过渡阶段，而只计算在这以后系统按荷载频率进行的纯强迫振动。12/4/20228即特解部分：令：为最大静位移，表示将荷载最大值P当作静荷载作用时结构所产生的位移；为动力放大系数或动力系数，表示最大动位移与最大静位移的比值。则有：12/4/20229

动力系数与频率比值的关系：动力系数是频率比值的函数，变化规律如图所示，其中横坐标为，纵坐标为的绝对值。12/4/202210特性分分析：（1）当时时，，动力力系数数。。简谐谐荷载载的数数值虽虽然随随时间间变化化，但但与结结构固固有频频率相相比变变化得得非常常慢，，因而而可当当静荷荷载处处理。。（2）当时时，，动动力力系系数数，，且且随随的的增增大大而而增增大大。。11/27/202211（3）当时时，，。。当荷荷载载频频率率接接近近于于结结构构固固有有频频率率时时，，振振幅幅会会无无限限增增大大。。这这种种现现象象称称为为共振振。实际际结结构构由由于于有有阻尼尼的影影响响，，共共振振时时不不会会出出现现振振幅幅为为无无限限大大的的情情况况，，但但共共振振时时的的振振幅幅比比静静位位移移大大很很多多倍倍的的情情况况有有可可能能发发生生。。（4）当时时，，的的绝绝对对值值随随的的增增大大而而减减小小。。11/27/202212例1：下图为一一无重简简支梁，，在跨中中有重的的电机，，电机偏偏心所产产生的离离心力为为若机器每每分钟的的转数，，梁的。在不计计阻尼的的情况下下，试求求梁的最最大位移移和弯矩矩。11/27/202213解：（1）梁的自自由振频频率由机器重重力作用用下梁的的最大静静力位移移则梁的自自振频率率为：（2）机器的的扰力频频率为：：11/27/202214（3）系统的的动力系系数（4）梁跨中中截面的的最大位位移和弯弯矩11/27/202215例2：图示跨中中带有一一质体的的无重简简支梁，，动力荷荷载作作用用在距离离左端l/4处，若及，，试试求在荷荷载F(t)作用下，，质体的的最大动动力位移移。11/27/202216解：（1）用图乘乘法先求求出柔度度系数及及。该梁的自自由振频频率：11/27/202217（2）按叠加加原理建建立运动动方程：：变换得：：即把非直直接作用用于质体体的荷载载按照静静力位移移等效的条件转转换成直接作作用于质体的的荷载。。位移协调等效11/27/202218则运动方程的的解为：由此式代入及及相相应应的便可求得得质体的最大动力位移移。a）当时b）当时11/27/2022193、有阻尼受迫迫振动方程程解在外力作作用下下，并且考考虑阻尼。。则方程变为为：上式通解为为：齐次解特解11/27/202220其中，设，，将将微分方程程变为代数数方程。过程推倒其解为，，并令，则，仅考虑低阻阻尼的情况况：11/27/202221待定定系系数数法法求求出出特特解解：：设方方程程的的特特解解为为：：代入入方方程程得，，11/27/202222使上上式式为为零零，，则则：：求得得：：有阻阻尼尼单单自自由由度度体体系系运运动动方方程程的的全全解解为为：：11/27/202223第一一部部分分频率率：：（1）对对外外载载的的瞬瞬态态响响应应，，常常数数A1和A2由初初始始条条件件确确定定。。但但是是，，由由于于阻阻尼尼的的存存在在，，频频率率为为的的第第一一部部分分含含有有因因子子，，因因此此会会逐逐渐渐衰衰减减直直至至消消失失。。第二二部部分分频率率：：瞬态态响响应应稳态态响响应应自由由振振动动强迫迫振振动动11/27/202224（2）频频率率为为的的第第二二部部分分由由于于受受到到荷荷载载的的周周期期影影响响而而不不衰衰减减，，这这部部分分振振动动称称为为稳稳态态响响应应。。（3）体体系系从从开开始始振振动动到到稳稳态态振振动动的的那那一一阶阶段段处处于于过过渡渡状状态态，，振振幅幅和和周周期期都都在在变变化化，，因因此此称称为为非稳稳定定振振动动或或过过渡渡态态振振动动。过过渡渡态态的的振振幅幅的的最最大大值值会会大大于于稳稳态态振振幅幅，，但但它它会会逐逐渐渐被被衰衰减减，，衰衰减减的的快快慢慢程程度度随随（4）仅分析纯受迫振动项（第二部分稳态响应）。

