例谈目标函数中变量的选择江苏孔祥武

例谈目标函数中变量的选择孔祥武（江苏省常州市第一中学，213003）我们在分析几何中求最值范围时,经常需要建立适合的目标函数,把问题转变为函数的最值问题.解题的重点是剖析惹起函数值改动的原由，这个原由可能是某条线段的长度变化惹起的，可能是某条直线的斜率变化惹起的，亦可能是某个点的坐标变化惹起的，等等．“横当作岭侧成峰,远近高低各不一样”,从不一样的角度看问题，选择不一样的变量,会产生繁简不一的方法，所以在解题伊始，我们需要多维度思虑,选择适合的变量.下边介绍几个例子来说明问题.选择点的坐标作变量例1（常州市2010年高三调研测试）如图1，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2y21（ab0）的左焦点为F，右极点为，动点M为右准线上一点（异于右a2b2A准线与x轴的交点），设线段FM交椭圆C于点，已知椭圆C的离心率为2，点MP3的横坐标为9．21）求椭圆C的标准方程；2）设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1k2的取值范围．剖析斜率乘积的变化可看作是由M点的坐标变化惹起的．我们习惯先设M点，从而直线与椭圆联立,解出交点P的坐标，能够预示表达式特别复杂；若改变这类既定的次序，先设P点，再求M点，则奇妙避开了直线与椭圆联立的繁琐过程．解（1）椭圆C的标准方程为x2y21(过程略)．95y（2）设点P(x1,y1)（2x13），点M(9,y2)，M2PFOAx由于点F、P、M三点共线，所以y1y2，即y213y1，x12132(x12)2故点M(9,13y1)．22(x12)又ky1，k213y1，1x133(x12)则k1k2=y113y1=13y123)．x133(x12)3(x12)(x1由于点P在椭圆C上，所以x2y21，25(x129)．11即y199513(5)(x129)65x13=651)，（2k1k2=3(x19=(1x13），2)(x13)27x1227x12则k1k226,9所以k1k2的取值范围是(,26)．9值得一提的是选择点的坐标作变量有时带有轨迹的思想,可先求出知足限制条件的点的轨迹方程,而后再求解最值问题.例2已知圆O:x2y225与x轴订交于A,B两点，圆内一动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PAPB的范围.剖析向量数目积的变化可看作是由点P的坐标变化惹起的,同时设坐标下手更简单表达点在圆内的特点和办理向量点乘.解设点P(x0,y0)，则x02y0225①易知A(5,0),B(5,0),PA(5x0,y0)，PB(5x0,y0)，由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列得|PO|2|PA||PB|，x02y02(x05)2y02(x05)2y02，即(x2y2)2(x2y225)2(10x)200000整理得由①②得

x02y0225,即x0225y02②220y0225，4PAPB(x0225)y022y0225，2所以PAPB[25,0).2选择线段的长度作变量例3求知足条件AB2,AC2BC的三角形ABC的面积最大值.剖析面积表达式中既含有边又波及角,需要消元,一致成一个变量来办理.解设BCx，则AC2x，依据面积公式得SABC=1ABBCsinBx1cos2B，2依据余弦定理得cosBAB2BC2AC24x22x24x2，2ABBC4x4x4x21282SABC=2x212,x1164x由三角形三边关系有2xx2,解得222x222，x22x故当x23(222,222)时,SABC获得最大值22.评注此题亦能够点C的坐标为变量,以AB的中点成立适合的坐标系,得出C的轨迹方程为(x3)2y28,而后再求三角形面积最大值.选择直线的斜率作变量设直线斜率下手多合用于两直线相互垂直或倾斜角互补,或过定点的动直线等问题.例4已知圆C的方程为(x1)2(y5)225,过原点O作两条相互垂直的直线222l1,l2，l1交圆C于E,F两点，l2交圆C于G,H两点，求四边形EGFH面积的最大值．剖析四边形面积的变化可理解为是由直线l1的斜率变化惹起的．当直线l1的斜率不存在或斜率为0时，易知SEGFH1225(1)2225(5)235．222222设直线l1的方程为ykx,(k0)，则此时直线l2为y1xk1k5(1k5)2圆心C到直线l1的距离d122，则弦长EF22522，k212k2115k25(15k)2圆心C到直线l2的距离d222，则弦长GH222，k212k211225(1k5)225(15k)2所以SEGHF2222222k212k21225k210k252525k210k1,24(k21)24(k21)整体察看可发现k210k2525k210k113(定值),4(k21)4(k21)2SEGHF225k210k252525k210k124(k21)24(k21)(25k210k25)(2525k210k1)37.24(k21)24(k21)2所以四边形EGFH的面积最大值为37．2评注从数的角度发现定值,联想基本不等式解题是重点.选择有向距离作变量有时最值的变化可理解为点到点或点到直线的距离变化惹起的.我们知道圆的问题要注意几何性质的使用．上边例4中认真察看可发现，图l2y中有一个矩形，且对角线长一直为定值，故能够直接设距离下手．Gl1解法2如图2,过C作CMEF，垂足为M;

EOxMNFCH过C作CNGH，垂足为N.易知四边形CNOM为矩形，且对角线长一直为定值26，2设圆心C(1,5)到l1,l2的距离分别为d1,d2，22则d12d22OC213（定值），2弦长EF2R2d12，弦长GH2R2d22，SEGFH12R2d122R2d222R2d12R2d22(R2d12)(R2d22)37，22当且仅当R2d12R2d22，即d1d213时取到等号．2所以四边形EGFH的面积最大值为37．2评注从形的角度发现定值,更能揭露问题的实质;经过发掘几何性质,优化了运算过程，并且防止了斜率能否存在的议论.例5已知圆H的方程为(x2)2(y1)22,点P(0,b)，若过点P存在直线l与圆H交于M，N两点，且点M恰巧是线段PN的中点，务实数b的取值范围．剖析很自然想到设直线l的斜率,利用直线与圆联立,借住韦达定理来办理线段之间的关系,但这样操作很繁琐.换一个角度来看,y点M,N地点的变化既可理解P为是由直线l的斜率变化惹起的，也可理解为是由H点到直线Ml的距离变化惹起的，KN于是产生下边的解法.Hx解如图3，过H作HKMN交MN于K，

O设H到直线l的距离HKd，线段MKKNx，图3M为PN的中点,则PM2x,又d2x2MH22,①(3x)2d2PH2,②所以PH2(3x)2(2x2)28x2，由点M,N不重合及①知0x2存在切合条件的直线l,即对于x的方程PH228x2在0x2上有解.则2PH218，又PH2，(b1)4即04(1b)218，所以1

14b1

14，故

b的取值范围为

[1

14,1

14]．评注

解法

2抓住图中的两个直角三角形

KMH

与

KPH

，直接设线段长度下手来研究线段之间的比值关系，把解几存在性问题转变为相应方程的有解问题.选择角度作变量选择角度作变量多合用于点在圆弧或圆上运动,或图形是以三角形组成为主要特点,易于用三角函数表示相关元素的问题.例6如图4，此刻要在一块半径为1m,圆心角为60的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M,N在OB上，设平行四边形MNPQ的面积为S.求S的最大值.解连结OP,设POB,A则POQ中POQ,PQO2,OP1,33QP由正弦定理得PQ1,sin()sin233PQ2sin(3)OMNB,3又P到OB的距离h1sin,图42sin()3sin2,S3sinsincos(0,).333S1sin23cos33(sin2)3,266366又2(,5),则sin(2)(1,1],66662当22,即,S取到最大值3m2.666我们在选择变量时要战胜主观任意,试试从以上几个角度去思虑问题.变量选不好,费