2021-2022学年四川省绵阳市名校共同体八年级（上）期末数学试卷

2021-2022学年四川省绵阳市名校共同体八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下面是四家医院标志的图案部分，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）在党中央的坚强领导下，经过两年的战斗，新型冠状病毒引发的肺炎疫情得到了有效控制．研究发现，某种新型冠状病毒的直径约为213纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示213纳米，则正确的结果是（）A．2.13×10﹣6米 B．0.213×10﹣6米 C．2.13×10﹣7米 D．21.3×10﹣7米3．（3分）下列各式中，运算正确的是（）A．（﹣a3）2＝﹣a6 B． C．（﹣2022）0＝2022 D．a8÷a4＝a24．（3分）下列结论正确的是（）A．两个等边三角形全等 B．有一个锐角相等的两个直角三角形全等 C．有两边及一个角对应相等的两个三角形全等 D．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等5．（3分）﹣x3y﹣1•（﹣2x﹣1y）2＝（）A．﹣2xy B．2xy C．﹣2x2y D．2xy26．（3分）在数学探究活动课中，清华同学如果要用小木棒钉制成一个三角形，其中两根小木棒长分别为2cm，3cm，则第三根小木棒可取（）A．1cm B．2cm C．5cm D．6cm7．（3分）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点D在点E的左侧，已知AE＝2cm，DE＝1cm，，CE＝（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm8．（3分）若x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，且a＝﹣3，则ab＝（）A．﹣27 B．﹣27或27 C．27或 D．﹣27或9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝20，点D在边AB上，CA＝CD，BD＝8，则AD＝（）A．2 B．3 C．4 D．610．（3分）已知3m＝x，32n＝y，m，n为正整数，则9m+2n＝（）A．x2y2 B．x2+y2 C．2x+12y D．24xy11．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当△DEG的周长最小时，则∠EGD＝（）A．36° B．60° C．72° D．108°12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，AD经过点O与BC交于点D，以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF，分别和AB，AC交于点G，H连接GH．若∠BOC＝120°，AB＝a，AC＝b，AD＝c．则下列结论中正确的个数有（）①∠BAC＝60°；②△AGH是等边三角形；③AD与GH互相垂直平分；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．将答案直接填写在答题卷中的横线上．13．（3分）分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝．14．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在边AB上的点E处，折痕为BD，AE＝3cm，则△AED的周长等于cm．15．（3分）若分式的值为零，则x的值为．16．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝a，CE＝b，∠BAC和∠ABC的平分线分别为AD，BE相交于点O，AD交BC于点D，BE交AC于点E，过点O作OF⊥AB于F，若OF＝c，则△ABC的面积为．17．（3分）如图，在四边形ABCD中，点F在BC的延长线上，∠ABC的平分线和∠DCF的平分线交于点E，若∠A+∠D＝224°，则∠E＝．18．（3分）若关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和等于．三、解答题：本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（7分）（1）计算：[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+2y．（2）解分式方程：．20．（7分）先化简，再求值：，其中点（a，3）关于y轴的对称点是（4，3）．21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AC上，BC＝CD，以AB为边向左侧作等边三角形ABE，连ED．（1）求证：△ABC≌△EBD；（2）过点B作BF⊥ED于点F，DF＝2，求BD的长．22．（8分）精强硅谷，有众多高科技产业，红旗电子科技公司是通讯设备、电源设备及消费类电子产品生产厂商，提供各类高分子材料、热传导材料、绝缘材料、缓冲及防尘材料．