高中数学教学设计三垂线定理的推导

高中数学教学设计课题：三线定理的推三维目：1．几何图具有直观形象的特征，在教学过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学定理形成过程的真谛，学会通过观察、类比、归纳三垂线定理。2．通过实，培养学生观察、归纳能力。体会从特殊到一般的思想。3．能够用垂线定理解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习立体几何的必要性和重要性增强学生学习立体几何的紧迫感激发学生学习的积极性。重点难：教学重点：三垂线定理的推导。教学难点：从问题中探究规律。课时安：课时教学过：一、从本题目引出题请同学们翻开课本P第题：问题1过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，设它和已知角的两边的夹角为锐角且相等，求证这条斜线在平面上的射影是这个角的平分线已知：如图，∠BAC在平面α上，直线PA是平面的一条斜线，∠CAP与∠BAP是锐角且相等。求证：AO是∠BAC的平分线。BEOα

A

F

C图11

学生思考3分钟，请学生谈解题思路。（教师点拨）PO⊥面α，O为垂足。又PE⊥AB于E,PF⊥AC于F。连结AO、EO、FO。先证≌APF，再证POE≌POF,最后证明AOE≌AOF,即得AO是∠BAC的角平分线方程。如果我们调换以上问题的条件和结论中的一部分，得到：问题2：“经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。如果斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线，那么斜线和这个角的两边的夹角相等已知：如图1，BAC在平面α内，直PA是平面α的一条斜线，PO⊥面，O为垂足，且AO是∠BAC的平分线。求证：∠CAP=∠（教师点拨）借助上图1，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F。连EO、FO。调整一下证明的顺序，先证△AOE≌△AOF,再证△△POF,最后证明△≌△APF即可得出结论。二、引学生探究问经过一个角的顶点所指的角是任意角如果把它换成平角结果会怎样？请同学们思考：问题3过一条直线上的一点引这条直线所在平面的斜线，如果斜线在平面上的射影和这条直线垂直，那么，这条斜线也和这条直线垂直BA

Oα

C图把“经过一条直线上的一点引这条直线所在平面的斜线”修改一下，得到：问题4：“经过一条直线所在平面上的一点引这条直线所在平面的斜线，如果斜线在平面上的射影和这条直线垂直那么这条斜线也和这条直线垂直命题还成立吗？B

C

A

2

O

α请学生思考问题，踊跃发言。

图如果将条件再修改一下面内一条直线”变成“一条直线得到：问题5“一条直线与平面内的一条斜线在平面内的射影垂直，那么，这条斜线也和这条直线垂直还成立吗？若不成立，请举例说明。BC

α

A

O图请学生思考问题，谈谈自己的想法。三、引学生归纳总问题请学生试着归纳上述问题，教师引导学生得出下面一般性结论：（三垂定理）经过条直线在平上的一引这条直线在平面斜线。如斜线在平面的射影这条直线垂，那么斜线也和这直线垂。如果上述命题的条件结论交换位置，结论是否还成立呢？请学生陈述总结：（三垂逆定理）经一条直所在平面上一点引条直线所在面的斜线。如这条直线和线垂直那么，这条线也在斜线在平面的射影直。四、课小结1、本节课思路是：由课本习题经过适当改编，将一般角变成平角，由一般到特殊再到一般，最后导出三垂线定理。从而说明事物之相互联系、相互转化。2任何一