2020高中数学 曲线与方程（含解析）2-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10-学必求其心得，业必贵于专精课时分层作业(六）曲线与方程（建议用时：60分钟）[基础达标练]一、选择题1．“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y)＝0的解"是“曲线C的方程是f(x，y)＝0"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B［“曲线C的方程是f（x，y)＝0”包括“曲线C上的点的坐标都是方程f（x,y)＝0的解”和“以方程f(x,y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上"两个方面，所以“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是f（x，y）＝0”的必要不充分条件，故选B。］2．方程y＝－eq\r（3－x2）表示的曲线是（)A．一个圆 B．一条射线C．半个圆 D．一条直线C［方程y＝－eq\r(3－x2）可化为x2＋y2＝3（y≤0）,故选C.］3．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（－1，1）关于原点O对称,P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－eq\f(1,3)，则动点P的轨迹方程为（）A．x2－3y2＝4B．x2＋3y2＝4C．x2－3y2＝4（x≠±1)D．x2＋3y2＝4（x≠±1）D[由点B与点A(－1，1）关于原点对称，得点B的坐标为（1，－1)．设点P的坐标为（x，y)，由题意得kAP·kBP＝eq\f(y－1，x＋1)·eq\f（y＋1,x－1)＝－eq\f（1，3)（x≠±1），化简得x2＋3y2＝4，且x≠±1.故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．]4．已知点P是直线x－2y＋3＝0上的一个动点,定点M（－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且｜PM|＝｜MQ|，则点Q的轨迹方程是(）A．x＋2y＋3＝0B．x－2y－5＝0C．x－2y－7＝0 D．x－2y＋7＝0D[设P(x0,y0），则x0－2y0＋3＝0（*）．又设Q（x，y)，由｜PM｜＝|MQ|，知点M是线段PQ的中点，则eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(－1＝\f(x0＋x,2），，2＝\f(y0＋y，2)，））即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－2－x，,y0＝4－y。））(＊*）．将(＊*）代入（*)，得（－2－x)－2（4－y）＋3＝0，即x－2y＋7＝0。故选D.]5．设点A为圆(x－1）2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且｜PA|＝1,则P点的轨迹方程为()A．y2＝2x B．（x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2D［如图，设P（x，y)，圆心为M(1，0)．连接MA，则MA⊥PA，且｜MA｜＝1,又∵|PA|＝1，∴｜PM｜＝eq\r（|MA｜2＋｜PA|2）＝eq\r(2）。即|PM｜2＝2，∴(x－1）2＋y2＝2。］二、填空题6．方程（x－1）2＋eq\r（y－2)＝0表示的是________．点（1，2)[由题意知，eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x－1＝0，，y－2＝0，)）即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝1,，y＝2.)）所以方程(x－1)2＋eq\r(y－2）＝0表示点（1，2）．]7．设命题甲：点P的坐标适合方程f(x，y）＝0，命题乙：点P在曲线C上，命题丙：点Q坐标不适合f（x,y）＝0，命题丁:点Q不在曲线C上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件．充分不必要［由甲是乙的必要不充分条件知，曲线C是方程f(x,y)＝0的曲线的一部分，则丙⇒丁,但丁丙，因此丙是丁的充分不必要条件．］8．已知定点F(1，0），动点P在y轴上运动,点M在x轴上，且eq\o（PM,\s\up8（→))·eq\o（PF,\s\up8（→)）＝0,延长MP到点N，使得｜eq\o（PM，\s\up8(→））|＝|eq\o(PN，\s\up8(→))|,则点N的轨迹方程是________．y2＝4x[由于|eq\o（PM，\s\up8（→)）|＝｜eq\o（PN,\s\up8（→)）｜，则P为MN的中点．设N（x，y）,则M（－x，0)，Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（y,2））），由eq\o(PM，\s\up8（→)）·eq\o（PF,\s\up8(→)）＝0，得eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－x，－\f（y，2））)·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1，－\f(y，2）))＝0，所以(－x）·1＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（y,2))）·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(y，2）)）＝0，则y2＝4x，即点N的轨迹方程是y2＝4x.