教学内容极限存在准则与两个重要极限课件

教案六教学内容：极限存在准则与两个重要极限；无穷小的比较.教学要求：(1)了解两个极限存在准则。(2)会用两个重要极限求一般简单未定式的极限，对于未定式求极限不必做过多的练习。(3)掌握无穷小的比较的有关概念（特别是高阶无穷小与等价无穷小）。教案六教学内容：极限存在准则与两个重要极限；无穷小的比较.1第六节

极限存在准则与

两个重要极限第六节

极限存在准则与

两个重要极限2一.夹逼准则

证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故定理1.一.夹逼准则证:由条件(2),当时,当时,令则当3例1.证明证:利用夹逼准则.且由例1.证明证:利用夹逼准则.且由4定理2.且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)定理2.且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)5圆扇形AOB的面积重要极限1.证:当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积故有圆扇形AOB的面积重要极限1.证:当即亦即时，显然6例2.

求解:例3.求解:令则因此原式例2.求解:例3.求解:令则因此原式7例4.

求解:原式=例5.已知圆内接正n边形面积为证明:证:说明:计算中注意利用例4.求解:原式=例5.已知圆内接正n边形8二.单调有界收敛准则

(证明略)二.单调有界收敛准则(证明略)9例6.设证明数列极限存在.证:利用二项式公式,有例6.设证明数列极限存在.证:利用二项式公式,10大大正又比较可知大大正又比较可知11根据单调有界收敛准则可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.又根据单调有界收敛准则可知数列记此极限为e,e为无理数12重要极限2.证:当时,设则重要极限2.证:当时,设则13当则从而有故说明:此极限也可写为时,令当则从而有故说明:此极限也可写为时,令14例6.

求解:令则说明

：若利用则原式例6.求解:令则说明：若利用则原式15例7.求解:原式=例7.求解:原式=16*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)

数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性”.设则时,有使当因此“充分性”证明从略.有*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)数列极限存在的充17的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法1找一个数列且使法2找两个趋于及使不存在.函数极限存在的夹逼准则的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)18思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的19故极限存在，备用题

1.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则故极限存在，备用题1.设,且求解：设则由递推公式有∴数202.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法2.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“212.两个重要极限或注:代表相同的表达式2.两个重要极限或注:代表相同的表达式22第七节

无穷小的比较第七节

无23都是无穷小,但可见无穷小趋于0的速度是多样的.引例都是无穷小,但可见无穷小趋于0的速度是多样的.引例24定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是

的等价无穷小,记作定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自25例如

,当～时～～又如

，故时是关于x的二阶无穷小,～且例如,当～时～～又如，故时是关于x的二阶无穷小,～26例1.

证明:当时,～证:～例1.证明:当时,～证:～27～～定理1.证:即即例如,～～故～～定理1.证:即即例如,～～故28定理2.设且存在,则证:例如,定理2.设且存在,则证:例如,29设对同一变化过程,,为无穷小,说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若=o(),(2)和差代替规则:例如,例如,设对同一变化过程,,为无穷小,说明:无穷小的30(3)因式代替规则:界,则例如,例1.求解:原式(3)因式代替规则:界,则例如,例1.求解:原式31例2.求解:例2.求解:32内容小结1.无穷小的比较设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的低阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小内容小结1.无穷小的比较设,对同一自变量的变化332.等价无穷小替换定理～～～～～

作业检测题1-6常用等价无穷小:2.等价无穷小替换定理～～～～～34教案六教学内容：极限存在准则与两个重要极限；无穷小的比较.教学要求：(1)了解两个极限存在准则。(2)会用两个重要极限求一般简单未定式的极限，对于未定式求极限不必做过多的练习。(3)掌握无穷小的比较的有关概念（特别是高阶无穷小与等价无穷小）。教案六教学内容：极限存在准则与两个重要极限；无穷小的比较.35第六节

极限存在准则与

两个重要极限第六节

极限存在准则与

两个重要极限36一.夹逼准则

证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故定理1.一.夹逼准则证:由条件(2),当时,当时,令则当37例1.证明证:利用夹逼准则.且由例1.证明证:利用夹逼准则.且由38定理2.且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)定理2.且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)39圆扇形AOB的面积重要极限1.证:当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积故有圆扇形AOB的面积重要极限1.证:当即亦即时，显然40例2.

求解:例3.求解:令则因此原式例2.求解:例3.求解:令则因此原式41例4.

求解:原式=例5.已知圆内接正n边形面积为证明:证:说明:计算中注意利用例4.求解:原式=例5.已知圆内接正n边形42二.单调有界收敛准则

(证明略)二.单调有界收敛准则(证明略)43例6.设证明数列极限存在.证:利用二项式公式,有例6.设证明数列极限存在.证:利用二项式公式,44大大正又比较可知大大正又比较可知45根据单调有界收敛准则可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.又根据单调有界收敛准则可知数列记此极限为e,e为无理数46重要极限2.证:当时,设则重要极限2.证:当时,设则47当则从而有故说明:此极限也可写为时,令当则从而有故说明:此极限也可写为时,令48例6.

求解:令则说明

：若利用则原式例6.求解:令则说明：若利用则原式49例7.求解:原式=例7.求解:原式=50*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)

数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性”.设则时,有使当因此“充分性”证明从略.有*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)数列极限存在的充51的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法1找一个数列且使法2找两个趋于及使不存在.函数极限存在的夹逼准则的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)52思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的53故极限存在，备用题

1.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则故极限存在，备用题1.设,且求解：设则由递推公式有∴数542.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法2.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“552.两个重要极限或注:代表相同的表达式2.两个重要极限或注:代表相同的表达式56第七节

无穷小的比较第七节

无57都是无穷小,但可见无穷小趋于0的速度是多样的.引例都是无穷小,但可见无穷小趋于0的速度是多样的.引例58定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是

的等价无穷小,记作定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自59例如

,当～时～～又如

，故时是关于x的二阶无穷小,～且例如,当～时～～又如，故时是关于x的二阶无穷小,～60例1.

证明:当时,～证:～例1.证明:当时,～证:～61～～定理1.证:即即例如,～～故～～定理1.证:即即例如,～～故62定理2.设且存在,则证:例如,定理2.设且存在,则证:例如,63设对同一变化过程,,为无穷小,说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若=o(),(2)和差代替规则:例如,例如,设对同一变化过程,,为无穷小,说明:无穷小的64(3)因式代替规则:界,则例如,例1.求解:原式(3)因式代替规则:界,则例如,例1.求解:原式65例2.求解:例2.求解:6