高等数学之微分方程课件

大学数学基础教程大学数学基础教程第7章常微分方程主要内容:

一、微分方程的基本概念二、一阶微分方程三、可降阶的微分方程四、二阶常系数线性微分方程第7章常微分方程主要内容:一、微分方程的基本概念解：一、微分方程的基本概念解：解：解：定义2定义1由上两例，得如下相关定义：定义2定义1由上两例，得如下相关定义：定义4定义3定义4定义3定义5★注意：通解不一定包含所有特解，因为有奇解．定义6定义5★注意：通解不一定包含所有特解，因为有奇解．定义6定义7定义8定义7定义8解:例1解:例1即：即：二、一阶微分方程1、可分离变量的微分方程先看一个实例：二、一阶微分方程1、可分离变量的微分方程先看一个实例：形式：解法：两边积分特点：形式：解法：两边积分特点：解：例2解：例2解：即：故所求特解为：例3解：即：故所求特解为：例3解：例4解：例4如：可化为：2、齐次方程如：可化为：2、齐次方程得其解法为：由齐次方程的形式：思路：得其解法为：由齐次方程的形式：思路：解：例5解：例5解：例6解：例6高等数学之微分方程课件定义3、一阶线性微分方程定义3、一阶线性微分方程其解法为：其解法为：高等数学之微分方程课件高等数学之微分方程课件解:例7解:例7解:例8解:例8三、可降阶的微分方程1、右端仅含x的方程对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为n-1阶方程：同理可得：依此法继续进行，接连积分n次，便得方程①的含有n个任意常数的通解.微分方程①…三、可降阶的微分方程1、右端仅含x的方程对这类方程，只须两端解:例9解:例92、右端不显含y的方程其特点：解法：微分方程2、右端不显含y的方程其特点：解法：微分方程解:例10解:例10高等数学之微分方程课件3、右端不显含x的方程微分方程其特点：解法：这是一阶微分方程，可解．3、右端不显含x的方程微分方程其特点：解法：这是一阶微分方程解:例11解:例11高等数学之微分方程课件四、二阶常系数线性微分方程1、二阶线性微分方程解的结构四、二阶常系数线性微分方程1、二阶线性微分方程解的结构定理7.1证明即：定理7.1证明即：★理解如：问题：★理解如：问题：线性相关性：线性相关性：如：如：高等数学之微分方程课件定理7.2

如：定理7.2如：高等数学之微分方程课件定理7.3如：定理7.3如：高等数学之微分方程课件2、二阶常系数线性齐次微分方程2、二阶常系数线性齐次微分方程分三种情形讨论：1)2)如何求得第二个特解呢？分三种情形讨论：1)2)如何求得第二个特解呢？由于由于3)3)综上所述即：综上所述即：解:例13解:例12解:例13解:例12例14解:例14解:3、二阶常系数线性非齐次微分方程3、二阶常系数线性非齐次微分方程，则：情形1：，则：情形1：高等数学之微分方程课件综上，综上，例15解:例15解:例16解:例16解:高等数学之微分方程课件高等数学之微分方程课件其中：

其中：高等数学之微分方程课件其中例17解:其中例17解:高等数学之微分方程课件例18解:例18解:高等数学之微分方程课件高等数学之微分方程课件大学数学基础教程大学数学基础教程第7章常微分方程主要内容:

一、微分方程的基本概念二、一阶微分方程三、可降阶的微分方程四、二阶常系数线性微分方程第7章常微分方程主要内容:一、微分方程的基本概念解：一、微分方程的基本概念解：解：解：定义2定义1由上两例，得如下相关定义：定义2定义1由上两例，得如下相关定义：定义4定义3定义4定义3定义5★注意：通解不一定包含所有特解，因为有奇解．定义6定义5★注意：通解不一定包含所有特解，因为有奇解．定义6定义7定义8定义7定义8解:例1解:例1即：即：二、一阶微分方程1、可分离变量的微分方程先看一个实例：二、一阶微分方程1、可分离变量的微分方程先看一个实例：形式：解法：两边积分特点：形式：解法：两边积分特点：解：例2解：例2解：即：故所求特解为：例3解：即：故所求特解为：例3解：例4解：例4如：可化为：2、齐次方程如：可化为：2、齐次方程得其解法为：由齐次方程的形式：思路：得其解法为：由齐次方程的形式：思路：解：例5解：例5解：例6解：例6高等数学之微分方程课件定义3、一阶线性微分方程定义3、一阶线性微分方程其解法为：其解法为：高等数学之微分方程课件高等数学之微分方程课件解:例7解:例7解:例8解:例8三、可降阶的微分方程1、右端仅含x的方程对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为n-1阶方程：同理可得：依此法继续进行，接连积分n次，便得方程①的含有n个任意常数的通解.微分方程①…三、可降阶的微分方程1、右端仅含x的方程对这类方程，只须两端解:例9解:例92、右端不显含y的方程其特点：解法：微分方程2、右端不显含y的方程其特点：解法：微分方程解:例10解:例10高等数学之微分方程课件3、右端不显含x的方程微分方程其特点：解法：这是一阶微分方程，可解．3、右端不显含x的方程微分方程其特点：解法：这是一阶微分方程解:例11解:例11高等数学之微分方程课件四、二阶常系数线性微分方程1、二阶线性微分方程解的结构四、二阶常系数线性微分方程1、二阶线性微分方程解的结构定理7.1证明即：定理7.1证明即：★理解如：问题：★理解如：问题：线性相关性：线性相关性：如：如：高等数学之微分方程课件定理7.2

如：定理7.2如：高等数学之微分方程课件定理7.3如：定理7.3如：高等数学之微分方程课件2、二阶常系数线性齐次微分方程2、二阶常系数线性齐次微分方程分三种情形讨论：1)2)如何求得第二个特解呢？分三种情形讨论：1)2)如何求得第二个特解呢？由于由于3)3)综上所述即：综上所述即：解:例13解:例12解:例13解:例12例14解:例14解:3、二阶常系数线性非齐次微分方程3、二阶常系数线性非齐次微分方程，则：情形1：，则：情形1：高等数学之微