］三、解答题9．已知A(0，4）,点B是曲线2x2＋1－y＝0上任意一点，且M是线段AB的中点，求动点M的轨迹方程．[解］设B(x1,y1),M(x，y)，由M是线段AB的中点，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝\f(x1,2），，y＝\f(y1＋4，2)，））∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x1＝2x，，y1＝2y－4.））又点B在曲线2x2＋1－y＝0上，∴2xeq\o\al(2，1）＋1－y1＝0，∴2×(2x)2＋1－（2y－4)＝0，即8x2－2y＋5＝0，∴动点M的轨迹方程是8x2－2y＋5＝0。10．如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，｜O1O2｜＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN（M，N分别为切点)，使得｜PM|＝eq\r（2)|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．[解］以O1O2的中点为原点,O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系,得O1（－2，0),O2(2，0)．连接PO1,O1M，PO2，O2N由已知｜PM｜＝eq\r(2）｜PN|，得|PM|2＝2|PN｜2，又在Rt△PO1M中，｜PM｜2＝|PO1|2－｜MO1|2在Rt△PO2N中,|PN|2＝｜PO2｜2－｜NO2|2,即得｜PO1｜2－1＝2（｜PO2|2－1)．设P(x，y），则(x＋2）2＋y2－1＝2［(x－2）2＋y2－1],化简得(x－6)2＋y2＝33.因此所求动点P的轨迹方程为（x－6)2＋y2＝33.[能力提升练］1．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋（x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是（）A．前后两者都是一条直线和一个圆B．前后两者都是两个点C．前者是一条直线和一个圆,后者是两个点D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆C［x（x2＋y2－1)＝0⇔x＝0或x2＋y2＝1，表示直线x＝0和圆x2＋y2＝1。x2＋（x2＋y2－1）2＝0⇔eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝0，x2＋y2－1＝0)）⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝±1,）)表示点(0，1），(0，－1)．］2．设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若eq\o（BP,\s\up8（→))＝2eq\o（PA，\s\up8(→））,且eq\o（OQ,\s\up8（→））·eq\o(AB,\s\up8(→))＝1，则点P的轨迹方程是（)A.eq\f(3,2)x2＋3y2＝1（x>0，y〉0)B。eq\f(3,2)x2－3y2＝1（x〉0，y〉0）C．3x2－eq\f(3,2）y2＝1（x>0,y>0）D．3x2＋eq\f（3，2）y2＝1(x>0，y>0）A[设A（a，0），B(0,b），a〉0，b>0.由eq\o(BP,\s\up8(→）)＝2eq\o（PA,\s\up8（→）),得（x,y－b）＝2（a－x,－y)，即a＝eq\f(3,2）x>0，b＝3y>0.点Q（－x，y)，故由eq\o(OQ,\s\up8（→）)·eq\o(AB，\s\up8（→）)＝1,得（－x，y)·（－a，b）＝1,即ax＋by＝1.将a，b代入ax＋by＝1,得所求的轨迹方程为eq\f（3，2)x2＋3y2＝1（x〉0，y〉0)．]3．已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动，线段AB的中点为M，则点M的轨迹方程为________．x2＋y2＝9［作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知|OM|＝eq\f(1,2)|AB|＝3.所以M的轨迹是以原点O为圆心，以3为半径的圆，故点M的轨迹方程为x2＋y2＝9.］4．已知两定点A（－2，0)，B（1，0），如果动点P满足｜PA|＝2｜PB｜，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于________．4π[设动点P(x，y),依题意｜PA|＝2｜PB|，∴eq\r（（x＋2）2＋y2)＝2eq\r(（x－1）2＋y2），化简得(x－2)2＋y2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S＝π·22＝4π。]5．过点P(2，4）作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．［解］法一：如图，设点M的坐标为（x，y），∵M为线段AB的中点,∴A点的坐标为(2x，0),B点的坐标为(0，2y）．∵l1⊥l2,且l1,l2过点P(2，4），∴PA⊥PB，即kPA·kPB＝－1，而kPA＝eq\f(4－0，2－2x）＝eq\f(2,1－x）(x≠1）,kPB＝eq\f(4－2y，2－0）＝eq\f（2－y,1）,∴eq\f（2,1－x)·eq\f（2－y，1）＝－1（x≠1），整理得x＋2y－5＝0(x≠1）．∵当x＝1时，A，B的坐标分别为(2，0），（0,4）,∴线段AB的中点坐标是（1，2),