该公司今年承包了一手机品牌某一热传导材料零部件的生产任务，原计划在规定时间内生产24000个热传导材料零部件，由于此零件紧缺，需要提前5天供货，该公司经商议后，决定将工作效率比原计划提高25%，结果按预期刚好提前5天完成任务，求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CE平分∠ACB交AB于点D，点D在AC的垂直平分线上，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，CE＝AC，BC＝AD．（1）求证：∠BEC＝∠BAC；（2）设∠ACE＝θ，求∠CAE的度数；（3）若BF＝3，求BD的长．24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一动点，连接CD，以点C为直角顶点，CD为直角边作等腰直角△DCE，DE交BC于点F．（1）如图1，若∠B＝20°，当△CDF为等腰三角形时，请直接写出此时∠BDF的度数；（2）如图2，若ED⊥AB，点G为EF上一点，BD+GE＝FG．①求证：∠BFD＝∠A；②求证：AB＝2FG．

2021-2022学年四川省绵阳市名校共同体八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）下面是四家医院标志的图案部分，其中是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．2．（3分）在党中央的坚强领导下，经过两年的战斗，新型冠状病毒引发的肺炎疫情得到了有效控制．研究发现，某种新型冠状病毒的直径约为213纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示213纳米，则正确的结果是（）A．2.13×10﹣6米 B．0.213×10﹣6米 C．2.13×10﹣7米 D．21.3×10﹣7米【分析】首先根据：1纳米＝1.0×10﹣9米，把213纳米化成以米为单位的量；然后根据：绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，用科学记数法表示213纳米即可．【解答】解：∵1纳米＝1.0×10﹣9米，∴213纳米＝213×10﹣9米＝0.000000213米＝2.13×10﹣7米．故选：C．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）下列各式中，运算正确的是（）A．（﹣a3）2＝﹣a6 B． C．（﹣2022）0＝2022 D．a8÷a4＝a2【分析】利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，负整数指数幂，零指数幂对各项进行运算即可．【解答】解：A、（﹣a3）2＝a6，故A不符合题意；B、，故B符合题意；C、（﹣2022）0＝1，故C不符合题意；D、a8÷a4＝a4，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，负整数指数幂，零指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4．（3分）下列结论正确的是（）A．两个等边三角形全等 B．有一个锐角相等的两个直角三角形全等 C．有两边及一个角对应相等的两个三角形全等 D．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等【分析】利用三角形的判定定理即可判断，有SSS、SAS、AAS、ASA、HL．【解答】解：D选项中两个直角三角形，有直角相等，一组锐角对应相等和一组斜边对应相等，两组角一组边，符合AAS或者ASA，所以D正确．故选：D．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，注意全等的判定定理中必须有一组边对应相等，还有SAS的应用，角必须是两条边的夹角．5．（3分）﹣x3y﹣1•（﹣2x﹣1y）2＝（）A．﹣2xy B．2xy C．﹣2x2y D．2xy2【分析】利用负整数指数幂，积的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对式子进行运算即可．【解答】解：﹣x3y﹣1•（﹣2x﹣1y）2＝﹣x3y﹣1•4x﹣2y2＝﹣2xy．故选：A．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．6．（3分）在数学探究活动课中，清华同学如果要用小木棒钉制成一个三角形，其中两根小木棒长分别为2cm，3cm，则第三根小木棒可取（）A．1cm B．2cm C．5cm D．6cm【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，结合选项解答即可．【解答】解：设第三边长为acm，由三角形的三边关系，得3﹣2＜a＜3+2，即1＜a＜5，只有2cm适合，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，点D在点E的左侧，已知AE＝2cm，DE＝1cm，，CE＝（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据三角形的面积公式求出BC，根据中线的概念求出DC，计算即可．【解答】解：∵S△ABC＝8cm2，∴BC•AE＝8，即×BC×2＝8，解得：BC＝8，∵AD是边BC上的中线，∴DC＝BC＝4（cm），∴EC＝DC﹣DE＝4﹣1＝3（cm），故选：C．【点评】本题考查的是三角形的中线、高的概念、三角形的面积计算，掌握三角形的中线的概念是解题的关键．8．（3分）若x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，且a＝﹣3，则ab＝（）A．