电源-散热设计传热学-第四章

第四章导热问题的数值解引求解导热问题的三种基本方法：(12(3所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；实验法就是在传热学基本理论的指导下，采用对所三种方法的特分析能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；数值法：强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低是传热学的基本研究方法，ab数值

边界元法（boundaryelement）导热问题数值求解的基本思想 节点离散方程的建改进初求解代数方建立节点物改进初求解代数方建立节点物理量的代数方设立温度场的迭代初确定节点（区域离散化建立控制方程及定解条 是否收是解解的例题条yh3t

h2t

基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步Nny

建立离散方程的常用方法 ）ttm t1,,根 级数展开式，用节点(i,j)的温度来表示节点(i+1,j)而温度用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的温度ti-1,jtm1,ntm,n 2tx2 x3 若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加移项整理即得二阶导数的中心差分：2t2t

o(x2截断截断2t2t

o(y2 x2

y

v其节点方程

y2

基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。能量守恒：流入控制体的总热流量＋控制体内热源生＝流出控制体的总热流量＋控制体内能

单位

i

i(o)

＝注意：上面的公式 节点和边界节点均适从所有方向流入控制体的总热流量

nΦm

Φm

(m-y

((m,(m,n-

以 态、有内热源的导热问题为

Φv

A

y可见：当温度场还没有求出来之前，并不知道所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，假定温度呈分段线性分布，如图所示

dt可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布tm- tm-

y

xtm,n1

(m-

内热源

Φvytm1,ntm,nytm1,ntm,nxtm,n1tm,nxtm,n1

x2x

4tm,n

Φ

tm,n1

x2 无内热源时

x2 4tm,n

tm,n1 变为

重要说明：重要说明：所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节点。但这里不包括热流(或热流密度)前的系数。边界节点离散方程的建立及代数方程的求对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。为了求解方便，此处将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用Φ热源强度。ytm1,n

x

tm,nx

xy0x

yx

2tm1,n

qwtm,n1tm,n1

y

tm,ny x

x

xy x

x

tm,n1

qw 角

y

nt

y

nt1,,yq wxtm

tm,n,

tm,n,xq

w3xy4x 1tm,

t

2(2

3x2x

qwqw第二类边界条件：

qwconst，带入上面各式第三类边界条件：

qwh(t

tm

带入上面各式即qw

(T4T4

或其 写出所有内节点和边界节点的温度差分n个未知节点温度，n个代数方t1

t2

a2ntn

........................................tn

代数方程组的求解方法：直接解法、迭直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解;矩阵求逆 消元缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收 -赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度 例如：根据k次迭代

t(k t(k)可以求得节点温度

tt

a11t(k

a12t(k

...... t(k)

b(k121n1在计算后面的节点温度时应按下式（采121n1

211

aa2

311

att2

.......................................................

n1

n2

nn 判断迭代是否收敛的准则imaxt(kit(k

t(k)it(ki

—允许的偏

t(kti

相对偏差值一般103~106t(k1)t(k

t(k)maxtk及k+1表示迭代次

(k)max

—第k次迭代得到的最大t当有接近于零的t时，第三个较t tkt i,

i,

O(i, i,

kti,t

ki,

O(将非稳 扩散项的的差分格式代k1

2 ij ij

tk x)2 y)2tktkti,

i1,

tt

kti,jt

i,j1

4Fo

kti,t结论节点(i,j)下一时刻的温度用四周相邻节点以及它自身当前温度值来表tktk

i,

ti,jt

i,

ti,jt

i, k k

tk

t

i,

2

i,

i,取xy，整理成节i,j一时刻温度的显函数形ti,jt

ki,j

ki,j

2Bi

1

ki,显式格式的稳定性条时要受到严格的限制，称做稳定性条对二维内节点： 象.试看：问题：厚0.06m平壁，初始温度100℃，突然放入0℃的流体中，平壁的导热系数等于40W/(mK)h=1000W/(m2K)。若取Fo=1,计算结果如下：012345670-1-23隐式差分格对时间导数项采用向后差分格式，即得到隐式差分格式t tk

t t 2t

a