2019-2020学年四川省绵阳市江油市九年级（上）期末数学试卷

2019-2020学年四川省绵阳市江油市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．抛掷﹣﹣枚硬币四次，有两次正面朝上 B．打开电视频道，正在播放《篮球比赛》 C．射击运动员射击一次，命中十环 D．方程x2﹣3x＝0必有实数根2．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）用配方法解方程的配方过程正确的是（）A．将原方程配方（）2＝4 B．将原方程配方（）2＝4 C．将原方程配方（）2＝ D．将原方程配方（）2＝4．（3分）一个不透明的布袋里装有3个红球，2个黑球，若干个白球；从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，袋中白球共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝35°，则∠ADC＝（）A．35° B．55° C．70° D．110°6．（3分）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为（）A． B． C． D．7．（3分）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x，则x满足等式（）A．16（1+2x）＝25 B．25（1﹣2x）＝16 C．25（1﹣x）2＝16 D．16（1+x）2＝258．（3分）已知A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，则ab的值为（）A． B． C．﹣5 D．59．（3分）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C都在圆周上，将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．3cm B．2cm C．6cm D．12cm10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长是（）A． B．2 C．3 D．11．（3分）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．0或312．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③m＞﹣2；④二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），最小值为﹣2，其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）13．（4分）已知二次函数的图象经过（﹣1、0）、（3、0）、（0、3）三点，那么这个二次函数的解析式为．14．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为．15．（4分）赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝米．16．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为．17．（4分）把一副三角板如图1放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，CD＝8把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到三角形D1CE（如图2），此时AB与CD1交于点H，则线段AD1的长度为．18．（4分）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（12分）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）①以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，②求点A经过的路径的长（结果保留π）．20．（12分）甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是．（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．21．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，I是△ADC的内心，∠ADB＝45°．（1）求⊙O半径的长．（2）求证：BC＝BI．22．（12分）关于x的方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于2？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点P为△OAB内任一点，连接PO、PA、PB，将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB'P'，连接PP'．（1）求点B'的坐标；（2）当△OPA与△APB满足什么条件时，PO+PA+PB的值最小，并求出此最小值；24．（14分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，若CD＝1，EH＝3，求BE长．25．（14分）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y＝x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？

2019-2020学年四川省绵阳市江油市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．抛掷﹣﹣枚硬币四次，有两次正面朝上 B．打开电视频道，正在播放《篮球比赛》 C．射击运动员射击一次，命中十环 D．方程x2﹣3x＝0必有实数根【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．【解答】解：A、抛掷﹣﹣枚硬币四次，有两次正面朝上是随机事件，故此选项不合题意；B、打开电视频道，正在播放《篮球比赛》是随机事件，故此选项不合题意；C、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故此选项不符合题意；D、方程x2﹣3x＝0必有实数根是必然事件，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形；故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）用配方法解方程的配方过程正确的是（）A．将原方程配方（）2＝4 B．将原方程配方（）2＝4 C．将原方程配方（）2＝ D．将原方程配方（）2＝【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由移项，得＝4，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣x+＝4+，∴（）2＝．故选：D．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．（3分）一个不透明的布袋里装有3个红球，2个黑球，若干个白球；从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是，袋中白球共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】设白球有x个，根据摸出的球是红球的概率是，利用概率公式列出方程，解之可得．【解答】解：设白球有x个，根据题意，得：＝，解得：x＝2，即袋中白球有2个，故选：B．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝35°，则∠ADC＝（）A．35° B．55° C．70° D．110°【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，再由三角形内角和定理得出∠ABC的度数，根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠ABC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∴∠ADC＝∠ABC＝55°．故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐含条件．6．