﹣27 B．﹣27或27 C．27或 D．﹣27或【分析】根据完全平方公式计算，注意分情况讨论．【解答】解：∵x2±4x+4＝（x±2）2，∴2（b﹣1）＝±4，解得b1＝3或b2＝﹣1，∴ab＝﹣27或﹣，故选：D．【点评】本题考查了完全平方公式、代数式求值，熟练应用完全平方公式计算，用数值代替代数式里的字母是解题关键．9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝20，点D在边AB上，CA＝CD，BD＝8，则AD＝（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由等腰三角形的性质可得AD＝2DE，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BE的长，即可求得DE的长，进而可求解．【解答】解：过C点作CE⊥AD于E，∵CA＝CD，∴AD＝2DE，∵∠ABC＝60°，∠CEB＝90°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝10，∵BD＝8，∴DE＝BE﹣BD＝10﹣8＝2，∴AD＝4．故选：C．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．10．（3分）已知3m＝x，32n＝y，m，n为正整数，则9m+2n＝（）A．x2y2 B．x2+y2 C．2x+12y D．24xy【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．【解答】解：当3m＝x，32n＝y时，9m+2n＝9m×92n＝（3m）2×（32n）2＝x2y2．故选：A．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．11．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当△DEG的周长最小时，则∠EGD＝（）A．36° B．60° C．72° D．108°【分析】根据轴对称的性质，得出连接EC与AF交于G，此时△DEG的周长最小，进而由正五边形的性质进行计算即可．【解答】解：如图，连接EC交AF于点G，此时△DEG的周长最小，∵五边形ABCDE是正五边形，∴DE＝DC，∠CDE＝＝108°，∴∠DEC＝∠DCE＝＝36°，又∵AF是正五边形的对称轴，∴GD＝GC，∴∠GDC＝∠GCD＝36°，∴∠EGD＝2×36°＝72°，故选：C．【点评】本题考查正五边形和圆，轴对称路线最短，掌握正五边形的性质以及“连接EC交AF于点G，此时△DEG的周长最小”是解决问题的关键．12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，AD经过点O与BC交于点D，以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF，分别和AB，AC交于点G，H连接GH．若∠BOC＝120°，AB＝a，AC＝b，AD＝c．则下列结论中正确的个数有（）①∠BAC＝60°；②△AGH是等边三角形；③AD与GH互相垂直平分；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用三角形的内心的性质可得AD为∠BAC的平分线，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，通过计算即可得出∠BAC＝60°；通过证明△EAG≌△FAH即可判定②的正确；利用△ABC为一般三角形，GH不一定平分AD，可以判定③不一定成立；利用三角形的面积公式计算得出结论即可判定④不正确．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB．∵∠BOC＝120°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣120°＝60°．∴∠ABC+∠ACB＝120°．∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°．∴①的结论正确；∵三角形的三条角平分线相交于一点，∴AD为∠BAC的平分线．∴∠BAD＝∠CAD＝30°．∵以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF，∴AE＝AF，∠E＝∠F＝60°，∠EAD＝∠FAD＝60°．∴∠EAG＝∠FAH＝30°．在△EAG和△FAH中，，∴△EAG≌△FAH（ASA）．∴AG＝AH．∵∠BAC＝60°，∴△AGH是等边三角形．∴②的结论正确；∵AG＝AH，AD为∠BAC的平分线，∴AD垂直平分GH，但GH不一定平分AD，∴③的结论不正确；∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝•sin∠BAD+AC•AD•sin∠CAD＝ac+bc＝（a+b）c．∴④的结论不正确．综上，结论正确的有：①②，故选：B．【点评】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，利用相关定义与性质对每个选项进行判定是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．将答案直接填写在答题卷中的横线上．13．（3分）分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝y（x﹣y）2．