高考数学玩转压轴题专题1.8极值点偏移第六招-极值点偏移终极套路

x121222x121222专极点移六-值偏终套值点偏移问题在高考中很常见题以导数为背景考察学生运用函数与方程结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方.★已知

f

mx

，m．f

有两个极值点，x，且x122

，求证：

12

2

（

e

为自然对数的底数解一齐构通偏套于是

lnxx

x1

xx2lnxx

．又

xx，t2，t．此lnxx1

t

，．要证

xx1

即：

，t即时有lnttt

设函数

t

，，

12ttt

，所以，

上的增函数．注意到，

，因此，

．xx于是，当t时有lnt

t

．所以，有

xx成，11

2

．解二变函能解证2欲证

xx12

2

证

xx1

有两个极值点x函数1

f

有两个零点．又

f

，所以，

x1

，

x2

是方程

f

的两个不同实根．显然

m

，否则，函数

f

为单调函数，不符合题意．由

ln1xlnxmln12

，解三构函现力证3由，x是方程f1

的两个不同实根得

m

lnln，令xxx

，1

g

1lnxx

，因此，

．设

xx12

证

xx12

2

需明

x1

ex2

需明

f

，即

f

，即

f

f

．即

x2

2

2

h

，1xex111211111t1xex111211111t12故

f

xfff

为

2

，e2x1

即xx211

2

．解四巧变（）证4设

tx11

，

tx2

，则由

lnlnmx22

得etet2

tt2

t

kk，设k，t，t．欲证k

xx12

2

，解五巧变（）证5设

tx11

，

tx2

，则由

lnlnmx22

得ett1te2

t

tlnlnk，设10,1，t，．tk2欲证

12

2

，需证

xx1

，即只需证明

t1

，即

2lnklnkkkk

，设

k

，故

因此

，命题得证．11212121121212★已知函数

f(x)x

2

ax

，若方程

f(x)

有两个不相等的实数根

x,x1

，求证：

f

x12)2

.欲证：

f

xa1)f)2

，结合

f

的单调性，即证：

x1222等价于证明：

xxx12xlnlnx12

1x2令

xt,(0x2

，构造函数

g(t)lnt

2tt

，求导由单调性易得原不等式成立，.法二：接后解由得

x()2)(x)lnx222构造函数

m(t)lnt

tt

，求导由单调性易得

m()在t恒立，又因为

0,，故f1

x122

成.法三：接④后续解：视

x1

为主元，设

2(x)4x()2x)lnx2xxx)2()2则

()在x(0,x)2

上单调递增，故

()()2

，再结合

0,1

，故

f

x122

成.法四：构造函数

aahx)f(f(),(02

)

，()()21()()21则

h

ax2)f)2222

，从而

a(x在(0,)单调递增，故2

a(x，即f()()2对

ax)2

恒成立，从而

f(x)(a),(0

a2

)

，则

f(f(x)f(a)2

，由

aaxa(,且f(x)在22

单调递增，故

x21

，即

x12，从而f12)222

成立.招演：★已知函数

f

有两个不同的零点

x,x12

．

证明：

x2

1a2

．【答案）

f

，无最小值（）解析【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大准确解答首先观察不等式特点合已解答的问题把要证的不等式变形运用已证结论先行放缩后化简或者进一步构造函数利用导数证明★已知函数

g

为然对数的底.（）论

g（函数

f

2

的图象与直线

y

、

两点段AB

中点的横坐标为

，证明：

f

x0

（f

x

为函数

f

x

的导函数）121211121211【答案）见解析（）解（）

f

，∴

f

2axxx

，当

时，

f

有两个交点，故．令

f

1；令，x，故ya

在

上单调递增，在

上单调递减．不妨设

12

，且

10xa

，要证

f

x

，需证

ax

，即证x0

22fxfaa

，又

f1

，所以只需证f1

，即证：当

0x

1a

时，aaf

．设F

f

，则

F

122xx

，∴F

x

f

1fx在0,上调递减，又Ffa

f

，故F

f

，原不等式成立．★已知函数

f

32

ln

的图象的一条切线为x轴（1）实数的2）

，若存在不相等的两个实数

x,x满1212

，求证：x.1【答案）{2（2见解析a3xxfxxfxx当x时0

1x

，记

f

，2x22xxx2x22xxx记函数

yf

的导函数为

yf

，则G

1x

f

fx

11111xx2

x

xxxx2x

，故

所以

G

，所以

，不妨设

xx，则1

x

x

，而

x1

1，x2

，有单调性知1

1x2

，即

x1

.★已知函数

f

且函数

图象上点

处的切线斜率为.试用含有a的子表示b，并讨论对于函数图象上的不同两点

f的单调性；Ay1122

如果在函数图象上存在点M

,0

0

0

x1

2

使得点M

处的切线l

，则称

存在“跟随切线”.特别地，当

x

x2

时，又称存“中值跟随切线”试问：函数

f

上是否存在两点AB

使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出AB

的坐标，若不存在，说明理由.【答案）见解析（）存222222x令x2

，构造函数

t

，则

14gtt

t

，则

t

恒成立，故

y试题解析：函数

的定义域为

1x

ax

，又

f'

.（）

f'

x

x

x

.1）当时易知x'

，故

y

2）当

地，令

f'

，解得

x

或

x

1a

，则①当

1a

，即

时，xxx及上调递增；在,1f'

y当

时，

1a

1上单调递增：在a

上单调递减当

时，

y当

，

上递减点睛对导数问题做题要特别注意在讨论时单调性受参数的影响以通过分析导数零点的大小来逐一分析对于此题二问的类型要注意函数的构造和假设分析函数单调性求最值从而得出结论★已知函数

f

在其定义域内有两个不同的极值.（）a的值范围（）

f

x

的两个极值点为

x,x12

，证明x12

2

.【答案）

1

a

（）解析1121211212试题解析）依题意，函数

f

x

的定义域为

f

在

两个不同根即程

lnax在转化为，函数

g

x

与函数

的图象在

又

g

1lnx2

，即

x时

，

x时

，所以

上单调减，从而

g

x

极大

=

1

.又

g是10时g

时，所以由

g要想函数

g

x

与函数

的图象在

同点，只需

0

1，即

a（）（）知

x,x12

分别是方程

lnx

的两个根，即

ln1

，

ln22

，设

xx1

，作差得，

xlnxxln1x，a.xx2原不等式12

2

等价于

x2lnlnxxln1xx12

2222令

x1x2

，则

t

，

x2xx

lnt

t

，设

t

，t，g

t

，∴函数

g∴

g

，即不等式

t

t

成立，故所证不等式xx

成立.点睛用数证明不等式常见类型及解题策(1)构造差函数

.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等.（）根据条件，寻找目标函数.一般路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函.★已知函数

f

x

，

,

m

上两个不同的点.（Ⅰ）求

f写出实数

m

的取值范围；（Ⅱ）证明：

x12

.【答案）m的取值范围是【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等