（3分）在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为（）A． B． C． D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及坐标轴上的点的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，一共有20种等可能的结果，其中取到0的结果有8种，∴顶点在坐标轴上的概率为＝．故选：A．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，属于中考常考题型．7．（3分）一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x，则x满足等式（）A．16（1+2x）＝25 B．25（1﹣2x）＝16 C．25（1﹣x）2＝16 D．16（1+x）2＝25【分析】等量关系为：原价×（1﹣降价的百分率）2＝现价，把相关数值代入即可．【解答】解：第一次降价后的价格为：25×（1﹣x）；第二次降价后的价格为：25×（1﹣x）2；∵两次降价后的价格为16元，∴25（1﹣x）2＝16．故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．8．（3分）已知A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，则ab的值为（）A． B． C．﹣5 D．5【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，再利用负整数指数幂的性质得出答案．【解答】解：∵A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，∴a＝﹣5，b＝﹣1，则ab＝（﹣5）﹣1＝﹣．故选：B．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．9．（3分）如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C都在圆周上，将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．3cm B．2cm C．6cm D．12cm【分析】圆的半径为12，求出AB的长度，用弧长公式可求得的长度，圆锥的底面圆的半径＝圆锥的弧长÷2π．【解答】解：AB＝＝＝12cm，∴＝＝6π∴圆锥的底面圆的半径＝6π÷（2π）＝3cm．故选：A．【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长是（）A． B．2 C．3 D．【分析】根据勾股定理可得AB＝10，再根据三角形内切圆的性质可得正方形CGOF，根据切线长定理可求得内切圆半径，再根据勾股定理即可求得OD的长．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，设⊙O与△ABC的三边的切点为E、F、G，连接OE、OF、OG，得正方形CGOF设OF＝OE＝OG＝CG＝CF＝x，则AG＝AE＝6﹣x，BE＝BF＝8﹣x，∴6﹣x+8﹣x＝10，解得x＝2，∴AE＝6﹣x＝4，∵点D是斜边AB的中点，∴AD＝5，∴DE＝AD﹣AE＝1，在Rt△ODE中，根据勾股定理，得OD＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．11．（3分）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．0或3【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值是解题的关键．12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③m＞﹣2；④二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），最小值为﹣2，其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0正确，符合题意；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故原选项错误，不符合题意；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，即y＝ax2+bx+c与y＝m没有交点，故m＜﹣2，原选项错误，不符合题意；④从图象看二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣2，故符合题意；故选：B．【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）13．（4分）已知二次函数的图象经过（﹣1、0）、（3、0）、（0、3）三点，那么这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．【分析】设交点式y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（0，3）代入求出a即可．【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把（0，3）代入得3＝a（0+1）（0﹣3），解得a＝﹣1，所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3．故答案为y＝﹣x2+2x+3．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．14．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为3．【分析】由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，同时也是正六边形ABCDEF的边长．【解答】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，而正六边形可以分成六个边长的正三角形，∴正多边形的半径即为正三角形的边长，∴正三角形的边长为3，∴正六边形ABCDEF的边长为3，故答案为：3【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题关键是根据正六边形可以分成六个边长的正三角形解答．15．（4分）赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝50米．【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可．【解答】解：根据垂径定理，得AD＝AB＝20米．设圆的半径是R，根据勾股定理，得R2＝202+（R﹣10）2，解得R＝25（米），∴⊙O的直径为50米．故答案为50．【点评】此题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．16．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为x1＝﹣1或x2＝3．【分析】由二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系即可得到关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解．【解答】解：依题意得二次函数y＝﹣x2+2x+m的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（3﹣1）＝﹣1，∴交点坐标为（﹣1，0）∴当x＝﹣1或x＝3时，函数值y＝0，即﹣x2+2x+m＝0，∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为x1＝﹣1或x2＝3．故答案为：x1＝﹣1或x2＝3．【点评】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率．17．（4分）把一副三角板如图1放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，CD＝8把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到三角形D1CE（如图2），此时AB与CD1交于点H，则线段AD1的长度为．【分析】由直角三角形的性质可得AC＝BC＝3，∠DCE＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°，由旋转的性质可求∠D1CB＝45°，由直角三角形的性质可求AH＝CH＝3，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，AB于CD1交于点H，∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝45°，∠CDE＝30°，斜边AB＝6，CD＝8，∴AC＝BC＝3，∠DCE＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∵将三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到三角形D1CE，∴∠D1CB＝45°，CD1＝CD＝8，∴AB⊥CD1，∴AH＝CH＝3，∴D1H＝5，∴AD1＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．18．（4分）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为．【分析】如图，直线y＝x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，先利用一次解析式得到D（0，2），C（﹣2，0），再利用勾股定理可计算出CD＝4，则利用面积法可计算出OH＝，连接OA，如图，利用切线的性质得OA⊥PA，则PA＝，然后利用垂线段最短求PA的最小值．【解答】解：如图，设直线y＝x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，当x＝0时，y＝x+2＝2，则D（0，2），当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣2，则C（﹣2，0），∴CD＝＝4，∵OH•CD＝OC•OD，∴OH＝＝，连接OA，如图，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴PA＝＝，当OP的值最小时，PA的值最小，而OP的最小值为OH的长，∴PA的最小值＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了一次函数的性质．三、解答题（本大题共7小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（12分）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）①以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，②求点A经过的路径的长（结果保留π）．【分析】（1）先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解；（2）①利用旋转的性质，即可得到旋转后的图形；②利用弧长计算公式，即可得到点A经过的路径的长．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2）①如图所示，△A1B1C即为所求；②∵AC＝5，旋转角为90°，∴点A经过的路径＝×2×5π＝π．【点评】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出对应点．20．（12分）甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是．（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．【分析】（1）根据甲、乙两校分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意画图如下：共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，则所选的2名教师性别相同的概率是＝；故答案为：；（2）将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男教师，2表示女教师），树状图如图所示：所以P（两名教师来自同一所学校）＝＝．【点评】本题考查列表法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．21．（12分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，I是△ADC的内心，∠ADB＝45°．（1）求⊙O半径的长．（2）求证：BC＝BI．【分析】（1）根据AC是⊙的直径，可得∠ADC＝90°＝∠ABC，再根据已知条件证明AB＝BC，根据勾股定理即可求得半径；（2）连接AI，根据I是△ADC的内心．可得∠DAI＝∠CAI，再证明AB＝BI，进而可以证明BC＝BI．【解答】解：（1）∵AC是⊙的直径，∴∠ADC＝90°＝∠ABC，又∠ADB＝45°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∴，∴AB＝BC∵AB＝2，∴∴⊙O的半径为；（2）连接AI，∵I是△ADC的内心．∴∠DAI＝∠CAI，∠AIB＝∠DAI+∠ADI，∠BAI＝∠BAC+∠CAI，∵∠BAC＝∠ADI，∴∠BAI＝∠AIB，∴AB＝BI，即BC＝BI．【点评】本题考查了三角形内切圆与内心、圆周角定理，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．22．（12分）关于x的方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于2？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）假设存在实数m，使方程两实数根的倒数和为2，根据根与系数的关系即可求出m的值．【解答】解：（1）关于x的方程＝0有两个不相等的实数根∴，解得m＞﹣1且m≠0（2）假设存在实数m，使方程两实数根的倒数和为2设方程＝0的两根为x1、x2∴，，，∴x1+x2＝2x1x2即，解得∴不存在实数m使方程两根的倒数和为2【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数的关系以及根的判别式，本题属于基础题型．23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点P为△OAB内任一点，连接PO、PA、PB，将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB'P'，连接PP'．（1）求点B'的坐标；（2）当△OPA与△APB满足什么条件时，PO+PA+PB的值最小，并求出此最小值；【分析】（1）证明OA⊥AB′，求出AB′即可解决问题．（2）由旋转可得，△APP'是等边三角形，推出PP'＝PA，P'B'＝PB，推出PO+PA+PB＝PO+PP'+P'B'，推出当0、P、P'、B'四点共线时，PO+PA+PB的值最小，最小值为线段OB′的长．利用勾股定理求出OB′即可．【解答】解：（1）∵，∴AB＝2，∠BAO＝30°，∵将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB'P'，∴AB'＝2，∠OAB′＝90°∴，（2）连接OB′．由旋转可得，△APP'是等边三角形，∴PP'＝PA，P'B'＝PB，∴PO+PA+PB＝PO+PP'+P'B'，∴当0、P、P'、B'四点共线时，PO+PA+PB的值最小，即∠OPA＝∠APB＝∠AP'B'＝120°时，PO+PA+PB的值最小，此时，．【点评】本题考查旋转变换，解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．24．（14分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，若CD＝1，EH＝3，求BE长．【分析】（1）连接OE，根据BE平分∠ABC，可得∠CBE＝∠ABE，证明OE∥AC，进而可以证明AC是⊙O的切线；（2）连接DE，根据AE平分∠ABC，AC⊥BC、EH⊥AB，可得CE＝EH，再证明Rt△CDE≌△Rt△HFE，得CD＝HF，再根据勾股定理即可求得BE的长．【解答】解：（1）证明：连接OE，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE又OB＝OE，∠ABE＝∠BEO，∴∠CBE＝∠BEO∴OE∥BC又∠C＝90°即AC⊥BC．∴OE⊥AC，即AC是⊙O的切线；（2）连接DE，∵AE平分∠ABC，AC⊥BC、EH⊥AB∴CE＝EH，DE＝EF，∴Rt△CDE≌Rt△HFE（HL），∴CD＝HF，∵CD＝1，∴HF＝1∵EH＝3，∵OE2＝OH2+HE2，∴OE2＝（OE﹣1）2+32解得：OE＝5，∴BH＝9∴．【点评】本题考查了切线的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、垂径定理、三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是综合运用以上知识．25