【分析】先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．【解答】解：∵x2y﹣2xy2+y3＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2．故答案为：y（x﹣y）2．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．14．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在边AB上的点E处，折痕为BD，AE＝3cm，则△AED的周长等于9cmcm．【分析】依据翻折的性质可知DC＝DE，BC＝BE，然后可求得AD+DE+AE＝AD+DC+AE＝AC+AE，故此可求得△AED的周长．【解答】解：∵由翻折的性质可知DC＝DE，BC＝BE．∴AD+DE+AE＝AD+DC+AE＝AC+AE＝6+3＝9（cm），∴△AED的周长为：9cm．故答案为：9cm．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的判定，掌握翻折的性质是解题的关键．15．（3分）若分式的值为零，则x的值为3．【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零，由此得到3﹣|x|＝0且x+3≠0，从而得到x的值．【解答】解：依题意得：3﹣|x|＝0且x+3≠0，解得x＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．16．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝a，CE＝b，∠BAC和∠ABC的平分线分别为AD，BE相交于点O，AD交BC于点D，BE交AC于点E，过点O作OF⊥AB于F，若OF＝c，则△ABC的面积为ac+bc．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可知OE⊥AC，AC＝2CE＝2b，根据角平分线的性质得到OF＝OE＝OG，再利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：如图，作OG⊥BC，连接OC，∵AB＝BC，BE平分∠ABC，∴OE⊥AC，AC＝2EC＝2b，∵∠BAC和∠ABC的平分线分别为AD，BE相交于点O，且OF⊥AB，∴OE＝OF＝OG＝c，∴S△ABC＝S△ABO+S△ACO+S△BCO＝＝＝ac+bc．故答案为：ac+bc．【点评】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，结合图形合理利用等腰三角形的性质、角平分线的性质是解题的关键．17．（3分）如图，在四边形ABCD中，点F在BC的延长线上，∠ABC的平分线和∠DCF的平分线交于点E，若∠A+∠D＝224°，则∠E＝22°．【分析】根据角平分线的定义、四边形内角和、三角形外角性质求解即可．【解答】解：如图，∵∠A+∠D＝224°，∠A+∠ABC+∠3+∠D＝360°，∴∠ABC+∠3＝360°﹣224°＝136°，∴2∠1+∠3＝136°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCF，∴∠ABC＝2∠1，∠DCF＝2∠2，∵∠3+∠DCF＝180°，∴2∠2+∠3＝180°，∴2（∠2﹣∠1）＝180°﹣136°＝44°，∴∠2﹣∠1＝22°，∵∠2＝∠1+∠E，∴∠E＝∠2﹣∠1＝22°，故答案为：22°．【点评】此题考查了多边形的内角，熟记多边形内角和公式及三角形外角性质是解题的关键．18．（3分）若关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和等于7．【分析】解分式方程，用a表示x，根据最简公分母及一次系数不为0，求出a≠且a≠﹣1，a≠1，再根据关于x的方程的解为整数，求出a的值，进而求出满足条件的所有整数a的和．【解答】解：原分式方程可化为：﹣＝，去分母，得x﹣3﹣a（x+1）＝2a﹣2，解得，x＝＝＝﹣3+，∵x≠3且x≠﹣1，∴﹣3+≠3且﹣3+≠﹣1，∴a≠且a≠﹣1，a≠1，∵关于x的方程的解为整数，∴a＝±1或a＝±2或a＝±4，∴a＝﹣3、0、2、3、5，∴﹣3+0+2+3+5＝7，故答案为：7．【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤，根据关于x的方程的解为整数，分情况求出a的值是解题关键．三、解答题：本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（7分）（1）计算：[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+2y．（2）解分式方程：．【分析】（1）原式中括号里利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算，合并即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式＝（x2﹣2xy+y2﹣x2+y2）÷（﹣2y）+2y＝（﹣2xy+2y2）÷（﹣2y）+2y＝x﹣y+2y＝x+y；（2）去分母得：2x（2x﹣3）+2（2x+3）＝（2x+3）（2x﹣3），整理得：4x2﹣6x+4x+6＝4x2﹣9，解得：x＝7.5，检验：把x＝7.5代入得：（2x+3）（2x﹣3）≠0，∴分式方程的解为x＝7.5．