11/27/202225任一时刻刻的稳态态振动响响应：或：得：表示振幅幅——荷载最大大值P作用下的的静力位位移。11/27/202226动力系系数对于有有阻尼尼强迫迫振动动，动动力系系数不不仅与与频率率比值值有有关，，而且且与阻阻尼比比有有关关。对对于不不同的的值值，，和和与与之之间间的关关系曲曲线如如图。。11/27/202227图有有阻阻尼振振动体体系的的响应应特征征参数数幅频曲曲线相频曲曲线11/27/202228结论：：（1）在范范围围内，，随着着阻尼尼比的的增增大，，动力力系数数的的变变化渐渐趋平平缓，，特别别是在在附近，，的的峰值值显著著下降降。（2）在的的共振振情况况下，，动力力系数数为：：11/27/202229忽略阻阻尼的的影响响，即即时时，无无阻尼尼体系系共振振时动动力系系数趋趋于无无穷大大。但但是如如果考考虑阻阻尼的的影响响，则则共振振时动动力系系数总总是一一个有有限值值。因此：：在研究究共振振时的的动力力响应应，阻阻尼的的影响响不容容忽视视。11/27/202230（3）在阻尼体体系中，，共振时时的动力力系数虽虽然接近近于最大大的动力力系数，，但并并不等于于这个最最大值。。求最大响响应时的的值值：可求对对的的导导数并令令其等于于零。对对于阻尼尼比的的实际结结构，响响应峰值值频率为为：相应的响响应值：：11/27/202231对于的的阻尼尼体系在通常情情况下，，值值很小，，可以近近似认为为：11/27/202232（4）阻尼体系系的位移移比荷载载滞后一一个相位位角值由下式式决定。。11/27/2022331）当0时，荷载频率率很小，，体系振振动很慢慢，因此此惯性力力和阻尼尼力都很很小，动荷载主主要与弹弹性力平平衡。由于弹弹性力与与位移成成正比，，但方向向相反，，因此荷载与位位移基本本上是同同步的。11/27/2022342）当1时，当荷载频频率接近近结构固固有频率率时，位位移与与外载相相差差的相位位角接近近90°。因此当当荷载为为最大时时，位移移和加速速接近于于零，因因而弹性性力和惯惯性力都都接近于于零，这这时动荷载主主要由阻阻尼力相相平衡。11/27/2022353）当时时，，荷载频率率很大，，体系振振动很快快，因此此惯性力力很大，，弹性力力和阻尼尼力相对对来说比比较小，，动荷载主主要与惯惯性力平平衡。由于惯惯性力与与位移是是同相位位的，因因此荷载载与位移移的相位位角相差差约180°°，即两者者方向相相反。11/27/202236体系上各各个力的的平衡:（进一步说说明）由已知的的荷载，，以以及求得得位移,可以求得得1)惯性力：：2)弹簧力：：11/27/2022373）阻尼力：：1）当荷载频频率时，因频率率比这时惯性力力Fi(t)阻尼Fd(t)都很小，荷荷载F(t)主要由弹簧簧Fs(t)平衡讨论：11/27/2022383）当荷载频频率时时，频率比比，，，，，其中阻尼力力项：2）当荷载频频率时时，因频频率比很很大，，这时荷载载主要由惯惯性力Fi(t)平衡即荷载主要要由阻尼力力平衡。11/27/202239一般称这