2011-2012学年四川省绵阳市游仙区九年级（上）期末数学试卷

2011-2012学年四川省绵阳市游仙区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x＜2 D．x≥22．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形 B．等腰梯形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形3．（3分）一元二次方程x2﹣9x＝0的解是（）A．x1＝9．x2＝0 B．x1＝3．x2＝﹣3 C．x＝9 D．x＝34．（3分）若ax2﹣5x+3＝0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集是（）A．a＞﹣2 B．a＞﹣2且a≠0 C．a D．a＜﹣25．（3分）已知⊙O和⊙O′的半径分别为5cm和7cm，且⊙O与⊙O′相切，则圆心距OO′为（）A．2cm B．7cm C．9cm D．2cm或12cm6．（3分）小明所在的年级共有10个班，每个班有45名学生，现从每个班任抽一名学生共10名学生参加一次活动，小明被抽到的概率为（）A． B． C． D．7．（3分）下列说法正确的是（）A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．过三点一定能作一个圆 C．垂直于弦的直径一定平分这条弦 D．三角形的外心到三边的距离相等8．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（）A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝579．（3分）小明把如图所示的扑克牌放在一张桌子上，请一位同学避开他任意将其中一张牌倒过来，然后小明很快辨认出被倒过来的那张扑克牌是（）A．方块5 B．梅花6 C．红桃7 D．黑桃810．（3分）某钢铁厂今年1月份生产某种钢材5000吨，3月份生产这种钢材7200吨，设平均每月增长的百分率为x，则根据题意可列方程为（）A．5000（1+2x）＝7200 B．5000（1+x2）＝7200 C．5000（1+x）2＝7200 D．7200（1+x）2＝500011．（3分）如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF，MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换：①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°；③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90度．其中，能将△ABC变换成△PQR的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．（3分）在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，使之恰好能够围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°（如图），则r与R之间的关系是（）A．R＝2r B．R＝r C．R＝3r D．R＝4r二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果）13．（3分）请写出一个根为x＝1，另一根满足﹣1＜x＜1的一元二次方程．14．（3分）已知2＜x＜5，化简+＝．15．（3分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为．16．（3分）一个直角三角形的两条直角边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，那么这个直角三角形外接圆的半径等于．17．（3分）观察下列各式：…请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表达出来．18．（3分）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA＝3，OC＝1，分别连接AC、BD，则图中阴影部分的面积为．三、解答题（共66分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）解答下列各题：（1）计算：（+）﹣（﹣）；（2）解一元二次方程：x2﹣2x﹣4＝0．20．（8分）在一个50m长、30m宽的矩形荒地上，要设计改造成花园，并要使花坛所占的面积恰为荒地地面积的一半，试给出你的一种设计方案．21．（9分）下图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底面直径为4cm，母线长EF＝8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积．（面积计算结果用π表示）．22．（9分）在电视台举行的“超级女生”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结论．（1）写出三位评委给出A选手的所有可能的结论；（2）对于选手A，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？23．（10分）已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，AN、BM交于点P，由△BCM≌△NCA，易证结论：①BM＝AN．（1）请写出除①外的两个结论：；（2）求出图1中AN和BM相交所得最大角的度数；（3）将△ACM绕C点按顺时针方向旋转180°，使A点落在BC上，请对照原题图形在图2中画出符合要求的图形（不写作法，保留痕迹）；（4）探究图2中AN和BM相交所得的最大角的度数有无变化（填变化或不变）；（5）在（3）所得到的图形2中，请探究“AN＝BM”这一结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．24．（10分）如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC＝，D是线段BC的中点．（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线．25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为，直线与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，若直线l绕点A顺时针匀速旋转，当⊙B第一次与⊙O相切时，直线l也恰好与⊙B第一次相切，见图（2）求B1的坐标以及直线AC绕点A每秒旋转多少度？（3）若直线l不动，⊙B沿x轴负方向平移过程中，能否与⊙O与直线l同时相切？若相切，说明理由．

2011-2012学年四川省绵阳市游仙区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x＜2 D．x≥2【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求得．【解答】解：根据题意得：2﹣x＞0，解得x＜2．故选：C．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形 B．等腰梯形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【分析】旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形．【解答】解：菱形，等腰梯形，等边三角形，等腰直角三角形都是轴对称图形；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选A．【点评】运用轴对称和中心对称图形概念，找出符合条件的图形．【链接】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．3．（3分）一元二次方程x2﹣9x＝0的解是（）A．x1＝9．x2＝0 B．x1＝3．x2＝﹣3 C．x＝9 D．x＝3【分析】对题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解．【解答】解：原方程变形为：x（x﹣9）＝0，解得x＝9或x＝0；故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程的公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法．4．（3分）若ax2﹣5x+3＝0是一元二次方程，则不等式3a+6＞0的解集是（）A．a＞﹣2 B．a＞﹣2且a≠0 C．a D．a＜﹣2【分析】由于ax2﹣5x+3＝0是一元二次方程，故a≠0；再解不等式即可求得a的取值范围；这样即可求得不等式的解集．【解答】解：不等式移项，得3a＞﹣6，系数化1，得a＞﹣2；又∵ax2﹣5x+3＝0是一元二次方程，∴且a≠0；所以，a＞﹣2且a≠0；故选：B．【点评】一元二次方程必须满足三个条件：（1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程．同时解不等式时，两边同时乘或除一个负数时，不等号的方向要改变．5．（3分）已知⊙O和⊙O′的半径分别为5cm和7cm，且⊙O与⊙O′相切，则圆心距OO′为（）A．2cm B．7cm C．9cm D．2cm或12cm【分析】此题考虑两种情况：两圆外切或两圆内切．再进一步根据位置关系得到数量关系．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．【解答】解：当两圆外切时，则圆心距等于两圆半径之和，即7+5＝12；当两圆内切时，则圆心距等于两圆半径之差，即7﹣5＝2．故选：D．【点评】注意：两圆相切包括两圆内切或两圆外切．6．（3分）小明所在的年级共有10个班，每个班有45名学生，现从每个班任抽一名学生共10名学生参加一次活动，小明被抽到的概率为（）A． B． C． D．【分析】每个班有45名学生，每个班任抽一名学生参加一次活动，小明被抽到的概率为．【解答】解：P（抽到小明）＝．故选：C．【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7．（3分）下列说法正确的是（）A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．过三点一定能作一个圆 C．垂直于弦的直径一定平分这条弦 D．三角形的外心到三边的距离相等【分析】根据相关概念和定理判断．注意：①圆的切线和圆只有一个公共点即切点；②三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．【解答】解：A、应为与圆只有一个交点的直线是圆的切线，错误；B、过不在同一直线上的三点才能作一个圆，错误；C、正确；D、到三角形三边距离相等的是三角形的内心，故错误；故选：C．【点评】本题考查了对切线的定义，垂径定理及三角形的外心等概念的正确理解．8．（3分）用配方法解方程x2+8x+7＝0，则配方正确的是（）A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57【分析】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【解答】解：∵x2+8x+7＝0，∴x2+8x＝﹣7，⇒x2+8x+16＝﹣7+16，∴（x+4）2＝9．∴故选：A．【点评】此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．9．（3分）小明把如图所示的扑克牌放在一张桌子上，请一位同学避开他任意将其中一张牌倒过来，然后小明很快辨认出被倒过来的那张扑克牌是（）A．方块5 B．梅花6 C．红桃7 D．黑桃8【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点解答．【解答】解：根据题意，知黑桃8、红桃7、梅花6在旋转后，花色发生了变化，只有方块5没有变化．故选：A．【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．当所有图形都没有变化的时候，旋转的是成中心对称图形的那个；有一个有变化的时候，旋转的便是有变化的那个．10．（3分）某钢铁厂今年1月份生产某种钢材5000吨，3月份生产这种钢材7200吨，设平均每月增长的百分率为x，则根据题意可列方程为（）A．5000（1+2x）＝7200 B．5000（1+x2）＝7200 C．5000（1+x）2＝7200 D．7200（1+x）2＝5000【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出2月份产值，再根据2月份的产值表示出3月份产值的式子，然后令其等于7200即可列出方程．【解答】解：二月份产值为5000（1+x），三月份产值为：5000（1+x）（1+x）＝5000（1+x）2＝7200，∴5000（1+x）2＝7200．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常要先解出前一个月份的产值，再列出所求月份的产值的方程，令其等于已知的条件即可．11．（3分）如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF，MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换：①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格；②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°；③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90度．其中，能将△ABC变换成△PQR的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】根据图形的平移、旋转和轴对称变化的性质与运用得出．【解答】解：根据题意分析可得：①②③都可以使△ABC变换成△PQR．故选：D．【点评】本题考查图形的变化，要求学生熟练掌握平移、旋转和轴对称变化的性质与运用．12．（3分）在纸上剪下一个圆形和一个扇形纸片，使之恰好能够围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°（如图），则r与R之间的关系是（）A．R＝2r B．R＝r C．R＝3r D．R＝4r【分析】圆锥的侧面展开图的弧长＝圆锥底面周长，把相关数值代入即可求得则r与R之间的关系．【解答】解：∵圆的半径为r，∴圆的周长为2πr；∵扇形的半径为R，扇形的圆心角等于120°，∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为，∴2πr＝，∴R＝3r，故选：C．【点评】用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长＝圆锥底面周长；弧长＝．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果）13．（3分）请写出一个根为x＝1，另一根满足﹣1＜x＜1的一元二次方程x2﹣x＝0．【分析】首先在﹣1＜x＜1的范围内选取x的一个值，作为方程的另一根，再根据因式分解法确定一元二次方程．本题答案不唯一．【解答】解：由题意知，另一根为0时，满足﹣1＜x＜1，∴方程可以为：x（x﹣1）＝0，化简，得x2﹣x＝0．故答案为x2﹣x＝0．【点评】本题考查的是已知方程的两根，写出方程的方法．这是需要熟练掌握的一种基本题型，解法不唯一，答案也不唯一．14．（3分）已知2＜x＜5，化简+＝3．【分析】先根据x的取值范围确定x﹣2，x﹣5的符号，再化简此二次根式即可．【解答】解：∵2＜x＜5，∴+＝x﹣2+5﹣x＝3．故答案为：3【点评】主要考查了二次根式的性质：＝a（a≥0），＝﹣a（a≤0）．15．（3分）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为6．【分析】由旋转的性质可知，旋转角∠PAP′＝∠BAC＝60°，旋转中心为点A，对应点P、P′到旋转中心的距离相等，即AP＝AP′，可判断△APP′为等边三角形，故PP′＝AP．【解答】解：连接PP′，由旋转的性质可知，旋转中心为点A，B、C为对应点，P、P′也为对应点，旋转角∠PAP′＝∠BAC＝60°，又AP＝AP′，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝AP＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了旋转的两个性质：①旋转角相等，②对应点到旋转中心的距离相等．16．（3分）一个直角三角形的两条直角边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，那么这个直角三角形外接圆的半径等于2.5．【分析】根据题意可知，直角三角形的两条直角边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，解可得方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3与4；故直角三角形外接圆的直径即斜边边长为5；故半径等于2.5．【解答】解：解可得方程x2﹣7x+12＝0得，x1＝3，x2＝4，∴斜边边长为5，即直角三角形外接圆的直径是5，∴半径等于2.5．【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．17．（3分）观察下列各式：…请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表达出来（n≥1）．【分析】观察分析可得：＝（1+1）；＝（2+1）；…则将此题规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来【解答】解：∵＝（1+1）；＝（2+1）；∴＝（n+1）（n≥1）．故答案为：＝（n+1）（n≥1）．【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．本题的关键是根据数据的规律得到＝（n+1）（n≥1）．18．（3分）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA＝3，OC＝1，分别连接AC、BD，则图中阴影部分的面积为2π．【分析】扇形OAB与扇形OCD叠放在一起从图中证明△AOC≌△BOD，所以阴影部分的面积就等于大扇形的面积﹣小扇形的面积．【解答】解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积＝﹣＝＝2π．【点评】本题的关键是得出阴影部分的面积就等于大扇形的面积﹣小扇形的面积．三、解答题（共66分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）解答下列各题：（1）计算：（+）﹣（﹣）；（2）解一元二次方程：x2﹣2x﹣4＝0．【分析】（1）考查了二次根式的计算，注意运算顺序；（2）此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用．【解答】解：（1）＝（2分）＝（3分）＝（4分）（2）解：移项，得x2﹣2x＝4（1分）配方得x2﹣2x+1＝4+1解得（x﹣1）2＝5（2分）由此可得（3分），（4分）【点评】（1）要注意化为最简二次根式，要注意运算顺序．（2）配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．20．（8分）在一个50m长、30m宽的矩形荒地上，要设计改造成花园，并要使花坛所占的面积恰为荒地地面积的一半，试给出你的一种设计方案．【分析】本题有多种解法．设计其中花园四周小路的宽度相等，小路宽为x米，则花坛的长和宽分别是（50﹣2x）和（30﹣2x），根据矩形的面积公式即可列方程求解．【解答】解：方案一：可设计其中花园四周小路的宽度相等．（2分）设小路宽为x米，列方程为：（50﹣2x）（30﹣2x）＝×50×30（4分）解：（舍）（6分）四周小路宽为m．（8分）方案二：设扇形的半径为x米，列方程为：πx2＝×50×30．x1＝，x2＝﹣（不合题意舍去）其中花园的四个角上均为相同的扇形，半径为米．【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，难度一般．关键叙语“花坛所占的面积恰为荒地地面积的一半”．21．（9分）下图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底面直径为4cm，母线长EF＝8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积．（面积计算结果用π表示）．【分析】（1）设∠AOB＝n°，AO＝R，则CO＝R﹣8，利用圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系列方程，并联立成方程组求解即可；（2）求纸杯的侧面积即为扇环的面积，需要用大扇形的面积减去小扇形的面积．纸杯表面积＝S纸杯侧面积+S纸杯底面积．【解答】解：由题意可知：＝6π，＝4π，设∠AOB＝n，AO＝R，则CO＝R﹣8，由弧长公式得：＝4π，∴，解得：n＝45，R＝24，故扇形OAB的圆心角是45度．∵R＝24，R﹣8＝16，∴S扇形OCD＝×4π×16＝32π（cm2），S扇形OAB＝×6π×24＝72π（cm2），纸杯侧面积＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝72π﹣32π＝40π（cm2），纸杯底面积＝π•22＝4π（cm2）纸杯表面积＝40π+4π＝44π（cm2）．【点评】主要考查圆锥的侧面展开图与底面周长之间的关系和扇环的面积的求法．本题中（1）就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解；（2）扇环的面积等于大扇形的面积减去小扇形的面积．22．（9分）在电视台举行的“超级女生”比赛中，甲、乙、丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“待定”或“通过”的结论．（1）写出三位评委给出A选手的所有可能的结论；（2）对于选手A，只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率是多少？【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：（1）画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果：（2）由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种．对于A选手，“只有甲、乙两位评委给出相同结论”有2种，即“通过﹣通过﹣待定”、“待定﹣待定﹣通过”，所以对于A选手“只有甲、乙两位评委给出相同结论”的概率是．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（10分）已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，AN、BM交于点P，由△BCM≌△NCA，易证结论：①BM＝AN．（1）请写出除①外的两个结论：∠MBC＝∠ANC∠BMC＝∠NAC；（2）求出图1中AN和BM相交所得最大角的度数120°；（3）将△ACM绕C点按顺时针方向旋转180°，使A点落在BC上，请对照原题图形在图2中画出符合要求的图形（不写作法，保留痕迹）；（4）探究图2中AN和BM相交所得的最大角的度数有无变化不变（填变化或不变）；（5）在（3）所得到的图形2中，请探究“AN＝BM”这一结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）可根据全等三角形的对应角相等和对应边相等来得出结论；（2）本题求的是∠APB的度数，∠APB是三角形BNP的外角，因此利用三角形外角的特点得出结论；（4）要通过证△BMC≌△ACN来实现，根据已知条件来证明这两个三角形两三角形全等，然后根据（2）的步骤即可得出最大角仍是120°；（5）通过证三角形ANC和BCM全等来得出AN＝BM，方法同（4）．【解答】解：（1）∠MBC＝∠ANC、∠BMC＝∠NAC．（2）∵∠CNP＝∠CBP，∵∠APB＝∠BNC+∠CNP+∠NBP＝∠BNC+∠NBP+∠ABP＝∠NBC+∠BNC＝120°；（3）（4）不变；（5）成立．证明：∵三角形NBC和AMC都是等边三角形，∴BC＝CN，MC＝AC，∠MCB＝∠NCA＝60°；∴△CAN≌△MCB；∴AN＝BM．【点评】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定，根据全等三角形来得出相等的边和角是解题的关键．24．（10分）如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC＝，D是线段BC的中点．（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线．【分析】（1）要求D与⊙O的位置关系，需先求OD的长，再与其半径相比较；若大于半径则在圆外，等于半径在圆上，小于半径则在圆内；（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO＝90°即可．【解答】（1）解：点D在⊙O上；理由如下：设⊙O与BC交于点M，连接AM，∵AB是直径，∴∠AMB＝90°，在直角△ABM中，BM＝AB•cos∠ABC＝4×＝2，∵BC＝，∴M是BC的中点，则M与D重合．∴点D在⊙O上；（2）证明：连接OD，∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO＝∠CED又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∠EDO＝∠CE