【点评】此题考查了解分式方程，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．20．（7分）先化简，再求值：，其中点（a，3）关于y轴的对称点是（4，3）．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由关于y轴对称点的坐标特点得出a的值，代入计算即可．【解答】解：原式＝÷（﹣）•＝÷•＝••＝，∵点（a，3）关于y轴的对称点是（4，3），∴a＝﹣4，则原式＝﹣．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AC上，BC＝CD，以AB为边向左侧作等边三角形ABE，连ED．（1）求证：△ABC≌△EBD；（2）过点B作BF⊥ED于点F，DF＝2，求BD的长．【分析】（1）等腰三角形的顶角为60°时，三角形为等边三角形，再根据图形分析出对应角的相互关系，即可判定两三角形全等；（2）由（1）得△ABC≌△EBD，得出∠C＝60°，再利用BF⊥ED，分析直角三角形即可得出BD的长．【解答】解：（1）∵∠ACB＝60°，BC＝CD，∴BCD为等边三角形，∴∠CBD＝60°，BC＝CD，∵△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，BA＝BE，∴∠ABE+∠ABD＝∠CBD+∠ABD，即∠DBE＝∠CBA，在△DBE和△CBA中，，∴△DBE≌△CBA（SAS）；（2）由（1）得：△ABC≌△EBD，∴∠C＝∠BDE＝60°，∵BF⊥ED，∴∠BFD＝90°，∴∠DBF＝30°，∴BD＝2DF，∵DF＝2，∴BD＝4．【点评】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的性质，解题关键是找到对应相等的边和角．22．（8分）精强硅谷，有众多高科技产业，红旗电子科技公司是通讯设备、电源设备及消费类电子产品生产厂商，提供各类高分子材料、热传导材料、绝缘材料、缓冲及防尘材料．该公司今年承包了一手机品牌某一热传导材料零部件的生产任务，原计划在规定时间内生产24000个热传导材料零部件，由于此零件紧缺，需要提前5天供货，该公司经商议后，决定将工作效率比原计划提高25%，结果按预期刚好提前5天完成任务，求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．【分析】根据题意可设原计划每天生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生产的零件个数，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求得规定的天数．【解答】解：设原计划每天生产的零件x个，由题意，得﹣5＝．得x＝960，经检验，x＝9600是原方程的根，且符合题意．∴规定的天数为24000÷960＝25（天）．答：原计划每天生产的零件960个，规定的天数是25天．【点评】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CE平分∠ACB交AB于点D，点D在AC的垂直平分线上，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，CE＝AC，BC＝AD．（1）求证：∠BEC＝∠BAC；（2）设∠ACE＝θ，求∠CAE的度数；（3）若BF＝3，求BD的长．【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到AD＝DC，利用等腰三角形的性质推出∠BAC＝36°，结合等腰三角形的判定与性质得出BC＝AD＝CD＝AE，利用SAS证明△ADE≌△CDB，根据定义三角形的性质及全等三角形的性质得到DE＝DB，根据三角形的内角和求出∠BEC的度数，据此即可得解；（2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和求解即可；（3）过点C作CG⊥BD于点G，利用AAS证明△FBE≌△GBC，根据全等三角形的性质得到BG＝BF＝3，根据等腰三角形的性质即可得解．【解答】（1）证明：∵点D在AC的垂直平分线上，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵BC＝AD，∴BC＝AD＝DC，∴∠CBD＝∠CDB，∵CE平分∠ACB交AB于点D，∴∠BCD＝∠DCA＝∠DAC，∠CDB＝∠DAC+∠DCA＝2∠DAC＝∠CBD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，即2∠DAC+2∠DAC+∠DAC＝180°，∴∠DAC＝36°，∴∠BCD＝∠DCA＝∠DAC＝36°，∠ABC＝∠ACB＝∠CDB＝∠ADE＝72°，∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣∠DCA）＝72°，∴∠ABC＝∠CDB＝∠ADE＝∠CEA＝72°，∴AE＝AD，∵AD＝DC，BC＝AD，∴BC＝AD＝CD＝AE，在△ADE和△CDB中，，∴△ADE≌△CDB（SAS），∴DE＝DB，∴∠DEB＝∠DBE，∵∠DEB+∠DBE＝∠CDB＝72°，∴∠DEB＝∠BEC＝×72°＝36°，∴∠BEC＝∠BAC；（2）解：∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠CEA，∵∠AC